各态历经性的案例教学法研究

基金项目：国家自然科学基金“高时相星载SAR高速动目标探测方法”（62271028）

第一作者简介：杨威（1983-），男，汉族，河北邯郸人，博士，副教授，硕士研究生导师。研究方向为信号与信息处理。

*通信作者：门志荣（1988-），男，汉族，山东青岛人，博士，讲师。研究方向为合成孔径雷达。

DOI：10.19980/j.CN23-1593/G4.2024.22.002

摘 要：平稳随机过程的各态历经性是工程应用中非常重要的概念。在随机过程理论授课时，需要学生转换思维去理解各态历经性意义的同时，也要求学生能够熟练掌握各态历经性的物理含义。用传统教学方式和公式列举的推导方式教学，对于学生学习难度较大。该文将各态历经性与工程应用案例相结合，通过从掷骰子的实验结果引入对各态历经性概念的理解，介绍各态历经性的判定方法与物理意义，并借由航天微波遥感中噪声抑制这一工程应用案例，进一步引发学生对各态历经性应用的思考，充分理解各态历经性的实际工程作用；最后根据各态历经性的物理意义，引申到科研生活体悟的人生哲理，让学生学习新概念的同时，在自身思想上也能有所提升。

关键词：各态历经性；随机过程；案例教学法；航天微波遥感；课程思政

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2024）22-0007-06

Abstract： The states of smooth stochastic processes are very important concepts in engineering applications. In the lecture of "Theory of Stochastic Processes"， students are required to change their thinking to understand the meaning of each state ephemerality， and at the same time， they are required to master the physical meaning of each state ephemerality， which is difficult to learn by the traditional teaching method and the derivation of formulae. In this paper， we combine the state ephemerality with engineering application cases， introduce the understanding of the concept of state ephemerality from the experimental results of dice rolling， introduce the determination method and physical meaning of state ephemerality， and use the engineering application case of noise suppression in aerospace microwave remote sensing to further provoke students to think about the application of state ephemerides and fully understand the practical engineering role of state ephemerides; finally， according to the physical meaning of state ephemerides， it is extended to scientific research. Finally， according to the physical meaning of each state ephemerality， it can be extended to the philosophy of life in scientific life， so that students can learn new concepts and improve their own thinking at the same time.

Keywords： State ephemerality; stochastic process; case teaching method; aerospace microwave remote sensing; curriculum ideology and politics

随机过程理论课程作为工程实践的专业课，其重要性与工程应用能力不言而喻。因课程内容本身具有专业理论性强、数学公式推导多、概念晦涩难以理解的特点[1]，所以，对学生的数学推导能力和思维能力要求较高；加上此前课程教学方式多为“填鸭式”教学，使学生面临该课程学习难度大，缺乏实践经验，不能学以致用等问题[2]。

平稳过程的各态历经性在实际工程中应用广泛，其概念与一般认知有所区别，若单纯通过介绍公式与判定各态历经性的方式进行讲述，学生难以理解概念蕴含的理论指导意义，反而倾向于单纯记住公式，忽略概念独特的物理含义，轻视其在实际工程中的巧妙应用，无法将理论转化为实践，大大损失了课程设置的教育意义。

因此，教学方式尤为重要，既要保留课程本身数学性强的特点，又要培养学生“实际-理论-实际”的思维方式。近年来，多位教师对如何加深学生对课程的理解与掌握进行了教学改革的探索，也提出了多种教学方法在课程中的应用，例如比照推演式[3]、案例式、结合思政式等。基于随机过程理论课程内容本身专业性强、逻辑性强的特点，授课时理论的阐述与讲授必不可少，但可以结合诸多教学方式，引导学生从“实际”提出问题，从“理论”了解原因，再回归“实际”解决问题。这种教学法可以激发学生学习热情，调动学生思维，增进对课堂内容的理解，有利于学生将理论与实际相结合，在学习过程中形成学以致用的良性循环。

