一维周期基础的带隙解析解及其优化设计研究

吴巧云 项复佳 黄映红 荆国强 许峙峰 吴应雄

摘要： 周期结构的带隙特征为土木工程隔震领域提供了新思路，其中一维周期基础结构因其构造简单且经济适用而倍受关注。本文通过研究一维周期基础结构的振动特性，推导了用于计算一维橡胶?混凝土周期基础带隙的近似解析解，并在此基础上提出了基于上部结构共振区的一维橡胶?混凝土周期基础优化设计方法。频域和时域数值算例表明，由该优化方法所设计的周期基础可保证其上部结构在一个宽且连续的频段内均有较好的减震效果。

关键词： 周期基础； 带隙； 近似解； 减震； 优化设计

中图分类号： TU352.1    文献标志码： A    文章编号： 1004-4523（2024）05-0780-09

DOI： 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.006

引 言

与传统的被动地震控制系统相比，周期基础具有制造简单、能同时减轻水平和垂直地震反应等优点［1?5］。Shi等［6］提出了使用周期基础作为隔离器来抵抗地震动的想法。此后，不同形式的周期基础得到了迅速发展，从一维到二维和三维，从简单的单胞到多材料复杂单胞［7?12］。Xiang等［7］通过数值模拟和实验测试相结合的方式验证了带隙的减震效果。文献［8?9］通过有限元分析证明了一维和二维周期基础的地震衰减效应。文献［10?11］对二维和三维周期基础进行了实验研究，其结果表明在优化设计下周期基础可具有显著的减震性能。文献［13?14］提出了一种由混凝土层及橡胶层构成的层状周期基础，并用有限元方法分析了该基础对一个六层框架的减震作用。然而，一维周期基础隔震的理论研究在如下方面还有待完善：（1）周期基础的带隙计算方法有待完善。Sackman等［15］提出了一维周期基础第一个带隙的下界和上界的近似解，但该方法存在下界计算精度不准的问题。之后，Shi等［16］修改了Sackman近似解，但该修正只是一个曲线拟合结果，对于超出其数值研究范围的带隙预测结果的准确性有待提高。（2）周期基础带隙的覆盖范围不够全面。当前周期基础的隔震思路是通过扩大第一带隙的范围使第一带隙尽可能多地覆盖全部频率，这导致隔震效果不够理想。

本文通过研究一维周期基础结构的振动特性，推导了局部化因子、衰减系数、频率响应、平均频率响应等带隙有关重要参数的近似解析解，并在此基础上提出了基于上部结构频率响应的一维橡胶?混凝土周期基础优化设计方法。由该方法所设计的周期基础可保证上部结构在一个宽而连续的频段内均具有较好的减震效果。

1 一维橡胶?混凝土周期基础的带隙近似解析解

一维橡胶?混凝土周期基础是一种由橡胶层和混凝土层组成的一维周期基础。相比其他类型的周期基础，一维橡胶?混凝土周期基础因其具有成本低、制造方便、隔震效果理想等多种优势而受到广泛关注。但工程上仍缺乏计算一维橡胶?混凝土周期基础带隙等关键参数的有效方法。为此，本文提出并验证了计算一维橡胶?混凝土周期基础的结构带隙、局部化因子、衰减系数和频率响应的近似解析式。基于该带隙解析解，提出了一种基于上部结构共振区的一维橡胶?混凝土周期基础优化设计方法，并通过数值算例证实了该优化设计方法的减震效果。

1.1 一维周期基础基于传递矩阵的带隙近似解析解

弹性波在第j个单胞中通过第k层传播的控制方程可由以下波动方程［17］描述：

性模量。

谐波激励下的特解满足以下可分离变量的形式：

（2）

（3）

式中为波数；i为虚数单位；为频率；和为常数。

根据胡克定律，应力分量为：

其中：

（5）

针对谐波，通过使用传递矩阵法［18］，式（3）和（5）可重写为以下矩阵乘法形式：

（6）

将和代入式（6）中可得：

（8）

其中，第k层的传递矩阵为：

（9）

利用连续性条件，第j个单胞的顶部和底部之间的转换关系可通过如下递归表达式解得：

（10）

基于Floquet?Bloch理论，单胞的两个状态向量具有以下关系：

（11）

式中 为该单胞的波数；和分别为单胞的输出和输入状态向量，均处于特征模式。

将式（11）代入式（10）中，得到以下特征形式：

（12）

式中 I为单位矩阵。

由式（12）所解得的两个特征向量分别为和，对应的两个特征值分别为和，其满足：

（13）

式（13）的解为：

式中 。

由式（13）可进一步推出以下条件有效：

（15）

（16）

上述状态向量的行为可分为以下两种情况讨论：

情况1为无衰减情况。此时，和形成一对共轭复数，即，。和两个实数满足。在这种情况下，状态向量将仅保持椭圆旋转，波可在没有任何能量损失的情况下通过。

情况2为衰减情况。此时，则是两个实数，是两个复数，，。根据特征值幂法可知，对于任意，最终会被变换至与平行的方向上，且n每增加1就会放大至原来的倍。此种情况下的所有入射波的频率组成了对应的带隙。若从底部到顶部跟踪波的传播，则入射波每通过一个单胞，其波幅就会衰减常数倍，该常数被称作衰减系数，即：

