光滑Banach空间中Birkhoff正交组的性质

王晓梅 计东海

摘 要：参考内积空间中正交组的定义，在有限维实Banach空间中引入了Birkhoff正交组的概念，并围绕光滑的Banach空间中是否存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组这一问题展开研究。证明了二维光滑的Banach空间中不存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组；三维及以上的光滑Banach空间中不存在所含元素个数超过空间维数且所含元素均为左（右）对称点的Birkhoff正交组。表明了若n（≥3）维光滑的Banach空间中存在Birkhoff正交组A={x1，x2，…，xn，xn+1}，则A必不满足以下两个条件：（1）对A中任意一点xm有xm⊥Bxi（i≠m）；（2）对A中任意一点xm有xi⊥Bxm（i≠m）。

关键词：Banach空间；Birkhoff正交；Birkhoff正交组；光滑性

DOI：10.15938/j.jhust.2024.01.016

中图分类号： O177  文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2024）01-0143-07

A Study of Birkhoff Orthogonal Sets in Smooth Banach Spaces

WANG Xiaomei， JI Donghai

（College of Science， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Referring to the definition of orthogonal set in inner product space， the concept of Birkhoff orthogonal set is introduced in finite-dimensional real Banach spaces， and the problem of whether there exists a Birkhoff orthogonal set whose number of elements exceeds the space dimension is studied in smooth Banach spaces. It is proved that there is no Birkhoff orthogonal set whose number of elements exceeds the space dimension in two-dimensional smooth Banach spaces. In a smooth Banach space with more than three dimensions， there is no Birkhoff orthogonal set with more elements than the space dimension and all the elements are left （right） symmetric points. It is also proved that if there is a Birkhoff orthogonal set A={x1，x2，…，xn，xn+1} in an n-dimensional （n≥3） smooth Banach space， and then A must not satisfy the following two conditions： （1）for each xm∈A， there exists xm⊥Bxi（i≠m）; （2）for each xm∈A， there exists xi⊥Bxm（i≠m）.

Keywords：Banach space; Birkhoff orthogonality; Birkhoff orthogonal set; smoothness

0 引 言

众所周知， 正交性的存在使得内积空间具有许多重要的几何特征。随着赋范线性空间广义正交性的出现，将内积空间中的相关理论推广到一般赋范线性空间，丰富赋范线性空间的几何知识成为可能。

Birkhoff正交［1］在Banach空间的几何研究中起着至关重要的作用。Birkhoff正交与空间的各种几何性质（如光滑性、严格凸性等）之间有着自然地联系。Birkhoff正交是许多中外学者一直以来的研究热点。

参考内积空间中正交组的定义，自然地可以给出实有限维Banach空间中Birkhoff正交组的定义。

在实有限维Banach空间中，若一组非零元素它们两两Birkhoff正交就称为Birkhoff正交组。本文的主要目的是对Birkhoff正交组进行研究。基于此，需要了解Birkhoff正交的一系列性质。

JAMES R C详细研究了Birkhoff正交的相关性质［2-3］，他指出三维以上的实赋范空间中的Birkhoff正交如果是对称的，则该空间是内积空间；Birkhoff正交具有齐次性；它不具有唯一性，一个空间中的Birkhoff正交是是左唯一的当且仅当该空间是严格凸的；Birkhoff正交是右唯一的或者是右可加的当且仅当该空间是光滑的。Birkhoff正交相关性质的研究正在不断丰富［4-11］。由于内积空间中的正交具有对称性而Birkhoff正交在一般赋范线性空间中不具有对称性，许多学者在Birkhoff正交对称性这一研究方向得出了许多结论［12-18］。

