解决含参数不等式恒成立问题和函数零点讨论问题的两种方法

马大文

［摘 要］对于含参数不等式恒成立问题和函数零点讨论问题，普通高中的学生常常束手无策。文章结合例题归纳解决含参数不等式恒成立问题和函数零点讨论问题的两种方法——定点旋转直线法和平移直线法，旨在为普通高中学生提供方法依据，帮助他们破解难点。

［关键词］含参数不等式恒成立问题；函数零点讨论问题；定点旋转直线法；平移直线法

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）14-0027-03

历年广西普通高中学业水平考试数学试卷的压轴题，都是利用导数求切线方程、求函数单调区间，以及讨论含参数不等式恒成立、函数零点个数等问题。其中，含参数不等式恒成立问题和函数零点个数讨论问题在大多数情况下可以用两种直线法解决，一是定点旋转直线法，二是平移直线法。这两种直线法不仅对学业水平考试的备考有很好的作用，还对高考备考有一定的启发和帮助。

一、方法引入

现以2021年广西普通高中学业水平考试数学试题第38题为例归纳定点旋转直线法和平移直线法。

［例1］已知函数[f（x）=alnx+bx]，曲线[y=f（x）]在点[（1，f（1））]处的切线方程为[3x-y-1=0]。

（1）求[f（x）]的解析式；

（2）设[g（x）=x2+mx-f（x）]，试讨论函数[g（x）]的零点的个数。

解：（1）∵[f '（x）=ax+b]，∴[f '（1）=a+b]，∵[f（1）=aln1+b=b]，[∴]切点坐标为（1，[b]），

由点斜式得切线方程：[y-b=f '（1）（x-1）]，即[（a+b）x-y-a=0]，∵已知切线方程也表示为[3x-y-1=0]，[∴a+b=3，-a=-1，]即[a=1，b=2，][∴f（x）=lnx+2x]。

（2）∵[g（x）=x2+mx-f（x）]，∴[g（x）=x2+mx-lnx-2x]，若函数[g（x）]有零点，则[g（x）=0]，即[x2+mx-lnx-2x=0（x>0）]。

方法一：变式为[（m-2）x=lnx-x2]，令[y=（m-2）x]和[G（x）=lnx-x2]，则[G'（x）=1x-2x=-2x+22x-22x]。

当[x∈0，22]时，[G'（x）>0]，[G（x）]为增函数；当[x∈22，+∞]时，[G'（x）<0]，[G（x）]为减函数。故[G（x）]在[x=22]处有最大值，即[G（x）max=G22=-ln2+12]。当[x→0]时，[G（x）=lnx-x2→-∞]；当[x→+∞]时，由洛必达法则知，[limx→+∞lnxx2=limx→+∞（lnx）′（x2）′=limx→+∞1x2x=limx→+∞12x2=0]，即[x2]变大的速度比[lnx]变大的速度快，所以[G（x）=lnx-x2→-∞]。

（此处也可以对[y=lnx]和[y=x2]的图象进行比对，判断[G（x）]的变化趋势）

则[G（x）]的大致图象如图1所示，设过点（0，0）的直线[y=（m-2）x]与曲线[G（x）=lnx-x2]相切的切点为[（x0，lnx0-x20）]，则切线斜率满足[G'（x0）=（lnx0-x20）-0x0-0=1x0-2x0]，即[x20+lnx0-1=0]，解得[x0=1]，故切线斜率[k0=1x0-2x0=-1]。当[m-2>-1]时，即[m>1]时，直线[y=（m-2）x]与曲线[G（x）=lnx-x2]无公共点，即[g（x）]没有零点；当[m-2=-1]时，即[m=1]时，直线[y=（m-2）x]与曲线[G（x）=lnx-x2]有1个公共点，即[g（x）]有1个零点；当[m-2<-1]时，即[m<1]时，直线[y=（m-2）x]与曲线[G（x）=lnx-x2]有2个公共点，即[g（x）]有2个零点。

方法二：由[x2+mx-lnx-2x=0（x>0）]，分离得[m=2-x+lnxx]，令[y=m]和[T（x）=2-x+lnxx]，则[T'（x）=1-lnx-x2x2]，再令[G（x）=1-lnx-x2]，则[G'（x）=-1x-2x]，∵[x>0]，∴[G'（x）<0]，∴[G（x）]在[（0，+∞）]上为减函数。而[G（1）=1-ln1-12=0]，∴[x∈（0，1）]时，[G（x）>0]，即[T'（x）>0]；[x∈（1，+∞）]时，[G（x）<0]，即[T'（x）<0]，而[T'（1）=0]，故[T（x）]在[x=1]处有最大值，即[T（x）max=T（1）=2-1+ln11=1]。对于函数[T（x）]，当[x→0]时，[T（x）→-∞]；当[x→+∞]时，[T（x）→-∞]。