（17）

式中为局部化因子。

1.2 一维橡胶?混凝土周期基础基于传递矩阵的带隙近似解析解

在本节推导中，定义第1层为橡胶层，第2层为混凝土层。对于一维橡胶?混凝土周期基础，方程（15）可改写为：

此外，式（18）对于上标的对称性表明两层的顺序无关带隙的计算。

式（19）的解为带隙下界和上界的近似值，其可进一步表示为：

式中， p为一个非负整数。

式标记了带隙上界，即：

值得注意的是，与Sackman的近似值一致［28］。

该近似解析解以第1层为橡胶层、第2层为混凝土层的一维橡胶?混凝土周期基础为例推导，式（24）

2 带隙近似解析解算例验证

为了验证本节所提出的带隙计算近似解，图2和表1分别给出并比较了由式（18）计算的基准单胞带隙的精确解和使用式（21）～（24）计算的相应近似解，其中频率值以工程频率f表示。在此处规定以下关于角频率和工程频率之间的对应关系为ω=2πf。

图2展示了前数个带隙的精确值与近似值的比较结果。表1表示的是前五个带隙的上、下界，第1列频率一共取了五个带隙，分别是每个带隙的起始和终点频率；第2～6列是S波下，用不同公式计算的带隙起始和终点位置；第7～11列是P波下，用不同公式计算的带隙起始和终点位置。

从图2和表1中可以看出，除了使用式（24）对第一带隙上界的估计有一定偏差外，其余近似解都具有足够的精度。由此证明上述关于一维橡胶?混凝土带隙的近似解析公式的准确性。

3 一维橡胶?混凝土周期基础的优化设计

3.1 优化设计理念的提出

给定要设计的一维橡胶?混凝土周期基础和具

带隙和P波的第s个带隙分别表示为和。

通过定义关于h1和h2的优化目标函数来衡量设计的优劣。经过优化设计的一维橡胶?混凝土周期基础，应确保上层结构的频率响应在地震动频段内的任何频率下都得到有效控制，这要求每个上部结构共振区都被相应的带隙覆盖。根据上述优化问题，本小节介绍了一种优化设计方法。该方法的核心思想为，在满足设计带隙包含全部上部共振区的情况下，找到的最优组成形式。优化设计方法的流程如图3所示。

3.2 算例设计

为了证明上文所提出的优化设计方法的实用性，将所提方法应用于表2中描述的四层钢框架结构的一维橡胶?混凝土周期基础设计中。四层钢框架结构长4.0 m，宽4.0 m，高4.0 m，梁柱截面为0.1 m×0.1 m，使用材料为钢材。基础设计为4.0 m×4.0 m方形基础，深度为4.0～5.0 m，使用材料为橡胶和混凝土，如表3所示。图4（a）和（b）分别显示了框架和基础的配置。

在设计中，输入波频段取为0.0～30.0 Hz，涵盖了大多数地震动的频段。设计目标是最小化上部结构在S波和P波组合下的频率响应。此时，每层的平均最大绝对频率响应定义为：

式中  |FR2?b|， |FR3?b|， 。FRi为第i层相对于基础底面的频率响应，即FRi?b=ui/ub，其中，ui为第i层最大位移（i=0时，u0为基础顶面最大位移），ub为基础底面最大位移。

最后，选定OF为：

（26）

式中 下标“S”和“P”分别代表S波和P波的对应值；WP为P波的权重，考虑到上部结构更容易受到S波的影响，在以下分析中将WP设置为0.5。

首先，通过稳态动力学分析，计算表3描述的上部四层钢框架的频率响应函数（FRF）：其中，FRFi?t=20lg（FRi?t），FRFmax?t=max，，|FRF3?t|，，S波和P波的频率响应函数分别通过在x和y方向4个底部节点指定单位位移后，测量相应节点的输出位移获得。然后通过检查地震动频段中的频率响应是否大于相应的阈值来确定和，其中S波和P波的阈值分别设置为0.0和3.0（注：20lg（1.0）=0.0，20lg（1.414）≈3.0）。P波的阈值大于S波的原因是水平地震动通常更具破坏力。最终确定：=，（5.06，5.16），（6.44，7.37），和=，。图5（a）和（b）分别显示了S波和P波对应的四层钢框架上部结构的频率响应和共振区。