2016年，GHOSH P等在文［12］中研究了有限维实Hilbert空间H上定义的线性算子为左（右）Birkhoff正交对称充要条件。2017年，SAIN D 在Banach空间中引入了Birkhoff正交意义下的左对称点和右对称点的概念［13］。该论文还研究了有限维Banach空间X上定义的有界线性算子的Birkhoff正交性及满足Birkhoff正交性的对称线性算子。2017年，SAIN D 等人研究了赋范线性空间X上的有界线性算子T的左对称性［14］。2018年，SAIN D 在文［15］中论证了对于一个实光滑的Banach空间，左对称点的集合在任何等距下都是不变集。近两年，CHATTOPADHYAY A等在文［16］中完全刻画了实Banach空间lnp（1≤p≤∞）中Birkhoff正交意义下的左对称点和右对称点。SAIN D 在这之后全面地刻画了实Banach空间中的左对称点和右对称点［17］。

Birkhoff正交组与空间中的左对称点以及右对称点有着密切的联系，将左对称点和右对称点与Birkhoff正交组结合起来，有助于Birkhoff正交组性质的研究，也有助于丰富Birkhoff正交对称性的研究。

2021年，ARAMBAI L等在文［18］中提出可交换Birkhoff正交的概念。设X是一个实有限维赋范线性空间，x，y∈X，称x与y为可交换Birkhoff正交的若x⊥By且y⊥Bx，记为x⊥⊥y。根据可交换Birkhoff正交的定义，可以给出实有限维Banach空间中可交换Birkhoff正交组的定义。在实有限维Banach空间中，若一组非零元素它们两两可交换Birkhoff正交就称为可交换Birkhoff正交组。显然，可交换Birkhoff正交组必为Birkhoff正交组，反之则不成立。例如在ln∞空间中，集合A={（1，1，0，…，0），（1，－1，0，…，0），（0，1，0，…，0）}为空间中的Birkhoff正交组，但不是可交换Birkhoff正交组。

正如大众所知内积空间中的一组非零元素，如果它们两两正交就称为正交组。在n（∈N）维内积空间中两两正交的非零元素不能超过n个，即内积空间中不存在所含元素个数超过空间维数的正交组。ARAMBAI L等在文［18］中表明n维光滑赋范线性空间中至多有n个两两可交换Birkhoff正交的非零元素。这表明n维光滑的Banach空间中不存在所含元素个数超过空间维数的可交换Birkhoff正交组。由于空间中可交换Birkhoff正交组不一定是Birkhoff正交组，故这一性质不一定能应用到Birkhoff正交组上。本文将重点围绕n（≥2，∈N）维光滑的Banach空间中能否存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组展开研究。

1 预备知识

定义1［1］ 设X是一个实赋范线性空间，x，y∈X，如果对于任意λ∈瘙綆都有

‖x+λy‖≥‖x‖

则称xBirkhoff正交于y记作x⊥By，称y为x的Birkhoff正交元。

显然，若x⊥By且x和y都是非零元素时，x与y是线性无关的。

定义2 设X是一个实有限维Banach空间，AX为所含元素均为非零元素的集合。若对x，y∈A（x≠y），有x⊥By或y⊥Bx。则称A为Birkhoff正交组。

定义3［13］ 设X是一个实有限维Banach空间，元素x∈X称为左对称点若

x⊥Byy⊥Bx

对所有的y∈X成立。

元素x∈X称为右对称点若

y⊥Bxx⊥By

对所有的y∈X成立。

若元素x∈X既为左对称点又为右对称点，则称该元素为对称点。

定义4［19］ 设X为赋范线性空间，x∈X，称f∈X*为x点处的支撑泛函，若f（x）=‖x‖。

定义5［2］ 赋范线性空间X上的Birkhoff正交是右可加的是指：对x，y，z∈X，若x⊥By且x⊥Bz，则有x⊥By+z。

定理1［3］ 设X为光滑的赋范线性空间，对x∈SX都存在唯一的支撑泛函f∈SX*。

定理2［3］ 设X为赋范线性空间，则X上的Birkhoff正交是右可加的当且仅当X是光滑的。

此外，本文中出现的符号表示含义如表1所示。

2 主要结果

首先，从二维空间开始研究，证明二维光滑的Banach空间中不存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组。

