以图示促进学生几何直观素养发展的策略探究

常嘉秋 陈志刚 张丽梅

摘要：在小学数学教学中，图示作为学习数学的一种常用手段，也是解决数学问题的一种重要策略，它非常符合小学阶段学生的认知水平，是学生攻克问题的最直接、最直观、最便利的工具。教师可以通过图示的方式来引导学生把复杂的数学知识变得形象具体、简单易懂，从而有效地帮助学生厘清概念、分析数量关系和解决问题。

关键词：小学数学；图示；概念；数量关系；解决问题

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）在“核心素养的主要表现及其内涵”中指出，几何直观包括能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类等内涵。在小学数学教学中，图示作为学习数学的一种常用手段，也是解决数学问题的一种重要策略，它非常符合小学阶段学生的认知水平，是学生攻克难题最直接、最直观、最便利的工具。教师通过图示的方式引导学生把复杂的数学知识变得形象具体、简单易懂，能够有效地帮助学生厘清概念、分析数量关系和解决问题。教师要在教学中通过图示培养学生的思维能力，促进几何直观素养的发展。

一、借助图示理解数学概念，发展形象思维

新课标指出，“经过独立的数学思维过程，学生能够理解数学基本概念和法则的发生与发展，数学基本概念之间、数学与现实之间的联系。”概念是数学知识体系的重要支撑，从自然数的形成开始，数学是由一个个概念逐渐积累而成的。在数理逻辑中，对概念的理解是重中之重，学生只有在旧知的经验基础上不断形成新的知识积累，才能不断生成新的概念。教师在引入概念、理解概念和巩固应用概念三个阶段的教学过程中，应引导学生不断进行观察、比较、分析、思辨，主动参与概念的形成过程，独立思考，形成对概念准确的认识。要达成这样的目标，教师可以引导学生借助图形这个显性工具，通过画图，将不断拆解的概念形成直观图示，进而发展几何直观，培养形象思维。

例如，在教学北师大版数学教材四年级下册第二单元“认识三角形和四边形”中的第二课“三角形分类”时，在前测中笔者发现，虽然学生已经在之前学习过三角形，对三角形的概念有了一定认识，但是他们对直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形、等边三角形的概念认识仍较为模糊，对于这些三角形的形成特点也没有准确的判断。在课堂上，教师可以事先准备好小棒学具，引导学生小组合作，用小棒拼摆三角形。学生组内分工，通过不断动手操作和语言交流，首先根据小棒的长度特点拼成各种不同的三角形。其次，学生用笔沿着小棒画图，通用图示将不同的拼摆方法留在纸上。再次，学生观察和讨论这些三角形的特点，他们发现有些三角形有一个直角、两个锐角；有些三角形有一个钝角、两个锐角；有些三角形有三个锐角；有些三角形有两条边相等；有些三角形有三条边形等，从而根据这样的特点自己去进行分类和命名。最后，教师根据学生的分类，采用规范的方式对概念进行统一。学生自主动手操作，通过图示直观地得出了三角形分类出的各种概念，这样的方式提高了学生几何直观能力，也使得概念教学不再枯燥乏味，激发了学生学习数学的兴趣。

二、借助图示分析数量关系，发展逻辑思维

新课标指出，“‘数量关系主要是运用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识。”教学中，如果学生无法准确理解数学问题中的数量关系或者对数量关系的认识存在模糊之处时，教师可以针对具体的数量关系掌握要求，引导学生通过图示的方式，将较为抽象难懂的数量关系转化为各种直观的图形符号，实现数量关系和几何图形之间的互化和对应。教师可借助图示，将数学问题中抽象的数量关系直观化，使学生能在这种转化的过程中有理有据、清楚地表述数学问题中的数量关系和自己的思维过程，发展逻辑思维。

（一）在图示中对比，使数量关系直观化

利用图示进行分析，厘清数量关系，是一种很好的解题策略，长方形直条图就是数学图示中的一种重要辅助图形，直条图也是学生画线段图的入门。作为学生首次接触画直条图的问题——“求比一个数多几或少几的问题”，也是一类十分经典的问题，即使到了高年级，题目被重新表述，其实质仍是“求比一个数多几或少几的问题”，学生仍存在较高的错误率。为此，教师要引导学生通过图示学会辨析。

例如，“一班得了12面红旗，二班比一班多得3面，二班得了多少面？”这一题，教师可先让学生自主画出题意，并展示不同学生的图示（见图1），再引导学生进行辨析：我们很快看出第一幅图信息是“一班得了12面红旗”，但对于第二个信息“二班比一班多得了3面”并未明确地表示出来。第二幅中不仅用了一一对应的方法画图，标注多得了3面，还用虚线标注了此时的二班是由两个部分组成的。这样就能让学生聚焦关键信息“二班比一班多得了3面”。最后，教师引导学生用大括号标注出图中问题的部分，再一次让学生展开辨析，最终厘清思路，从而解决问题。