首先，通过掷骰子对比实验结果，引导学生思考为什么会出现这种现象，进而提出状态与时间作为随机过程的两个变量，复习巩固曾经学习过的内容；并借由学生普遍接受状态变量的相关概念，比照推演时间变量的相关概念，从而提出平稳随机过程的各态历经性这一概念以及判定方式，解释实验结果。然后，结合航天微波遥感中噪声抑制实例，提出各态历经性的应用意义，充分体现各态历经性在解决实际问题上化繁为简的能力，让学生充分掌握概念本质的同时，也能意识到随机过程本身具有极强的实用价值。最后，课程适度加入与各态历经性实际物理含义相影射的人生哲理，让学生不论是知识储备还是自我思想上都能有新的收获与理解。

一 教学内容

（一） 结合实例

模拟掷骰子实验，掷骰子的方式不同，却得出了相同的结果，让学生回顾随机过程的两个变量——状态变量与时间变量，由状态维度比照推演时间维度，进而提出各态历经性的特性与判定方法，并解释实验结果相同的原因。在此基础上，提出一个在航天微波遥感中的应用实例——噪声抑制，介绍各态历经性是如何一步一步地解决实际工程应用中所遇到的问题。

（二） 重难点分析

1 重点内容

1）时间平均的概念：一般认为的平均是状态平均，给定一个时间，对状态量进行平均和自相关；若状态平均为常数，自相关函数只和时间间隔有关。时间和状态是一个随机过程的两个变量，时间平均是给定一个状态，对该样本函数进行长时间观测，可以比照状态变量的平均与自相关，理解时间平均的含义[4]。

2）平稳随机过程的各态历经性的定义：基于状态与时间两个变量的均值与自相关定义，引出均值各态历经定理和自相关函数各态历经定理，二者同时满足，则称平稳随机过程是各态历经的。其含义为时间均值与状态均值相等，时间自相关与状态自相关函数相等，可以理解为同一时间下统计随机过程所有的状态，与对其中一个样本函数进行长时间的观测，得到的统计结论是相同的[4]。

3）各态历经性的判定方法：一是定义法，根据各态历经性的定义，直接计算状态均值和状态自相关函数，以及时间均值和时间自相关函数，判断两者是否相等；二是定理法，从公式的角度给出了各态历经性的判定方法，本质是揭示了状态量和时间量之间的关系。各态历经性的条件比较宽，许多工程实际问题可以应用相关概念，从而简化解决[4]。

2 难点内容

各态历经性的概念是以数学公式的形式给出来的，虽然在数学表达上非常简单，就是统计平均（状态平均）等于时间平均，状态自相关函数等于时间自相关函数，但是其物理概念比较抽象、难以理解。历届的学生很容易在此混淆时间平均和状态平均的概念。通过掷骰子实验，两种实验方法得出同一个实验结果，对比理解统计平均与时间平均本质上的异同。完整形式下的随机过程包含两个变量，状态和时间，对多个随机过程同个时间点下的状态进行统计计算，便得到状态量的统计值；对一个状态的随机过程，即随机过程的一个样本函数，进行长时间的观察与积累计算，便得到时间量的统计值。

各态历经性的物理概念就是随机过程的状态量与时间量相同，即计算同一时间下的诸多样本，实质上与针对其中一个样本进行长时间观测，得到的统计量是等价的。再结合航天微波遥感中噪声抑制的实例，利用各态历经性，简化得到目标参数的途径，从需要对多台设备在同一时间进行采样，简化为对一台设备进行一段时间的采样，从而降低成本，提高工作效率，以解决实际工程问题，加深学生对概念的理解与应用。

二 关键教学设计

（一） 掷骰子实验的引入

课程开始，我们做这样两个掷骰子实验：先模拟十万个骰子，同一时间同时投掷出去，然后对得到的结果进行统计，结果出现1～6的次数相近、概率都接近1/6；然后，在10万个骰子之间随机取出一个，投掷10万次，对这个结果也进行了统计，出现1～6的概率也接近1/6。

对结果进行概括可以发现，10万个骰子投掷一次和1个骰子投掷10万次，得到了相同的概率分布结果。如图1所示，图1（a）为10万个骰子同时投掷1次的结果，图1（b）为同一个骰子投掷10万次的结果，二者结论相同。