函数[T（x）]的大致图象如图2所示，故当[m>1]时，直线[y=m]和曲线[T（x）=2-x+lnxx]无公共点，即[g（x）]没有零点；当[m=1]时，直线[y=m]和曲线[T（x）=2-x+lnxx]有1个公共点，即[g（x）]有1个零点；当[m<1]时，直线[y=m]和曲线[T（x）=2-x+lnxx]有2个公共点，即[g（x）]有2个零点。

方法一在假设函数存在零点的情况下，即方程g（x）=0有解，对[x2+mx-lnx-2x=0（x>0）]进行分离，得[（m-2）x=lnx-x2]。通过构造一条过定点（0，0）的直线[y=（m-2）x]和一条曲线[G（x）=lnx-x2]，求出直线与曲线相切时的切线斜率[k]，并利用函数的图象和性质确定曲线[G（x）]的大致图象，绕定点旋转直线观察直线与曲线是否有公共点，若有公共点，有几个，此时直线的斜率[m-2]与切线斜率[k]满足什么关系，从中找到[m]的取值范围确定直线与曲线的公共点个数，进而确定函数g（x）的零点个数。这一种讨论函数零点存在的方法称为定点旋转直线法。

方法二在假设函数存在零点的情况下，即方程g（x）=0有解，对[x2+mx-lnx-2x=0（x>0）]进行分离，得[m=2-x+lnxx]，通过构造一条动直线[y=m]和一条曲线[T（x）=2-x+lnxx]，并利用函数的图象和性质确定曲线[T（x）]的大致图象，上下平移直线[y=m]，观察直线与曲线是否有公共点，若有公共点，有几个，确定相应[m]的取值范围，从而由[m]的取值范围确定函数g（x）的零点个数。这种讨论函数零点存在的方法称为平移直线法。

定点旋转直线法和平移直线法都是在假设某函数g（x）存在零点的情况下，由[g（x）=0]分离出一条直线和一条曲线，通过直线的旋转或平移，观察参数变化范围，确定直线与曲线的公共点个数，从而确定函数的零点个数。定点旋转直线法和平移直线法虽然都有一条直线，但定点旋转直线法中的直线是过定点的，是绕定点旋转的动直线；而平移直线法中的直线不过定点，是一条和[y]轴垂直的动直线。

在解决问题的过程中，如果能分离出一次函数型的，可以考虑用定点旋转直线法求解与证明；如果不能分离，一般考虑用平移直线法。具体用哪种方法，应根据问题的条件具体分析。

二、定点旋转直线法和平移直线法的解题步骤

设函数[y=f（x）]，且[f（x）]有零点，即有[f（x）=0]。

（一）定点旋转直线法

1.分离过定点[P（x0，y0）]的动直线[l：y=k（x-x0）+y0]和曲线C：[y=T（x）]。

2.利用函数的图象和性质画出[y=T（x）]的大致图象。

3.设直线与曲线的切点坐标为[（a，T（a））]，利用导数的几何意义和斜率的坐标计算公式，即由[T'（a）=y0-T（a）x0-a]求出[a]，进而求出切线斜率[k0=T'（a）]。

4.旋转动直线[l]，当直线[l]与曲线C没有公共点时，即[y=f（x）]没有零点时，确定[k]与[k0]的关系；当当直线[l]与曲线[C]有公共点时，即[y=f（x）]有零点时，确定[k]与[k0]的关系。

（二）平移直线法

1.分离动直线[l：y=m]和曲线[C]：[y=T（x）]。

2.利用函数的图象和性质画出[y=T（x）]的大致图象。

3.平移动直线[l]，当直线[l]与曲线[C]没有公共点时，即[y=f（x）]没有零点时，确定[m]的取值范围；当直线[l]与曲线C有公共点时，即[y=f（x）]有零点时，确定[m]的取值范围。这里[m]的取值范围与函数[y=T（x）]的值域有关，特别是函数的最值与极值和端点与断点有密切关系。

