“单动点”常见问题及解答策略分析

冷国香

［摘 要］动点问题是初中数学一类十分重要的问题，在中考中经常出现。动点问题不仅需要学生具备较强的计算能力，还需要学生有着较强的动态思维、逻辑推理能力，这使得动点问题成为一类难题。文章结合实际问题，对常见的几类“单动点”问题及其解答策略进行总结分析，以期提高学生的解题能力。

［关键词］单动点；常见问题；解答策略

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）11-0037-03

动点问题一直是初中数学的一类难题，常以数轴、几何图形、函数图象等为依托，考查学生对相关知识的掌握情况及其数学思维能力。对于这类问题，教师会在教学中讲述相关解答策略，但很少会将常见的动点问题进行系统性的总结归纳，这也弱化了学生对动点问题策略的掌握。本文对常见的“单动点”问题及解答策略进行总结分析，以期提高学生的解题能力。

一、数轴问题

数轴上的动点问题是一类较为常见的问题，此类问题比较简单，主要考查学生对数轴知识的理解及对数形结合思想和方程思想的运用能力。在解题中，要重点关注动点到定点距离、中点、三等分点等条件信息，进而根据数轴知识进行列式计算。

［例1］如图1所示，数轴上有[A、B、C]三点，若[AB]表示[A、B]两点间的距离，[AC]表示[A、C]两点间的距离，且[AB=13AC]，若点[A、C]对应的数分别为[a、c]，且[a+40+c-20=0]。

（1）求[BC]的长；

（2）若点[P、Q]分别从[A、C]两点同时出发，向左运动，速度分别为每秒[2]个单位长度和[5]个单位长度，则运动多久后[Q、B]间的距离与[P、B]间的距离相等。

解析：（1）由[a+40+c-20=0]，

可得[a=-40，c=20]，

即点[A、C]对应的数分别为[-40，20]，

所以[AC=20-（-40）=60]，

因为[AB=13AC]，所以[BC=23AC=40]。

（2）设[P、Q]两点运动的时间为[t]秒，则点[P]对应的数为[-40-2t]，点[Q]对应的数为[20-5t]。由（1）可得，点C对应的数是20，[BC=40]，所以点B对应的数为[20-40=-20]，

所以[BQ=-20-（20-5t）=5t-40]，[BP=-20-（-40-2t）=2t+20]，

即[5t-40=±（2t+20）]，

可得[t=207]或[t=20]，

故运动了[207]秒或[20]秒时，[Q、B]间的距离与[P、B]间的距离相等。

评注：在解答本题时需要灵活借助[AB=13AC]这一关系，得到各点的位置信息。在此基础上，根据题目所给出的运动情境，通过数形结合分析，易得到其中的关系，进而列式解答。

二、线段问题

线段上的动点问题是一类较为常见的动点问题，这类问题较多地出现在选择题和填空题中。这类问题通常以几何图形为背景，围绕几何性质，考查最长、最短、和差最值等诸多知识点。在实际的解题中，需要学生灵活运用几何相关性质。

［例2］如图2所示，正方形[ABCD]的边长为[8]，对角线[AC]与[BD]交于点[O]，[N]是[AO]的中点，点[M]在[BC]边上，且[BM=6]，点[P]为对角线[BD]上一点，则[PM-PN]的最大值为多少？

解析：如图3所示，作[N]关于[BD]的对称点[N']，连接[PN']、[MN']，则[PN'=PN]，

所以[PM-PN=PM-PN'≤MN']，

当且仅当[P、N'、M]三点共线时，等号成立，[PM-PN]最大。

延长[MN']交[BD]于[P']，则[MP'-N'P'=MN']，

因为[N']为[OC]中点，

所以[CN'=14AC=14AB2+BC2=22]，

因为[CN'AC=CMBC=14]，

所以[MN'//AB]，则[∠N'MC=∠ABC=90°]，

易得[MN'=CN'·sin45°=22×22=2]，

即[PM-PN]最大值为[2]。

点在直线上运动，求解线段和最小值问题中，当两定点在已知直线的异侧时，可以直接连接两点进行解题；当两定点位于直线同侧时，则需要通过对称性将其转化为异侧进行求解。在求解线段差最大值时，两定点在同侧可直接连接并延长，若是异侧则需要借助对称点。本题属于求解线段差的最大值问题，在解题中通过对称、辅助线的方法，进而结合几何性质进行解题。

三、周长问题

周长问题也是以几何图形为背景的常见动点问题之一，在这类问题中，通常会考查动点与已知两个定点、三个定点等所围成图形的周长的最大、最小值。解答这类问题的关键点在于正确判断出动点运动到何处时，图形的周长达到最大，确定动点之后，便可以借助几何图形的相关性质进行解题。

［例3］如图4所示，抛物线[y=ax2+bx+c]图象与[x]轴交于[A、B]两点，与[y]轴交于点[C]，且[B（2，0）]，[OA=OC=2OB]。

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴上是否存在一点[M]，使得与[B、C]两点围成的三角形周长最小？

解析：（1）抛物线的表达式为[y=-12x2-x+4]。（过程略）

（2）[y=-12x2-x+4]的对称轴为直线[x=-1]，因为[A、B]关于直线[x=-1]对称，所以连接[AC]交对称轴于点[M]，此时[△BCM]的周长最小。

设直线[AC]的解析式为[y=kx+m]，代入[A（-4，0），C（0，4）]，得[k=1，m=4]，

则直线[AC]的解析式为[y=x+4]，

将[x=-1]代入，可得[y=3]，

所以点[M]的坐标为[（-1，3）]。

本题为几何图形与二次函数图象结合考查的动点周长最小值问题。在解题中，由题意易得二次函数的解析式，同时可以得到[B、C]两点的坐标，结合A、B关于直线[x=-1]对称，连接[AC]交对称轴于点[M]，可以判断此时[△BCM]的周长最小，继而根据相关定理便可求解点[M]的坐标。

