边坡随机有限元分析方法综述

李智 肖克锋 贾政鹏 楚泽元

摘要：在传统边坡稳定性分析中，通常将土体视为均质的，然而忽略土体空间变异性可能会导致过高的估计边坡的稳定性。为考虑土体空间变异性对边坡稳定性的影响，随机有限元法作为研究边坡可靠度的一个非常有效的方法，基于已有学者对边坡随机有限元的研究，针对随机有限元法的基本思想和应用方法进行综述，并指出了各类方法的优缺点、适用范围和发展前景。

关键词：边坡稳定性； 土体空间变异性； 安全系数； 失效概率； 可靠度

中图分类号：U416.1+4文献标志码：A

0引言

边坡的破坏往往会对人类生命财产安全造成巨大威胁，在实际边坡工程中为简化计算通常将土体视为均质进行计算，然而自然界土体受物质组成、应力环境、沉积条件、风化程度等因素的影响，会呈现出明显的空间变异性，现有研究表明忽略土体的空间变异性往往会过高估计边坡的安全性［1］。

当前常用分析边坡稳定性的方法有极限平衡法、极限分析法和数值计算法，极限平衡法和极限分析法由于存在诸多假设难以求解土体空间变异性这类复杂问题。当前随机有限元法作为研究土体空间变异性对边坡稳定性影响的一个非常有效的方法，本研究对用随机有限元法求解边坡可靠度的基本思想和应用方法进行了梳理和总结，指出了各类方法的优缺点和适用范围和发展前景。

1边坡随机有限元分析方法概述

边坡的随机有限元分析过程主要分为三部分，随机场的生成、边坡稳定性的有限元分析和可靠度的求解。先根据现场调查的土体分布参数生成边坡随机场模型，每个随机场模型通过有限元法进行稳定性分析，然后可以采用随机模拟或代理模型两种方法求得边坡的失效概率或可靠度。主要针对随机场生成和可靠度求解的方法进行分类介绍和总结。

2分析方法

2.1随机场的生成

Vanmarcke［2］最早提出根据实验测得的土体变异系数和相关长度来构建随机场模型，后续学者也都在此基础上进行不断地優化和改进。常用生成随机场的方法有协方矩阵差分解法，局部平均法和KL展开法。

2.1.1协方矩阵差分解法

协方差矩阵分解［3］法是在现有离散模型的基础上，将随机场的生成等效为一系列独立标准正态随机变量的生成，最终获得土体参数在空间上的分布函数。针对二维随机场的生成，考虑土体参数服从正态分布，土体参数的分布函数为式（1）。

H（τx，τy，l，N）=μ+σL（τx，τy，θ，N）ξ（N）（1）

μ和σ分别为土体参数的均值和标准差；ξ（N）为一组独立标准正态随机变量向量；L为自相关矩阵ρX进行Cholesky分解得到的下三角矩阵；自相关矩阵ρX表达式为式（2）～式（3）。

ρX=1ρ（τx1，2，τy1，2）…ρ（τx1，n，τy1，n）ρ（τx2，1，τy2，1）1…ρ（τx2，n，τy2，n）ρ（τxn，1，τyn，1）ρ（τxn，2，τyn，2）…1（2）

L·LT=ρX（3）

式中：ρ为自相关函数，其中一种计算式为式（4）。

ρ（τ）=exp-2τxlh2+2τylv2（4）

τx和τy分别代表为两个单元之间的相对水平和竖直坐标，lh和lv分别为水平和竖直方向自相关长度。

协方差矩阵分解法由于计算简单且是全精度计算，被广泛应用与土体空间变异性模拟中，但需要离散的随机变量较多，在模拟较大尺度随机场时计算效率不高。

2.1.2局部平均法

局部平均法［4］是用各离散单元参数的局部平均值来表征单元的特征，假设在一个连续的二维随机场内，则某一单元内局部平均的表达式为式（5）。

Hi=1A∫xi+Lxi/2xi-Lxi/2∫yi+Lyi/2yi-Lyi/2H（x，y）dxdy（5）

其中（xi，yi）为矩形单元的中心坐标；A为单元的面积；Lxi和Lyi分别为矩形单元中平行x和y轴的边。

局部平均法所需要的随机变量较少，计算较为简便，但不适用于非矩形单元单元离散的随机场。

2.1.2KL展开法

KL展开法［5］是一种基于随机过程协方差函数谱分解的序列展开方法，其二维K-L展开表达式为式（6）。

H（x，y，N）=μ+σ∑SymboleB@i=1λiff（x，y）ξ（N）（6）

式中： λ和f为自相关函数对应的特征值和特征函数，一般通过求解第二类Fredholm积分方程获得，其表达式见式（7）。

∫Ωρ［（x1，y1），（x2，y2）］fi（x2，y2）dx2dy2=λifi（x1，y1）（7）

该方法具有较高的计算精度和计算效率，并且能用较少的随机变量代表一个随机场，然而由于求解第二类Fredholm积分方程的困难使得计算相对较为复杂。

2.2边坡稳定性的有限元分析

边坡可靠度这类非确定分析需要事先建立在边坡稳定性分析这类确定性分析基础之上，当前有限元法是分析边坡稳定性分析一个非常有效的工具，先选取单元类型，建立有限元模型，结合强度折减法，对土体强度参数进行折减，引入屈服准则，构建非线性刚度方程K（u）u=f，代入边界条件，将边坡稳定性有限元分析转换为求解一个大型非线性刚度方程的问题，采用迭代法进行求解，设置收敛判据，直至搜索求得边坡处于极限状态下的折减系数，即为边坡安全系数。

