聚焦电表内阻的测量

冯占余

电学实验题是高考物理试题中的重要部分，是对考生观察能力、分析能力、动手能力、设计能力等综合素质进行考查的一个必要命题环节。电学实验涉及的内容多，范围广。下面就对电学实验中的热点问题之一———电表内阻的测量方法进行盘点，供同学们参考。

一、电流表内阻的测量

1.半偏法。

基本原理：如图1 所示，先闭合开关S1，调节电阻箱R1 的阻值使电流表G的指针满偏，再闭合开关S2，调节电阻箱R2 的阻值使电流表G 的指针半偏。在R1?R2 的条件下，可认为电流表G 的内阻Rg=R2。但因为R2 的并入，电路中的总电阻减小，导致电路中的总电流增大，所以当流经电流表G 的电流为Ig/2 时，有Ig/2 +IR2 >Ig，即IR2>Ig/2，根据并联电路知识可知，必有R2

例1 某同学欲将一个量程为0～1 mA 的毫安表A 改装成量程为0～5 V 的电压表。该同学先用如图2所示的电路测量毫安表A 的内阻，实验步骤如下：A.将滑动变阻器的阻值调到最大，断开开关S2，闭合开关S1，调节滑动变阻器的阻值，使毫安表A的指针满偏;B.闭合开关S2，保持滑动变阻器的阻值不变，调节电阻箱R 的阻值，使毫安表A 的指针半偏;C.记下电阻箱R 的示数为60.0 Ω。

（1）毫安表A 内阻的测量值为_____Ω（结果保留3位有效数字），该测量值_____（选填“>”“<”或“=” ）毫安表A 内阻的真实值。

（2）若取毫安表A 内阻的测量值进行计算，为将毫安表A改装成量程为0～5 V 的电压表，可将毫安表A_____（选填“串联”或“并联”）一个阻值为_____Ω 的定值电阻R0。

（3）正确改装完毕后，该同学用如图3 所示的电路对改装后的电压表进行校正，结果在滑动变阻器的滑片从左到右滑动的每个位置，改装后的电压表示数总是比同量程的标准电压表的示数_____（选填“偏大”或“偏小”）。

解析：（1）本实验中用半偏法测量毫安表A 的内阻，故毫安表A 内阻的测量值等于电阻箱R 的示数60.0 Ω;该测量值小于毫安表A 内阻的真实值。

（2）将毫安表改装成电压表，表头分担的最大電压一定，只能串联电阻才能实现分压，故要串联一个定值电阻，使其满足U=Ig（Rg+R），解得R=4 940 Ω。

（3）毫安表内阻的测量值Rg 偏小，导致按照改装公式计算出的串联电阻偏大，因此在实际电路中流过毫安表的电流I 偏小，从而使得改装后的电压表测量的电压出现偏小的情况。

答案：（1）60.0 < （2）串联 4 940 （3）偏小

2.等效替代法。

基本原理：如图4 所示，电流表A 的量程比电流表G 的量程大几倍，先闭合开关S和S1，调节电阻箱R1 的阻值使电流表A 的指针指向一定值I，再断开开关S1，接通开关S2，调节电阻箱R2 的阻值使电流表A的指针仍然指向定值I，则Rg=R2。

例2 为了测量电流表Al 的内阻，采用如图5所示的电路，其中电流表A1 的量程为0～300 μA，内阻约为100 Ω（待测）;标准电流表A2的量程为0～200 μA;R1 为电阻箱，阻值范围为0～999.9 Ω;E 为电源，电动势为3 V，内阻不计;R2 为滑动变阻器，S1 为开关，S2为单刀双掷开关。按电路图连接好电路后，适当调节滑动变阻器R2 和电阻箱R1，先将单刀双掷开关S2 扳到触点1，闭合开关S1，调节滑动变阻器R2，使两块电流表的读数均为150 μA，再将单刀双掷开关S2 扳到触点2，调节电阻箱R1，使标准电流表A2 的读数仍为150 μA，若此时电阻箱R1 各旋钮的位置如图6所示。

（1）电流表A1 的内阻Rg =_____。

（2）为了保证两块电流表的安全使用，限流电阻R3 的阻值应选（ ）。

A.100 Ω B.150 Ω

C.10 kΩ D.15 kΩ

（3）滑动变阻器R2 的最大阻值应选（ ）。

A.2 kΩ B.5 kΩ

C.200 Ω D.500 Ω

解析：（1）根据等效替代法的原理得Rg=R1=22.8 Ω。

（2）因为标准电流表A2 的量程为0～200 μA，所以电路中的总电阻至少应为R =3 V/200 μA=15 kΩ。因为电阻箱R1 和电流表内阻之和最多只有1 000多欧，所以限流电阻R3 的阻值应选D。