引理1［3］ 设X是一个实有限维赋范线性空间，x，y∈X。x⊥By的充要条件是存在f∈X*，使得f（x）＝‖x‖且f（y）＝0。

定理3 设X是一个光滑的实有限维Banach空间且dimX=2。则空间X中不存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组。

证明：反证法，假设A=（x1，x2，x3）为空间X中的Birkhoff正交组。由于空间X是光滑的，故A中任一元素xm均存在唯一的支撑泛函fm∈X*。设x1，x2，x3对应的支撑泛函分别为f1，f2，f3。

当x2⊥Bx1和x3⊥Bx1在空间X中同时存在时：

由引理1可得

x2⊥Bx1，x3⊥Bx1

x1∈kerf2，x1∈kerf3

x1∈kerf2∩kerf3

由Birkhoff正交组的定义可知，当x2⊥Bx1和x3⊥Bx1同时存在时，此时必有x2⊥Bx3或x3⊥Bx2。即必有x2∈kerf3或x3∈kerf2。

若kerf2=kerf3，则有x2∈kerf2即x2⊥Bx2。然而x2⊥/

Bx2，矛盾。故kerf2≠kerf3。又由dimX=dimX*=2，故

dim（kerf2）=dim（kerf3）=1

则有

x1∈kerf2∩kerf3={0}

然而x1≠0，矛盾。故x2⊥Bx1和x3⊥Bx1在空间X中不能同时存在。

同理可得x1⊥Bx2和x3⊥Bx2在空间X中不能同时存在；x1⊥Bx3和x2⊥Bx3在空间X中不能同时存在。

此时Birkhoff正交组A=（x1，x2，x3）在空间X中只能有以下两种可能的Birkhoff正交情况：

1）x1⊥Bx3，x3⊥Bx2，x2⊥Bx1；

2）x1⊥Bx2，x2⊥Bx3，x3⊥Bx1。

考虑情况（1）：

由Birkhoff正交的性质可知此时x1和x3是线性无关的；x3和x2是线性无关的；x2和x1是线性无关的。又因为dimX=2，故A=（x1，x2，x3）在空间X中是线性相关的。则此时有

a1x1+a2x2+a3x3=0（a1a2a3≠0）。

由Birkhoff正交的齐次性可得

x1⊥Bx3a1x1⊥Ba3x3－a2x2－a3x3⊥Ba3x3

‖a2x2+（λ+1）a3x3‖≥‖a2x2+a3x3‖，λ∈x3⊥Bx2a3x3⊥Ba2x2

‖a3x3+λa2x2‖≥‖a3x3‖，λ∈λ=1

‖a3x3+a2x2‖≥‖a3x3‖

x2⊥Bx1a2x2⊥Ba1x1

a2x2⊥B－a2x2－a3x3

‖a2x2+λ（－a2x2－a3x3）‖≥‖a2x2‖，

λ∈λ=1‖a3x3‖≥‖a2x2‖

故

x1⊥Bx3，x3⊥Bx2，x2⊥Bx1

‖a2x2+（λ+1）a3x3‖≥

‖a2x2+a3x3‖≥‖a3x3‖≥‖a2x2‖，

λ∈x2⊥Bx3

然而，由上述可知x1⊥Bx3和x2⊥Bx3在空间X中不能同时存在，矛盾。

同理考虑情况（2）可得

x1⊥Bx2，x2⊥Bx3，x3⊥Bx1x3⊥Bx2

由于x1⊥Bx2和x3⊥Bx2在空间X中不能同时存在，矛盾。

综上所述，可知空间X中不存在Birkhoff正交组A=（x1，x2，x3）。

若空间X中存在Birkhoff正交组

S={x1，x2，x3，x4}，则必存在S的子集

A=（x1，x2，x3）为空间X的Birkhoff正交组，矛盾。

同理，以此类推可以证得空间X中不存在超过空间维数的Birkhoff正交组，证毕。

由于所含元素个数为二的Birkhoff正交组必为线性无关组，故由定理3可得出如下结论。

推论1 设X是一个光滑的实有限维Banach空间且dimX=2。则空间X中的Birkhoff正交组为线性无关组。

接下来研究光滑的实有限维Banach空间X（dimX≥3）中是否存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组。