在MATLAB中编写了实现第3.1节中提出的优化设计方法的程序，并应用于基础的设计。表4为OFtrial的结果，得到（h1?trail，h2?trail，n）的最优组合为（0.7719，1.6243，2），最后经过实践考虑，确定（h1?opt，h2?opt，n）为（0.75，1.65，2），其中H和OF对应的值分别为4.8 m和-0.7657。图6（a）和（b）给出了相应的带隙和共振区，从图6中可以看出，所有共振区都分布在相应的带隙中。

3.3 算例频域分析和时域分析

为了更进一步验证所提出的设计方法在设计全频段的最优性，对周期基础的性能进行了有限元分析，包括频域分析和时域分析。构建并分析了三种上部结构?基础耦合系统（如图7所示），其中上部结构均为表3所述的四层钢框架，基础分别为由第3.2节中得到的优化设计基础、由12个基准单元组成的基准周期基础以及混凝土基础。基准单元参数见表1，三种基础的单元尺寸均为0.2 m×0.2 m×0.05 m，详细配置如表5所示，分析中的所有材料都是各向同性弹性的。

在频域分析中，将不同频率的单位谐波位移统一分配到底面，其中沿x轴或y轴的谐波位移分别代表S波或P波。采用“稳态直接分析步”计算框架的频响函数，其中S波和P波的频率范围为0.02～30.0 Hz，频率增量为0.02 Hz。三种基础的频响函数模拟结果如图8（a）～（f）所示。可以看出，最优地基对S波和P波的减震性能非常出色，以至于地震动频段中几乎所有的频响都小于0，并且大多数S波甚至低于-40（20lg（1/100）=-40），大多数P波低于-20（20lg（1/10）=-20），而基准基础对频率在共振区内而在带隙外的入射波没有起到衰减作用。可见，无论在横波输入还是纵波输入的情况下，最优地基优于混凝土地基和基准地基，证明确保上部结构的共振区完全被相应的带隙覆盖是一种良好的一维橡胶?混凝土周期基础设计策略，能够保证良好的减震效果。

在时域分析中，将El Centro地震记录的加速度分配到地基底部，其中N?S方向、垂直方向和E?W方向的相应加速度分别被分配到地基底部x方向、y方向和z方向。本次分析选择“隐式动态分析步”，总时长为35 s，采用0.0005 s的固定时间增量。得到El Centro波下上部结构?基础耦合系统的加速度时程，如图9所示。其中，优化设计基础的顶部加速度峰值为2.7 m/s2，基准基础结构的顶部加速度峰值为4.18 m/s2，混凝土基础顶部加速度峰值为12.91 m/s2，基准基础结构的顶部加速度峰值为混凝土基础顶部加速度峰值的32.4%，优化设计基础的顶部加速度峰值为基准基础顶部加速度峰值的64.6%。一方面，通过比较图9（a），（d），（g），（j），（m）和图9（b），（e），（h），（k），（n）可以看出，与混凝土基础相比，优化设计基础可以在有效降低上部结构水平加速度响应的同时滤除高频响应，而基准基础也可以滤除高频水平响应，但水平加速度衰减效果不明显。另一方面，通过比较图9（c），（f），（i），（l），（o）可以观察到，优化设计基础可以在不显著增加相应幅度的情况下过滤高频竖向响应，而基准基础将增大竖向响应。可以看出周期基础在隔离地震加速度方面的有效性，同时证实了本文所提周期基础优化设计方法的实用性。

4 结 论

本文推导了用于计算一维橡胶?混凝土周期基础带隙的近似解析解，并在此基础上提出了其局部化因子、衰减系数、频率响应、平均频率响应等参数的近似解析解，通过算例证实了该近似解析解计算带隙的精确性；提出了一种基于上部结构共振区的一维橡胶?混凝土周期基础优化设计方法，时域和频域数值算例表明，由该方法所设计的周期基础可保证其上部结构在一个宽且连续的频段内均有较好的减震效果。

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Analytical solution of one-dimensional periodic base band gap and its optimal design

Abstract： The band gap characteristics of periodic structures provide a new idea for the field of seismic isolation in civil engineering， among which the one-dimensional periodic foundation structure has garnered significant attention due to its simple structure and economical applicability. In this paper， by studying the vibration characteristics of the one-dimensional periodic base structure， an approximate analytical solution for calculating the one-dimensional rubber-concrete periodic base band gap is derived， and on this basis， a one-dimensional rubber-concrete periodic foundation optimization design method based on the resonance zone of the superstructure is proposed. Numerical examples in the frequency domain and time domain show that the periodic foundation designed by this optimization method can ensure a good damping effect of its superstructure in a wide and continuous frequency range.

Key words： periodic foundation； band gap； approximate solution； vibration reduction； optimal design