（二）在图示中分析，使思维过程可视化

图示作为对数量关系的一种表达方式，能够把信息的深层联系直观地展示出来。实际上，单纯说理的教学效果远比不上借助图示。因为学生画图示时可以先在头脑中进行思考，经历先画什么再画什么这一推理过程，最后把思维直观向外展现。为此，学生在画图示思考的过程中，也能够展现思维过程。

例如，题目：“用盆景装饰一个正方形喷泉池，要在每一边都摆上8盆且每一边相邻两盆的间隔相等，最少需要几盆？”一般情况下，学生根据已学的周长知识，可以马上计算出8 × 4 = 32（盆）。答案虽然符合前半部分题意，却未体现“最少”这个最优解，因此出现错误。这就是因为学生陷入了固定思维，所以导致得出的答案是错的。其实，这道题学生只要通过画图示，思维过程就能很清晰，能推理出这道题的巧妙所在：只要在喷泉池四个角各摆一个盆景，形成每个角所对应的盆景为相邻边所共用，得出6 ×   4 + 4 = 28（盆），就是需要最少的盆景。

三、借助图示解决数学问题，提高建模能力

由于年龄特点，小学生的思维正处在由形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们在遇到数学问题时，仍然习惯用形象直观的思维方式去建立解决问题的直观模型。为此，教师可以抓住学生思维的这一特点，引导学生利用简洁明了的图示方法，分析数学问题中的数量关系，根据数量关系一层一层地画图，逐渐厘清解决问题的思路，形成清晰、有效的数学建模，在提炼中逐步发展抽象思维。

例如，在教学人教版数学教材四年级下册“数学广角”中的“植树问题（两端都栽）”时，教师首先可以出示以下例题：植树节到了，四年级一班在“绿水青山就是金山银山”的号召下，到萨尔浒景区外一条全长为1000米的小路的一边植树，要求每隔5米栽种一棵（两端都栽）。请问：一共需要栽种多少棵树？

师：请你来分析一下这道题目中的数量要求。

生：这条小路的全长是1000米，树与树之间的间隔距离为5米，虽然小路有两边，但是只需要栽一边。

生：题目中还要求植树时必须两端都栽，问题是一共需要栽种多少棵树。

教师先引导学生在脑中思考种树过程，再利用图示法形成第一个种树模型：在草纸上画出一条线段来表示1000米的小路，线段的起点画出一个点，表示种了一棵树；与这个点在线段上距离5米的位置再画出一个点，表示再种一棵树；与这个点在线段上距离5米的位置再画出一个点，表示又种一棵树……

师：这样一个点一个点地画下去，画多久才能全部表示出数学问题的模型？

生：需要很久，这样太麻烦了。

师：你有什么更好的办法吗？

生：我们可以先在线段上取一小段研究栽种树的规律，然后按照这个规律解决整个线段上的画图问题。

教师引导学生进行第二个数学建模，让学生完成数学活动：探究棵数与间隔数的关系。

学生小组合作，自主探究后汇报，发现：棵数与间隔数的关系为：棵数 - 间隔数 = 1。

教师根据学生探究的结果适时提出核心问题：为什么植树的棵树要比间隔数多1呢？这个问题直指“植树问题（两端都栽）”的核心，使学生将在第二个建模过程中的思维清晰地显示出来。

生：（指着线段图）从第一个点开始，栽种的第一棵树对应一个间隔，栽种的第二棵树对应一个间隔……我们小组发现，在终点栽种的最后一棵树没有对应的间隔。因此，在这个数学模型中，栽种的棵数总是比间隔数多1，也就是说棵数 = 间隔数 +1，间隔数 = 棵数 - 1。

师：请大家回顾一下，我们刚才是怎么解决这个数学问题的？

生：我们是运用“化繁为简”的数学思想，把复杂的问题简单化，利用图示的方法探究出规律，进而运用规律解决数学问题。

师：其实，“植树问题”并不只与植树活动有关，生活中还有很多数学问题也有和植树问题相似的解决方案，也存在“间隔”，你能举出一些这样的例子吗？

生：安装路灯，安装电线杆，排列队伍……

师：在这些例子中，什么相当于“树”，“间隔距离”又在哪里？课后，请你通过发现生活中的“植树问题”，将数学知识与生活实例紧密联系，建立数学模型。

总之，图示作为解决复杂数学问题的简单方法之一，能够有效地帮助学生从直观上理解数学概念、分析数量关系、解决数学问题，还可以培养学生的数学思维，发展几何直观素养。

参考文献：

［1］丁玉成.借到“力”爱上“图”［J］.小学数学教师，2019（3）.

［2］魏玉翠.应用画图法培养学生解决数学问题能力的作用探究［J］.教育教学，2021（10）.

（责任编辑：杨强）