（3）测量时，电路中的总电阻R =3 V/150 μA=20 kΩ，因此滑动变阻器R2 的最大阻值应选B。

答案：（1）22.8 Ω （2）D （3）B

3.伏安法。

基本原理：如图7 所示，闭合开关S，调节电阻箱R1 的阻值，记下电流表的示数I，电压表的示数U，则Rg=U-IR1/I 。

例3 电流表A 的内阻在0.1 Ω～0.2 Ω 之间，现要测量其准确值，可选用的器材如下：

A.待测电流表A（量程为0～0.6 A）

B.电压表Vl（量程为0～3 V，内阻为2 kΩ）

C.电压表V2（量程为0～15 V，内阻约为10 kΩ）

D.滑动变阻器R1（最大阻值为10 Ω）

E.定值电阻R2（阻值为5 Ω）

F.电源E（电动势为4 V，内阻不计）

G.开关S及导线若干

（1）电压表应选_____。

（2）画出实验电路图。若测得电压表的示数为U，电流表的示数为I，则电流表A 内阻的表达式为RA=_____。

解析：（1）仪器的选择。电源的电动势为4 V，若选择量程为0～15 V 的电压表V2，则电压表的最大示数不足满偏的1/3，读数误差较大，因此应选量程为0～3 V 的电压表V1。

（2）电路的设计。因为有电压表和电流表，要测电流表的内阻，所以首先想到的便是将电压表直接接在电流表的两端，根据欧姆定律求出电流表的内阻。但本题中电流表的内阻很小，电流表两端的电压也很小（最大为0.12 V），即便用量程为0～3 V 的电压表测量也无法准确读数，因此应将阻值为5 Ω 的定值电阻R2 与电流表A 串联，这样根据欧姆定律算出的电阻便是定值电阻与电流表内阻之和，即RA =（U/I）-R2。实验电路图如图8所示。

4.并联分流法。

基本原理：如图9 所示，闭合开关S，调节电阻箱R1 和R2 的阻值，使电流表G 和A 的示数分别为I1 和I2，根据并联电路知识得I1Rg = （I2 -I1）R2，整理得Rg=（I2-I1）R2/I1 。

例4 实际电流表有内阻，可等效为理想电流表与定值电阻的串联。测量实际电流表内阻r 的电路如图10所示。供选择的仪器如下：①待测电流表G1 （量程为0～5 mA，内阻约为300 Ω），②电流表G2 （量程为2 mA～10 mA，内阻约为100 Ω），③定值电阻R1（阻值为300 Ω），④定值电阻R2 （阻值为10 Ω），⑤滑动变阻器R3（阻值范围为0～1 000 Ω），⑥滑动变阻器R4 （阻值范围为0～20 Ω），⑦干电池（电动势为1.5 V），⑧ 开关S 及导线若干。

（1）定值电阻应选_____，滑动变阻器应选_____。（填写对应器材的序号）

（2）补全实验步骤：① 按电路图连接电路，_____;②闭合开关S，移动滑片P 至某一位置，记录电流表G1 和G2 的读数I1、I2;③_____;④以I2 为纵轴，I1 为横轴，作出相应图像，如图11所示。

（3）根据I2-I1 图像的斜率k 及定值电阻，写出待测电流表内阻的表达式为_____。

解析： （1）根据电路连接特点可知，电流表G2 测量的是流过定值电阻和电流表G1 的总电流，若定值电阻选阻值为10 Ω 的R2，则易使流过电流表G2 的总电流超过其满偏值，故定值电阻应选R1;分压式接法用小阻值的滑动变阻器R4 即可。

（2）在闭合开关S前，应将滑动变阻器的滑片P 移到最左端以保护仪表;为了减小实验误差，应多次移动滑片P，记录多组电流表G1 和G2 的读数I1、I2。

（3）根据欧姆定律得I1r1=（I2-I1）R1，整理得I2 =（R1+r1/R1）I1，即k=R1+r1/R1 ，解得r1=（k-1）R1。

答案：（1）③ ⑥ （2）①将滑动变阻器的滑片P 移到最左端 ③多次移动滑片P，记录多组电流表G1 和G2 的读数I1、I2（3）r1=（k-1）R1

二、电压表内阻的测量

1.半偏法。

基本原理：如圖12 所示，R1 为滑动变阻器，R2为电阻箱，闭合开关S 前，将滑动变阻器的滑片P 移到最右端，并将电阻箱R2的阻值调至零。闭合开关S，调节滑片P，使电压表的指针指到满刻度，保持滑片P 不动，调节电阻箱R2 的阻值，使电压表的指针指到刻度盘的中央，记下此时电阻箱R2 的阻值，在R1?R2 的条件下，近似认为RV=R2。用该方法测出的电压表内阻偏大。