在定点旋转直线法和平移直线法的应用中，在画[y=T（x）]的大致图象时，一般由定义域和值域确定图象的范围，由单调性、最值点、极值点、端点和断点、奇偶性、对称性和周期性、函数的变化趋势等确定图象的大体形状。

三、两种直线法在不同场景下的应用

（一）平移直线法的应用

［例2］已知函数[f（x）=x2+x-alnx-2]。若[x>1]时，[ f（x）>0]恒成立，求实数[a]的取值范围。

解：∵[f（x）>0]恒成立，即[x2+x-alnx-2>0]，有[alnx1]，∴[lnx>0]，分离得[a0]。∴[M（x）]在（1，+∞）上是增函数，∴[M（x）>M（1）=0]，∴[G'（x）>0]，∴[G（x）]在（1，+∞）上是增函数，∴[G（x）>G（1）=0]，∴[T'（x）>0]，∴[T（x）]在（1，+∞）上是增函数，∴[T（x）>limx→1T（x）=] [limx→1x2+x-2lnx=limx→1（x2+x+2）′（lnx）′=limx→12x+11x=limx→1（2x2+x）=3]。

则[T（x）]的大致图象如图3所示，当直线[y=a]在过界点（1，3）的直线[y=3]位置或以下时，不等式恒成立，此时[a]的取值范围是[-∞，3]。

（二）定点旋转直线法的应用

［例3］已知函数[f（x）=ax2]，[g（x）=xlnx]。若[f（x）≥g（x）]恒成立，求实数[a]的取值范围。

解：∵[x>0]， [f（x）≥g（x）]恒成立，即[ax2≥xlnx]可变形为[ax≥lnx]，令[y=ax]和[T（x）=lnx]，则[T'（x）=1x]。设过定点（0，0）的直线[y=ax]与曲线[T（x）=lnx]相切的切点为[（x0，lnx0）]，则切线斜率满足[T'（x0）=lnx0-0x0-0=1x0]，即[lnx0=1]，解得[x0=e]，故切线斜率[k0=1x0=1e]。而[T（x）=lnx]的大致图象如图4所示，故当[a≥k0]时，即[a≥1e]时，不等式恒成立，此时实数[a]的取值范围是[1e，+∞]。

［例4］已知函数[f（x）=ax-lnx（a∈R）]。若[g（x）=f（x）+1-1xlnx]的图象与直线[y=a]相切，求[a]的值。

解：由[g（x）=f（x）+1-1xlnx]，得[g（x）=ax-1xlnx]，[∵]直线[y=a]与曲线[g（x）=ax-1xlnx]相切，∴[a=ax-1xlnx]有唯一解，分离变量得[a（x-1）=lnxx]。令[y=a（x-1）]和[T（x）=lnxx]，则[T'（x）=1-lnxx2]，当[x∈（0，e）]时，[T'（x）>0]，[T（x）]为增函数；当[x∈（e，+∞）]时，[T'（x）<0]，[T（x）]为减函数，∴[T（x）]存在最大值，即[T（x）max=T（e）=1e]。当[x→0]时，[lnx→-∞]，[1x→+∞]，∴[lnxx→-∞]；当[x→+∞]时，[lnxx>0]，又∵[limx→+∞lnxx=limx→+∞（lnx）'x'=limx→+∞1x=0]，则[T（x）]的大致图象如图5所示，设过定点（1，0）的动直线[y=a（x-1）]与曲线[T（x）=lnxx]相切的切点为[x0，lnx0x0]，则切线斜率满足[T'（x0）=1-lnx0x02=lnx0x0-0x0-1]。整理得[x0+lnx0-2x0lnx0-1=0]，可知[x0=1]是方程的解，故切线斜率[k0=T'（x0）=1-lnx0x02=]1；[∴] [a=k0=1]时，[y=a（x-1）]与曲线[T（x）=lnxx]相切，也就是[a=1]时，曲线[g（x）]与直线[y=a]相切。

四、两种直线法的使用说明

普通高中学生的逻辑推理能力相对较弱，如果他们按照常规的解题思路和方法解答导函数问题，难度很大，较难得分。定点旋转直线法和平移直线法的解题虽然不是最简洁的，但它们可以按照一定的程序步骤走，可给学生创造拿分的机会，增强他们解题的勇气和信心。应用定点旋转直线法和平移直线法的难点在于勾画出曲线的形状和判断图形的变化趋势。对此，教师可引导学生借助几何画板研究、辨析不同函数的图形，以及让学生借助高等数学中的洛必达法则判断图形的变化趋势。

（责任编辑    黄春香）