四、存在性问题

在存在性问题中，根据所涉及的几何图形不同可将存在性问题分为三角形存在性问题和四边形存在性问题两类。在三角形存在性问题中，会涉及直角三角形、等腰三角形、等边三角形的存在性验证等。在直角三角形存在性问题中，往往会因直角位置不定，而需要借助勾股定理、三角函数等进行解题，常见的题型为求经抛物线的两点与一动点构成直角三角形时的坐标。在等腰三角形存在性问题中，因为腰和底的不确定性，通常需要进行分类讨论。四边形存在性问题常见的题型为已知两个定点与抛物线对称轴上一点，问抛物线上是否存在一点使四点构成一个特殊四边形。同样的，有时需要根据两点构成的线段为特殊四边形的边或是对角线进行分类讨论。

［例4］如图5所示，二次函数[y=ax2+bx-4（a≠0）]图象与[x]轴交于A（-2，0），[C（8，0）]，与[y]轴交于[B]，对称轴与[x]轴交点为[D]。

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接[BC]，在线段[BC]上是否存在一点[E]，使[△CDE]为等腰三角形？

解析：（1）[y=14x2-32x-4]。（过程略）

（2）存在。由题意可得[C（8，0），B（0，-4）]，二次函数的对称轴为[x=3]，则[D（3，0）]，所以[CD=5]，

设直线[BC]的方程为[yBC=kx+b]，将[C（8，0）]，[B（0，-4）]代入得

[8k+b=0，b=-4，]得[k=12，b=-4，]

即直线[BC]的方程为[yBC=12x-4]，

因此可设点[E]的坐标为[m，12m-4]，

则[DE=（m-3）2+12m-42]，

[EC=（m-8）2+12m-42]，

当[CD=DE]时，[（m-3）2+12m-42=25]，

解得[m1=0，m2=8]（舍去），

所以[E1（0，-4）]。

当[EC=DE]时，[（m-8）2+12m-42=（m-3）2+12m-42]，解得[m3=112]，所以[E2112，-54]。

当[CD=CE]时，[（m-8）2+12m-42=25]，

解得[m1=4+25，m2=4-25]（舍去），

所以[E3（4+25，5-2）]。

综上，所有符合条件的点[E]的坐标有[E1（0，-4）]，[E2112，-54]，[E3（4+25，5-2）]。

在本题中，根据题意容易得到二次函数的解析式，但是题目中并未给出等腰三角形的腰和底，因此需要进行分类讨论。根据等腰三角形的特点，可以按[CD=DE]，[EC=DE]，[CD=EC]分类，在不同情况下建立方程，进而求解。在解答这类问题时，一般需要将题目中的线段作为底或腰进行分类讨论，根据两腰相等进行列式计算。

五、与面积相关的问题

与面积相关的问题，同样可以分为三角形问题与四边形问题两大类，而三角形面积又可以进一步分为三角形面积定值问题、三角形面积最值问题。对于三角形面积最值、定值问题，可以转化为线段最值、定值问题，通过构造面积函数进行求解。常用的解题方法有“切割法”“割补法”等。在四边形面积最值问题中，通常可以将其拆分为一个面积为定值的三角形与一个面积不定的三角形，将问题转化为求不定三角形面积的最值问题。

［例5］如图6所示，二次函数[y=-x2+bx+c]图象与[x]轴交于[A（-1，0），B（2，0）]，与[y]轴交于[C]。

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点[E]为第一象限抛物线上一动点，当四边形[ABEC]面积最大时，点[E]的坐标及四边形[ABEC]面积的最大值。

解析：（1）[y=-x2+x+2]。（过程略）

（2）当[x=0]时，[y=2]，即点[C]的坐标为[C（0，2）]，

因为[S四边形ABEC=S△ABC+S△BCE]，[S△ABC=12AB·OC=12×3×2=3]，

所以当[△BCE]面积最大时，四边形[ABEC]面积最大，

设直线[BC]的方程为[y1=kx+m]，

则[2k+m=0，m=2，]得[k=-1，m=2，]

所以[y1=-x+2]。

设点[E]的坐标为[E（a，] [-a2+a+2）]，如图7所示，过点[E]作[EG⊥x]轴，交[BC]于点[F]，交[x]轴于点[G]，则[F（a，-a+2）]，所以[EF=（-a2+a+2）-（-a+2）=-a2+2a ]，

所以[S△BCE=S△CEF+S△BEF=12EF·OG+12EF·GB=12EF·OB=-（a-1）2+1]，

所以，当[a=1]时，[△BCE]的面积最大为[1]，此时点[E]的坐标为[E（1，2）]，四边形[ABEC]的面积最大值为[4]。

本题为“动点四边形面积”问题，借助切割法很容易解答：在四边形最大面积求解中，通过连接[BC]，将四边形[ABEC]面积转化为[△ABC]和[△BCE]的面积之和，其中[△ABC]面积为定值，故后续只需借助三角形面积最值的解题思路进行解题。

综上所述，动点问题作为中考常见问题之一，受到了师生的共同关注。本文对常见的“单动点”问题进行分析，并针对不同问题提出常见解答策略，以期提高学生的解题能力。

［   参   考   文   献   ］

［1］  徐松龄.初中数学教学中“动点问题”的有关分析［J］.数理天地（初中版），2023（23）：12-14.

［2］  陈福德.初中数学动点问题的解题策略［J］.数理化解题研究，2023（14）：2-4.

［3］  秦海燕.初中数学动点问题的分类和解题思路探究［J］.中学数学，2023（6）：81-83.

（责任编辑    黄春香）