为什么会出现这样的现象呢？掷骰子为随机过程，从实验中可以看出，其变量有二，一是投掷的骰子个数，二是投掷的次数。随机过程的完整形式为

式中：随机过程包括两个变量，t为时间变量，e为状态变量。以一个余弦函数 为例，其中，？兹就是状态量e，服从（0，２？仔）的均匀分布，t为时间量。

如图2所示，图中每一条竖直的虚线就是给定一个t，就会有一个随机变量，如图所示X（e，t1），此时随机过程中只有状态e是变量，t1是常数。对状态量e分别求均值和自相关

式中：E（·）代表数学期望即均值，Ｒ（·）代表自相关函数，t1和t2为任意两个时间点。如果均值为常数，自相关函数只和时间间隔有关，那么我们就说这个随机过程是平稳随机过程。

图2 状态量与时间量的区别

同样，换一个维度进行分析，每给定一个状态e，就会得到一个样本函数，如图2所示X（t，e1）等，此时，随机过程中t是变量，e1，…，en是常数。比照推演下，也应该存在时间平均和时间自相关，定义如下

对于余弦函数X（？兹，t）＝cos（？棕0 t+？兹）而言，状态均值E[X（？兹，t）]＝mX=0，状态自相关函数R（t1，t2）=R（？子）=■cos？棕0？子；时间均值 ，时间自相关

函数 。

其时间平均均值和时间自相关函数分别等于状态均值和状态自相关函数，对于这种特殊的情况，称之为具有各态历经性的平稳随机过程。

（二） 各态历经性的定义与判定方法

设X（t）是一平稳随机过程，若mXT=■=E[X（t）]=mX依概率1成立，即对任意的？着>0，有

则称随机过程X（t）均值具有各态历经性。

若 依概率1成立，即对任意的？着>0，有

则称随机过程X（t）自相关函数具有各态历经性。

若X（t）的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称随机过程X（t）是各态历经过程，或说X（t）是各态历经的。

由此可知，判定一个随机过程是否为各态历经的方法，第一个方法就是定义法。直接计算状态均值和时间均值，状态自相关函数和时间自相关函数，判断两者是否相等，是否都满足各态历经（图3）。

图3 定义法判定各态历经性

第二个方法是定理法。平稳随机过程满足均值各态历经性的充要条件为

平稳随机过程满足自相关函数各态历经性的充要条件为

式中：

这两种判定方法均可以证明随机过程具有各态历经的特征，比较常用的是定义法，定理法在计算上要较为复杂。

回顾课程开始的掷骰子实验，是否满足各态历经。第一种情况，10万个骰子投1次，相当于确定了时间，而状态是变化的，因此我们分别计算状态均值和状态自相关函数，可得

第二种情况，1个骰子每投掷一次，相当于选择了一个状态，投掷10万次则是长时间观察得到的采样值，时间均值很好求

且均值具有各态历经性。但时间自相关函数不好求，采用定理法

因此得证， ，故满足自相关函数各态历经性。综上所述，这个过程具有各态历经性。

（三） 各态历经性在工程上的应用

在研究中经常会遇到这样的问题，即对一些设备的性能进行分析，获得它们的一些特征参数。如果从状态变量分析，就需要知道概率密度函数，而概率密度函数需要大量的观测和试验，需要多套设备或系统，工作量大、处理复杂，在很多领域这种方式难以实现。比如，我们想获取一些航天设备接收机的噪声特征，如果从状态维度去分析，就需要在同一时刻对多台设备接收通道进行信号采集，这种方式意味着需要生产多台同样的设备，所消耗的时间成本和金钱成本是巨大的。此时，如果我们所研究的对象具有各态历经性，那么我们就能化繁为简，从时间变量的角度，通过长时间的观测获取数据，完成特征的提取，且这种方式仅需要单套设备/系统，工作量小，处理简单，易于实现。

举一个在航天微波遥感中的应用实例：噪声抑制。由于接收通道存在热噪声，因此在遥感图像中噪声总是存在的。抑制噪声对图像的影响，核心步骤：信号采集，噪声特征的分析以及建模后在图像中的应用。但这当中存在以下待解决的三个问题。

