数学文化巧渗透，高考命题妙创新

张传干

数学不仅仅是“科学的数学”，而且还是“文化的数学”.在平时数学教学中，要让学生深刻、清楚地认识到数学的文化价值与底蕴，并认识到学习数学不只是学习数学基础知识，更重要的是通过数学的学习不断丰富心灵、完善人格，从而真正领悟到中华传统文化是我们民族之根，是中华民族延续的纽带，更是“立德树人”、繁衍发展的文化基因，蕴含着强大感召力的文化积淀.

近几年的高考数学试卷，经常出现一些以数学文化为背景的新颖题型.这类试题蕴含着浓厚的数学文化气息，将数学基础知识、思想方法、传统文化等融为一体，有效地考查学生在新情境下对数学基础知识的理解，既弘扬了中华传统文化，又检测了学生思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能.

1 弘扬数学名著成果

例1  魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是一部关于数学测量的著作，其中就有涉及测量海岛的高的方法.如图1，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=（  ）.

A.表高×表距表目距的差+表高

B.表高×表距表目距的差-表高

C.表高×表距表目距的差+表距

D.表高×表距表目距的差-表距

分析：合理分析与理解题目条件并进行转化，利用平面几何图形的直观性，根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，合理构建对应的关系，结合线段之间的关系即可得出.

解析：如图2所示，连接FD并延长交AB于点M，设∠BDM=α，∠BFM=β，则有AB=AM+BM=DE+BM，

而MF-MD=MBtan β-MBtan α=DF.

又易得tan β=FGGC，tan α=DEEH.

所以MBtan β-MBtan α=MB1tan β-1tan α=MB＼5GCFG-EHDE=MB·GC-EHDE=DF.

于是MB=DE·DFGC-EH=表高×表距表目距的差，所以AB=DE+BM=表高+表高×表距表目距的差.故选：A.

点评：该题以数学名著介绍的测量方法为问题背景，充分体现我国古代数学家的优秀成果与聪明才智.通过数形结合加以直观想象，体验知识的形成过程，综合考查直观想象、数形结合以及逻辑推理等能力与素养，以及灵活运用所学数学知识来分析与解决实际问题的能力.

2 彰显数学名家成就

例2  （2023年陕西省宝鸡市高考数学二模试卷）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图3所示）.记大正方形和小正方形的面积分别为S1和S2，若S1S2=5，则直角三角形的勾（较短的直角边）与股（较长的直角边）的比值为.

分析：依题意可设直角三角形的短直角边长为x，则长直角边长为x+S2，进而结合勾股定理得以确定直角三角形的两条直角边长之间的关系，即可确定直角三角形的勾与股的比值.

解析：设直角三角形的短直角边长为x，则长直角边长为x+S2.

依题利用勾股定理，可以得到（S1）2=x2+（x+S2）2，并结合S1S2=5，解得x=S2或x=-2S2（舍去）.

所以较长的直角边长为x+S2=2S2，较短的直角边长为S2.因此，直角三角形的勾与股的比值为12.故填：12.

点评：以数学文化为问题背景，利用勾股定理求出直角三角形斜边长，即大正方形的边长，通过面积关系，进一步确定勾与股的比值问题.该题考查了三角形中的几何计算和勾股定理，考查代数运算能力、逻辑推理能力等.

3 发扬数学传统艺术

例3  〔2024届云南省昆明市西南联大研究院附中高三（上）期末数学试卷〕窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱.窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色.如图4所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（  ）.

A.22-1-π2a2

B.22-1+π2a2

C.（π+2-1）a2

D.π2+2-1a2

分析：根据题设条件，利用四叶形窗花所对应平面图形的对称性，每一个“花瓣”（图5阴影）的面积等于三角形ACE的面积减去扇形AOB，扇形DOE与三角形BCD的面积的和，即可求得窗花的面积.

解析：根据正方形以及四叶形窗花所对应平面图形的对称性，可知窗花的一个“花瓣”（阴影部分）的面积S=S△ACE-2S扇形AOB-S△BCD，即

S=12a2-π4×22a2-12×a-22a2=22-14-π8a2.

所以窗花的面积为22-1-π2a2.故选：A.

点评：此题以我国传统文化——“窗花”为背景考查数学的实际应用问题，巧妙融入平面几何图形与面积的分析求解，考查直观想象、逻辑推理与数学运算等基本核心素养，在核心素养的培育中渗入数学传统文化，实现数学的实际应用.

4 展现数学民间活动

例4  〔2024届广东省茂名市信宜市高三（上）期末数学试卷〕“猜灯谜”又叫“打灯谜”，元宵节的一项活动，出现在宋朝.南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.任选一道灯谜，则甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.

分析：依题意分别设出对应的事件，根据相互独立事件的概率乘法公式，进而确定对于任选一道灯谜时甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率.

解析：设事件A=“甲猜对该道灯谜”，事件B=“乙猜对该道灯谜”，事件C=“任选一道灯谜时恰有一个人猜对”，则依题可知P（A）=1220=35，P（B）=820=25.

因为事件A与事件B相互独立，所以P（C）=P（AB+AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）=P（A）＼5［1-P（B）］+［1-P（A）］P（B）=35×1-25+1-35×25=1325.故填：1325.

点评：以中华民族传统的民间活动——“猜谜”为创新问题情境来巧妙设置数学文化问题，结合相互独立事件概率、独立重复事件以及概率的加法等知识来交汇融合与综合应用，考查学生应用概率知识来处理实际应用问题的能力，以及概率与统计思想，数学运算与逻辑推理等核心素养.

中国的文化与中国的数学文化历史长远悠久，无论是理论层面还是实践层面，中国古代数学及其相关的文化至今仍有很大的研究价值和现实意义.近几年高考数学试题把其中的精华部分巧妙引入到数学考试内容中去，合理创设，巧妙命题，融合数学知识与数学文化，充分发挥了春风化雨、润物无声的作用；在弘扬中国传统文化的同时，帮助学生树立正确的人生观、价值观，增强民族自信心与自豪感.