既然二维光滑的Banach空间不存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组，那么自然地猜想光滑的Banach空间X（dimX≥3）中也不存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组。

为了验证这一猜想，先研究一些具有特殊性质的Birkhoff正交组是否符合这个猜想。

设A={x1，x2，…，xn}为光滑的实有限维Banach空间X（dimX≥3）中的Birkhoff正交组，且满足条件：A中的元素均为左（右）对称点。接下来证明Birkhoff正交组A在空间X中所含元素个数必不超过空间维数。

定理4 设X是一个光滑的实有限维Banach空间且dimX≥3，A={x1，x2，…，xn}为空间X中的Birkhoff正交组且满足条件：A中的元素均为左（右）对称点。则Birkhoff正交组A为线性无关组。

证明：由Birkhoff正交组定义可知对于A中的任意两元素x，y，一定有x⊥By或y⊥Bx。

故当A中的元素均为左（右）对称点时，A必满足条件：x1⊥Bxj（j=2，…，n），x2⊥Bxm（m=3，…，n），…，xn－1⊥Bxn。

由于空间X是光滑的，故A中任一点均为空间X中的光滑点。因此A中任一元素xm均存在唯一的支撑泛函fm∈X*。

设x1，x2，…，xn对应的支撑泛函分别为f1，f2，…，fn，由引理1可知

x1⊥Bxj（j=2，…，n）x2，x3，…，xn∈kerf1，

x2⊥Bxm（m=3，…，n）x3，…，xn∈kerf2，

…

xn－1⊥Bxnxn∈kerfn－1。

令∑nj=1cjxj=0则有

c1x1=－c2x2－c3x3－…－cnxn

又因为x2，x3，…，xn∈kerf1则有

f1（c1x1）=f1（－c2x2－c3x3－…－cnxn）=0

即

c1f1（x1）=－c2f1（x2）－c3f1（x3）－…－cnf1（xn）=0

因f1（x1）=‖x1‖≠0，故有c1=0。

同理，由x3，…，xn∈kerf2以及f2（x2）=‖x2‖≠0可得c2=0。

以此类推可得c1=c2=…=cn=0，故A为线性无关组，证毕。

推论2 设X是一个光滑的实有限维Banach空间且dimX≥3，A={x1，x2，…，xn}为空间X中的Birkhoff正交组且满足条件：A中的元素均为左（右）对称点。则A在空间X中所含元素个数必不超过空间维数。

受定理4的启发，用Birkhoff正交的左（右）对称点对内积空间进行刻画。

定理5 设X为实赋范线性空间且dimX≥3。空间X为内积空间的充要条件为SX上的点均为左（右）对称点。

证明：首先证明空间X为内积空间的充要条件为SX上的点均为左对称点。

因为内积空间中的Birkhoff正交具有对称性，故当空间X为内积空间时，SX上的点均为对称点，故均为左对称点。

当SX上的点均为左对称点时，对u，v∈SX，

u⊥Bvv⊥Bu

同理

v⊥Buu⊥Bv

即

u⊥Bvv⊥Bu

根据Birkhoff正交的齐次性可得此时空间X中的Birkhoff正交具有对称性。由JAMES R C的结论可知空间中的Birkhoff正交具有对称性当且仅当该空间是内积空间。因此空间X为内积空间。