2.3边坡可靠度的求解

边坡可靠度是指在规定条件下，保持安全或稳定的的能力，可用功能函数Z（X1，X2，…，Xn）来判断，Xn为影响边坡稳定性的众多因素，通常Z=Fs-1，其中Fs为边坡安全系数。当Z≤0，认为边坡发生破坏，反之认为边坡未失效。边坡可靠度定义为变量X的均值距离Z=0极限状态面最短的距离，计算式为式（8）。

β=μzσz（8）

式中：μz和σz分别为为功能函数的均值和标准差，边坡失效概率与可靠度一一对应，计算式为式（9）。

Pf=Φ（1-β）=1-Φ（β）（9）

2.3.1随机模拟法

随机模拟法是通过抽取一定数量的样本，通过概率统计的方法来求解可靠度或失效概率。具体求解边坡失效概率的流程如下，抽取满足需求组数的独立标准正态随机变量向量，即ξ（N），每组ξ（N）可以按照上一节的方法生成一个随机场，再用有限元法分析每一个随机场的稳定性，边坡的失效概率可以定义为失效的随机场数除以总随机场数见式（10）。

Pf=NiN（10）

常用抽样的方法有蒙特卡洛法［6］、重要性抽样［7］和拉丁超立方抽样法［8］，当样本数目足够多时，具有较高的计算精度，鲁棒性强，然而计算效率相对较低，重要性抽样法和拉丁超立方抽样是蒙特卡罗法的一种改进，抽取较少的样本就能得到较高的效率和精度。

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2.3.2代理模型法

随机模拟法由于需要抽取大量的样本进行计算，并且每个样本都需要通过有限元法进行稳定性分析，计算效率较低。代理模型法用较少的样本计算结果来近似预测整个样本结果，并建立一个代理模型，避免每次都通过有限元法来求解，提高了计算效率。常用的方法有响应面法，克里金法和神经网络法。

响应面法［9］的思想是利用一个可以明确表达的函数来近似代替实际不能明确表达的功能函数，先生成一定数量的随机场，每个随机场由一定的变量控制，并用有限元法求得每个随机场对应的功能函数值，根据变量和与之对应的功能函数值构造响应面函数，可以通过插值拟合的方式来获得，即式（11）。

Z≈Zr=（X）=a+∑ni=1biXi+∑ni=1ciXi2（11）

因此不同变量计算下的功能函数值可通过响应面函数直接进行预测，不需要再用有限元法分析边坡的稳定性，相比随机模拟法有着非常高的计算效率，但计算精度往往取决于所取样本的好坏，较好的样本点拟合才能得到与真实功能函数近似度高的响应面函数。

克里金法［10］与响应面法基本思路一致，都是根据现有样本结果对未知结果进行预测，与传统代理模型相比，克里金不需要给出模拟函数的形式，且可以通过主动训练搜索到最佳样本序列，以此构造克里金模型，能快速达到预期的计算精度。

基于神经网络［11］的可靠度分析法可以看作是一种特殊的响应面法，采用神经网络来拟合响应值和随机变量间的映射关系，通过一系列数值计算结果建立神经网络模型，再根据此神经网络模型来求解可靠指标或失效概率。具体分为5个步骤：①根据不同变量计算下的安全系数，构造学习样本与检验样本；②确定激活传递函数；③训练神经网格，形成响应面函数；④用检验样本进行测试直至训练出满足精度的响应面函数；⑤求解边坡的可靠度或失效概率。传统响应面法在每一次非线性分析中都需要花费大量时间，相比之下，神经网络法能适用于各类复杂问题，且计算效率高，误差较小。

3结论

土体的空间变异性在边坡稳定性分析中不可忽略，考虑土体空间变异性对边坡进行可靠度分析很有必要，随机有限元法是边坡可靠度分析的一个非常有效的方法，本文针对随机有限元法的基本思想和应用方法进行了综述，归纳了各类方法的优缺点、适用范围和发展前景，总结如下：

（1）协方差矩阵分解法计算简单且计算精度高，但所需要的随机变量较多，计算效率低；局部平均法计算简单，所需随机变量较少，但不适用非矩形单元随机场的离散；KL展开法所需随机变量较少，计算效率高，计算相对较为复杂。

（2）蒙特卡罗法等随机模拟的方法在样本次数足够多时有着非常高的计算精度，适用性广，鲁棒性强，由于需要足够多的样本导致计算效率较低，相比之下代理模型法有着较高的计算效率，但计算精度依赖于样本的好坏。

（3）用任何方法生成随机场都可以采用随机模拟法进行求解，若要使用代理模型法，不建议使用协方差矩阵分解法，协方差矩阵分解法由于随机变量较多，构建预测模型较为困难，同时会导致计算效率不高。

（4）代理模型法有着非常高的计算效率，但计算精度会依赖于样本的好坏。如何选取出最少，且最佳的样本来构建代理模型，以达到同时提高计算效率与计算精度，此方面有着非常好的研究价值。当前许多学者尝试将主动学习引入可靠度分析中来，这将会是很好的一个切入点。

参考文献

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［作者简介］李智（2000—），男，硕士，研究方向为岩土工程边坡地基随机有限元分析理论方法；肖克锋（1998—），男，硕士，研究方向为岩土工程边坡可靠度随机场分析；贾政鹏（1999—），男，硕士，研究方向为岩土工程边坡地基随机有限元分析理论方法研究；楚泽元（1997—），男，硕士，研究方向为城市地下交叠隧道动力响应分析。