例5 为了测量一个量程为0～3 V 的直流电压表的内阻RV （约为几千欧），采用如图13所示的电路进行实验。

（1）该实验中需要进行的步骤罗列如下，合理的顺序是_____。（用步骤前的字母表示）

A.闭合开关S

B.将电阻箱R0 的阻值调至零

C.调节滑片P，使电压表的示数为3 V

D.断开开关S

E.调节电阻箱R0 的阻值，使电压表的示数为1.5 V，读出此时电阻箱R0 的阻值

F.把滑动变阻器的滑片P 移到a 端

（2）若在步骤E中，电阻箱R0的示数如图14所示，则R0 的阻值为_____Ω，电压表内阻RV 的测量值为_____Ω，由于系统误差，测量值_____（选填“偏大”或“偏小”）。

解析：（1）合理的实验步骤顺序是先将电阻箱R0 的阻值调至零，把滑动变阻器的滑片P 滑到a 端，再闭合开关S，调节滑片P，使电压表的示数为3 V，然后调节电阻箱R0 的阻值，使电压表的示数为1.5 V，读出此时电阻箱R0 的阻值，最后断开开关S。

（2）根据电阻箱的读数规则可知，电阻箱R0 的阻值为2 900 Ω。本实验测量电压表内阻的原理是半偏法，则电压表内阻RV 的测量值等于电阻箱的示数2 900 Ω。采用半偏法测量电压表内阻时，由于系统误差，测量值偏大。

答 案：（1）BFACED （2）2 900 2 900偏大

2.伏安法。

基本原理：伏安法测电阻的原理是部分电路欧姆定律，根据R=U/I可知，只要用电表测出通过待测电压表的电流及其两端电压，即可求出电压表的内阻。

例6 现要较准确地测量一个量程为0～3 V，内阻大约为3 kΩ 的电压表V1 的内阻RV，实验室提供的器材如下：电流表A1（量程为0～0.6 A，内阻约为0.1 Ω），电流表A2（量程为0～1 mA，内阻约为100 Ω），电压表V2（量程为0～15 V，内阻约为15 kΩ），定值电阻R1（阻值为200 Ω），定值电阻R2（阻值为2 kΩ），滑动变阻器R3 （最大阻值为100 Ω，最大电流为1.5 A），电源E1（电动势为6 V，内阻约为0.5 Ω），电源E2（电动势为3 V，内阻约为0.5 Ω），开关S，导线若干。

（1）选用部分器材，甲、乙两同学分别设计了如图15甲和乙所示的两个电路。 在图甲的电路中，电源选择E1，定值电阻应该选择_____;在图乙的电路中，电源选择E2，电流表应该选择_____。（填写对应器材的符号）

（2）根据如图15甲所示电路，多次测量得到多组电压表V1 和V2 的示数U1、U2，用描点法作出U1-U2 图像，若图像的斜率为k1，定值电阻的阻值为R，则电压表V1 的内阻RV=_____;根据如图15乙所示电路，多次测量得到多组电压表V1 和电流表A 的示数U1'、I，用描点法作出U1'-I 图像，若图像的斜率为k2，则电压表V1 的内阻RV'=_____。（用题中所给字母表示）

（3）从实验测量精度的角度分析，用图_____（选填“甲”或“乙”）电路较好，原因是_____。

解析：（1）在图15甲的电路中，电源选择E1，电源电动势为6 V，定值电阻起到串联分压作用，应该选择阻值为2 kΩ 的定值电阻R2。在图15乙的电路中，电源选择E2，电源电动势为3 V，通过电压表的最大电流约为1 mA，所以应该选择量程为0～1 mA 的电流表A2。

（2）在图15甲的电路中，定值电阻两端电压为U2-U1，通过定值电阻（电压表V1）的电流I=U2-U1/R ，根据欧姆定律得RV =U1/I = RU1/U2-U1，变形为U1=（RV/R+RV）U2。根据RV/R+RV =k1 得RV= （k1/1-k1）R;在图15乙的电路中，根据欧姆定律得U1'=IRV'，则 RV'=U1 '/I =k2。

（3）用甲、乙两个电路进行实验都没有因仪器仪表而引起的系统误差，但是用如图15甲所示电路测量时，电压表V2 两端电压的变化范围约为0～5 V，用量程为0～15 V 的电压表V2 进行测量，相对误差较大，因此用如图15乙所示电路测量较好。