同理可以证明空间X为内积空间的充要条件为SX上的点均为右对称点，证毕。

要研究光滑的Banach空间X（dimX≥3）中是否真的不存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组这一复杂问题，可以先进行逆向思维。假设空间X中存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组，探究此时这些Birkhoff正交组需要满足什么条件。

在此之前需要用到文［20］中的一个结论。

引理2［20］ 设X为向量空间，{f，f1，f2，…，fn}X#。f为f1，…，fn的线性组合当且仅当∩nj=1kerfjkerf。

定理6 设X是一个光滑的实有限维Banach空间且dimX≥3，A={x1，x2，…，xn}为空间X中的Birkhoff正交组，对xi∈A（i=1，2，…，n）有唯一的支撑泛函fi。若A中存在元素xm满足其对应支撑泛函fm为f1，f2，…，fm－1，fm+1，…，fn的线性组合，则必不存在对j≠m有xj⊥Bxm成立。

证明：反证法，假设空间X中的Birkhoff正交组A={x1，x2，…，xn}中存在一点xm满足其对应对支撑泛函fm为f1，f2，…，fm－1，fm+1，…，fn的线性组合且满足对j=1，2，…，m－1，m+1，…，n有xj⊥Bxm成立。

由引理1可知

xj⊥Bxm（j=1，2，…，m－1，m+1，…，n）

xm∈∩1，…m－1，m+1，…nj=1kerfj

再由引理2可知fm为f1，f2，…fm－1，fm+1，…，fn的线性组合可以推出

∩1，…m－1，m+1，…nj=1kerfjkerfm

故有xm∈kerfm即有xm⊥Bxm，矛盾。证毕。

定理7 设n∈N，X为n（≥3）维光滑的实Banach空间，A={x1，x2，…，xn，xn+1}为空间X中的Birkhoff正交组。则A必不满足以下这两种情况：

1）对A中任意一点xm有xm⊥Bxi（i≠m）；

2）对A中任意一点xm有xi⊥Bxm（i≠m）。

证明：考虑情况（1）： 要证该定理即证在空间X中，A中存在元素不满足该元素Birkhoff正交于A中其余所有元素的条件。同时可以证得这样的元素至少有四个。

首先由定理3的证明过程可知光滑的实Banach空间中所含元素个数为3的Birkhoff正交组必为线性无关组。因此，在光滑的实Banach空间中当所含元素个数为4的Birkhoff正交组为线性相关组时，该正交组中任一元素均可由其余元素线性表出。故当n=3时，Birkhoff正交组A={x1，x2，x3，x4}中任一元素均可由其余元素线性表出。

当n=4时，Birkhoff正交组A={x1，x2，x3，x4，x5}必定为线性相关的，此时有ax1+bx2+cx3+dx4+ex5=0，其中a，b，c，d，e不全为0。若a，b，c，d，e均不为0，则有五个元素满足可被除该元素本身外的A中其余元素线性表出的条件。若a，b，c，d，e中有一个元素为0，不妨设a=0且bcde≠0此时必有四个元素满足可被除该元素本身外的A中其余元素线性表出的条件。若a，b，c，d，e中有两个元素为0，由定理3的证明过程可知这种情况不存在。同理也不存在a，b，c，d，e中有3个元素为0或者4个元素为0的情况。即当n=4时A={x1，x2，x3，x4，x5}中必定存在4个元素满足可被除该元素本身外的A中其余元素线性表出的条件。

以此类推可以知道在n（≥3）维光滑的实赋范线性空间中Birkhoff正交组A={x1，x2，…，xn，xn+1}至少存在4个元素满足可被除该元素本身外的A中其余元素线性表出的条件。