第一：噪声和信号混叠怎么办？如何获取干净的噪声信号？

第二：如果能获取干净的噪声信号？我们又去分析哪些有效特征？

第三：如果特征都获取了，噪声是否具有各态历经性？可否在后续图像应用中使用呢？

首先，在信号采集时，如果噪声和信号混叠，我们设计了定标网络，采用“不发只收”的方式（图4），即卫星不对外发射信号，但把接收机打开，这时候采集到的信号就是接收通道的热噪声信号（图5）。

图5 噪声信号

得到纯净的噪声后，对噪声进行进一步的分析。噪声服从0均值的高斯分布，只要知道均值a和方差？滓2即可精确描述信号的概率分布函数

均值为0时，方差可由自相关函数计算得到

因此我们只需要分析噪声的均值和自相关函数即可得到概率分布。

完成信号特征提取后，提取的参数在后续图像中是否能应用，则需要判断噪声是否具有各态历经性。采用前面所说的定理法。根据均值各态历经定理，只需要证

明 ，即

同理，根据自相关函数各态历经定理，只需要证明

即 。

解决了上述3个问题后，我们将成果应用在图像处理中，可以看到，利用各态历经性抑制噪声，显著提升了图像的清晰度。如图6所示。

（四） 各态历经性反映出的课程思政

各态历经性的本质是状态量与时间量在统计学上的一致，时间和状态两个不同维度下的随机过程，在均值和自相关函数的结果上相同。应用于解决实际工程问题时，如果从状态维度上难以实现，那不妨转换到时间维度上考虑问题，某些看似复杂的问题就会化繁为简，达到事半功倍的效果。

其实这种转换维度、化繁为简的思想不仅可以应用在科研工程上，同样可以应用于生活中[5-6]。遇到觉得难以解决问题或者事情，“死磕到底”未必有效，有时候转换思维，从另一个角度看问题，或许就会发现事情并没有想象的复杂，原来还有另外的解决途径。就好比诗人苏轼所作诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中”告诉我们的道理一样，换角度观察事物，多维度冷静分析，才能透过表象看清本质。

三 结束语

为帮助学生更好地学习和掌握随机过程理论课程内容，本文以平稳随机过程的各态历经性为例，结合了掷骰子实验、余弦函数等例子，从特殊中总结出一般，从实际引申到理论，将深奥难懂的物理概念简化、具象化，更易于学生理解和吸收；并在系统介绍了各态历经性的相关概念后，结合航天微波遥感工程实例，将理论应用到实际中来，突出了理论知识的应用价值，加深学生对所学知识的认识，形成学以致用、用以促学的良性循环[7]，更有利于引导学生发散思维主动思考，提高自身思维能力，让学生对理论和工程实践之间的联系有了更深入的理解。

本文设计的教学课程在帮助学生学习和掌握各态历经性本质的同时，也让学生意识到数理概念不仅只是具有物理意义的，其中映射出的思想或道理，对人生同样具有一定的指导意义[5-6]。最后，笔者通过实践证明，在课堂教学过程中，相关案例的引入能让学生对课程内容理解程度更深，接受度更高，课堂预期效果完成度更高。

参考文献：

[1] 陈建华，李海燕，张榆锋，等.《随机过程》精品课程建设与教学改革探索[J].中国科技信息，2010（18）：283-284.

[2] 熊丹，吴传菊.工科研究生随机过程课程教学改革研究[J].高师理科学刊，2015，35（1）：67-70.

[3] 徐华平.比照推演式教学方法在工科“随机过程理论”课的应用[J].高教论坛，2011（11）：41-43.

[4] 周荫清.随机过程理论[M].北京：电子工业出版社，2006.

[5] 孙兵，李建楠，李景文，等.平均互信息量的案例式教学方法研究[J].电气电子教学学报，2022，44（4）：78-81.

[6] 孙兵，李建楠，李景文，等.“信息论基础”课程教学中的思政元素设计[J].工业和信息化教育，2021（9）：83-86.

[7] 孙春香，李冠军.基于创新人才培养目标下“应用随机过程”教学改革探讨[J].中国多媒体与网络教学学报（上旬刊），2021（4）：80-82.