基于重加权L1 的ATpV 正则化叠前反演方法

摘要：地震叠前反演能够准确获取地下储层介质的各类参数，是油气的勘探与开发中重要技术之一。然而，地震反演是典型的病态问题，为了克服此问题，通常使用正则化约束目标函数，来减轻反演问题的病态性。但是正则化约束忽略了地层边界的振幅信息，使用重加权方法可以很好地克服这一问题，更好地恢复稀疏性。提出了一种基于重加权L1 的ATpV 正则化叠前三参数反演方法（ATpV–L1 方法），首次将重加权L1 方法与ATpV 方法结合，并引入到叠前反演中。采用交替方向乘子算法（ADMM）建立反演框架，对目标函数进行分块优化，有效提高了收敛速度。首先，介绍ATpV–L1 方法，建立了基于ATpV–L1 的叠前反演目标函数；然后，应用理论模拟数据对比新方法和ATpV 方法反演结果，验证了方法的效果；最后，使用实际数据进行实验分析，进一步验证了ATpV–L1 方法的反演精度及可行性。实验结果表明，提出的ATpV–L1 方法可以有效恢复反演结果的稀疏性，提高反演精度。

关键词：重加权L1 方法；ATpV 正则化；叠前反演；稀疏约束；交替方向乘子法；误差分析

引言

地震反演是获取地下储层物性、弹性及各向异性等参数的重要手段，在油气勘探中发挥着重要作用。地震反演技术中，叠前反演是最有效的方法之一，可以通过叠前地震资料稳定地反演出地层参数。

Zoeppritz 方程[1] 是叠前反演的基础，该方程阐述了平面波入射到各向同性介质中，弹性参数与反射系数、透射系数的关系。但由于其方程过于复杂，不便使用，广大学者对其进行了近似处理。1985 年，Shuey[2] 重新推导了Zoeppritz 方程，将泊松比引入到反射系数表达式中。2003 年，Buland 等[3] 实现了基于贝叶斯框架的AVO 三参数反演。2008 年，毛宁波等[4] 基于Ruger 方程，研究了各向异性介质中含气砂岩的AVO 特征。2011 年，张广智等[5] 研究了基于MCMC 的非线性AVO 反演方法。2012 年，宗兆云等[6] 在Aki amp; Richard 近似式的基础上推导了YPD 近似方程，建立了纵波反射系数与杨氏模量反射系数、泊松比反射系数及密度反射系数的线性关系，提供了直接反演杨氏模量和泊松比的方法。2014 年，张广智等[7] 在YPD 方程的基础上推导了基于E （杨氏模量与密度的乘积）、泊松比和密度的纵波和转换波反射系数近似方程，为直接反演提供了新的方法。2019 年，张瑞等[8] 通过杨氏模量以及泊松比和密度的关系，将密度项由杨氏模量和泊松比代替，提出了两项式近似方程。2022 年，Ge 等[9]推导了基于杨氏模量和泊松比相关的新三属性参数反射系数近似方程，对脆性指数进行了预测。

由于地震反演是典型的病态问题，具有不适定性。1943 年，Tikhonov 说明了该问题可以解决，并在1963 年提出了Tikhonov 正则化，该方法使用L2范数有力消除了Zoeppritz 方程反演引起的非线性和不稳定性的缺陷[10]。但是其会对反演结果施加均匀的光滑约束，模糊一些倾角较大的地层，不能保持间断的地质结构，难以获取边界特征。广大学者进行了不断的探索，提出了各种正则化方法，并有很多地球物理学者将正则化应用到地震勘探当中。1992 年，Rudin 等[11] 提出了总变分（TV）正则化，并应用到图像去噪中，它可以通过L1 范数表示差分的稀疏信息，使用待反演参数梯度的L1范数约束，保护模型参数的不连续特征。2010 年，Wang[12] 提出了一种基于L1 正则化的波阻抗反演方法。2014 年，Zhang 等[13] 提出了一种基于TV 正则化的稀疏波阻抗反演方法。2015 年，Liu 等[14] 提出了一种具有L1 正则化的波阻抗反演方法，该方法对噪声具有鲁棒性。2015 年，Gholami[15] 建立了二维TV 正则化，用各向同性总变分（ITV）正则化来表示稀疏性，并证明其结果优于TV 正则化。2016年，Gholami[16] 基于TV 正则化提出了一种多通道盲反演方法。2018 年，Wang 等[17] 将各向异性总变分（ATV）正则化引入到地震波阻抗反演中，ATV 正则化比TV 正则化更适合反演具有尖锐界面的阻抗，可以获得更高精度的反演结果。在图像处理领域，Woodworth 等[18] 研究表明，使用Lp 范数可以获得比L1 范数更优的解[19]。2018 年，Li 等[20] 将基于Lp 范数的各向异性总变分正则化（ATpV）引入到波阻抗反演中，使得反演误差更小，改进了反演结果。2019 年，Chen 等[21] 使用Lp 范数表示反射系数，并发现Lp 范数比L1 范数更能提高精度。2020 年，Wu 等[22] 在基于ATpV 的波阻抗反演中引入了混合二阶分数各向异性总变分正则化（MS-FATpV），该方法减少了多重性，提高了反演精度。2021 年，Liu等[23] 提出了混合总变分（HTV）正则化，改进了传统TV 正则化，克服了传统TV 正则化的阶梯效应，并使得正则化参数更易设置，在反演中取得了更好的效果。目前，地震反演中常使用正则化方法对其进行近似求解，减轻问题的病态性，有效降低了反演的不确定性，提高地震反演的稳定性。

为了稀疏性得到更好的恢复，2007 年，Candes等[24] 提出了重加权L1 方法以及权重迭代公式，更好地惩罚非零系数。2012 年，Rusu 等[25] 基于重加权L1 算法，描述了一种在极大极小意义下设计一维和二维稀疏滤波器的新方法。2015 年，Ma 等[26]使用重加权L1 极小化为层析SAR 成像增强了稀疏性，并利用增强的稀疏层析识别散射体。2021 年，宋昱等[27] 基于重加权L1 算法，提出了一种新的边缘保持图像平滑算法。2022 年，He 等[28] 提出了一种基于加权L1 范数稀疏约束的阻抗反演方法，有助于反演获得更精确的阻抗边界，改善稀疏性，减弱伪层现象。重加权L1 算法通过权值约束正则化项，权重因子会消除正则化范数项振幅对稀疏性的影响，使得结果比没有加权时具有更好的稀疏性。该算法在统计估计、误差校正和图像处理等领域有广泛的适用性。