下证若A中某一元素xm满足可被除该元素本身外的A中其余元素线性表出的条件则该元素必不满足xmBirkhoff正交于A中其余所有元素的条件。

若元素xm满足xmBirkhoff正交于A中其余所有元素的条件，根据Birkhoff正交的齐次性和光滑赋范线性空间中Birkhoff正交的右可加性可得

xm⊥Ba1x1+…+am－1xm－1+am+1xm+1+…+an+1xn+1

即xm⊥Bxm，由上述可知矛盾。

故在空间X中，A中存在元素不满足该元素Birkhoff正交于A中其余所有元素的条件，且这样的元素至少有4个。

考虑情况（2）：

要证这个定理即证A中存在一点xm不满足A中其余所有元素均Birkhoff正交于xm的条件。

由于空间X为n维光滑的，故A为线性相关的且A中任意一元素xm均存在唯一的支撑泛函fm∈X*。

设x1，x2，…，xn，xn+1对应的支撑泛函分别为f1，f2，…，fn，fn+1。由于dimX=dimX*，故S={f1，f2，…，fn，fn+1}在空间X*中是线性相关的，那么S中必定存在元素fm满足可被其余元素线性表出的条件。可知该元素fm∈S为xm∈A的支撑泛函，而元素xm∈A即为我们要找的元素xm。

由定理6可知此时xm不满足A中其余所有元素均Birkhoff正交于xm的条件。故在空间X中，A中存在元素不满足A中其余所有元素均Birkhoff正交于该元素的条件，证毕。

由定理4可知所含元素均为左（右）对称点的Birkhoff正交组在光滑的Banach空间中必为线性无关组。那么n（≥3）维光滑的Banach空间中若存在Birkhoff正交组A={x1，x2，…，xn，xn+1}，则A中元素不全为左对称点或不全为右对称点。

接下来，进一步证明在n（≥3）维光滑的Banach空间X中，A={x1，x2，…，xn，xn+1}必不由一个左对称点和n个右对称点构成。

定理8 设n∈N，X为n（≥3）维光滑的实赋范线性空间，A={x1，x2，…，xn，xn+1}为空间X中Birkhoff正交组。则A必不由一个左对称点和n个右对称点构成。

证明：反证法，不妨设xn+1为空间X中的左对称点，x1，x2，…，xn均为右对称点。

当x1，x2，…，xn均为右对称点时，由定理4的证明过程可知此时必然有x1⊥Bxj（j=2，…，n），x2⊥Bxm（m=3，…，n），…，xn－1⊥Bxn。

而当xn+1为左对称点时，由Birkhoff正交组的定义可知此时必然有

x1，x2，…，xn⊥Bxn+1

由于空间X是光滑的，故x1，x2，…，xn分别存在唯一的支撑泛函f1，f2，…，fn。此时由dimX=n和引理1可知

x1，x2，…，xn⊥Bxn+1

xn+1∈kerf1∩kerf2∩kerf3∩…∩kerfn={0}

然而由Birkhoff正交组定义可知xn+1≠0，矛盾，证毕。

注：上述定理的结论不能更换成：则A必不由一个右对称点和n个左对称点构成。因为当A满足这个条件时，不一定能得出这n个左对称点均Birkhoff正交于这个右对称点的结果。故基于上述证明过程，不能找出矛盾点。

3 结 论

针对光滑的Banach空间中是否存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组这一问题，我们已经在二维空间中找到答案。对于三维及以上的空间中是否也具有这样的性质，我们通过逆向思维得出了一些有助于解决这一复杂问题的有用结论，如定理7以及定理8所示。

基于目前的研究我们猜测三维及以上的光滑Banach空间中不存在所含元素个数超过空间维数的Birkhoff正交组。

我们将在后续继续研究并验证我们的猜想，解决这一复杂问题。

参 考 文 献：

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［20］MEGGINSON R E. An Introduction to Banach Space Theory［M］. Springer Science & Business Media， 2012.

（编辑：温泽宇）

基金项目： 国家自然科学基金（11571085）.

作者简介：王晓梅（1998—），女，硕士研究生.

通信作者：计东海（1964—），男，教授，博士研究生导师，E-mail：jidonghai22hrbust@163.com.