阿罗的“不可能定理”

于洪涛

当我们面临抉择的时候，投票是常见的决策办法。但你有没有思考过这个问题：同样的候选人，同样的投票人，只是投票规则不同，投票结果可能完全不一样！

如果选用不同的投票规则会得到不同的结果，那哪种投票规则才是最好的呢？经济学家阿罗经过思考后给出了一个悲观的结论：没有任何一种投票规则是完美的。

幸运的是，阿罗的学生马斯金证明了在大多数情况下，简单过半数规则是更为靠谱儿的投票方式。

星际班长花落谁家

大聪明和小问号因为推举星际班长的事发生了分歧。两个人心仪的人选不一样，争来争去也没个定论。于是，他们来找酷博士，看看他有没有什么好办法。

酷博士听完大聪明和小问号的“汇报”，终于搞明白了。原来星际班长要在A、B和C之间选一个，大聪明喜欢A，而小问号喜欢B。

其实，大聪明和小问号心仪的人选不一样是很正常的，俗话说“萝卜白菜，各有所爱”嘛！但究竟让谁担任星际班长不能只由他们说了算，最好是大家集体投票选出来，这样才能反映整体偏好。

多数规则PK简单过半数规则

大聪明提出的方法是投票常用的多数规则，也就是我们常说的“得票多者胜”。

假设有三个候选人X、Y、Z，他们的得票率分别为40%、35%、25%，那么X胜出，因为他得票最多。

假设还是这三位候选人，X、Y、Z。

在选民中，有40%的人最喜欢X，然后是Y，最后是Z；

有35%的人最喜欢Y，然后是Z，最后是X；

有25%的人最喜欢Z，然后是Y，最后是X。

那么，按照简单过半数规则，Y是胜出者。因为对比X和Y，有35%+25%=60%的投票人喜欢Y胜于X，超过了半数；同样，对比Z和Y，有40%+35%=75%的投票人喜欢Y胜于Z，也超过了半数。

通过这个例子我们可以发现，候选人没有变，投票人也没有变，只是投票规则改变了，最后的胜出者就换了人。

想要解决这个问题，我们就需要先知道好的投票应满足哪些条件，再比较哪种投票规则能够满足这些要求。

投票的“四大条件”

经济学家阿罗认为，一个好的投票应满足四个条件：

1. 可决定性。投票要投出结果。

2. 满足一致性。如果大家普遍认为X好于Y，那么Y不会当选。

3. 非独裁性。没有一个选民能主宰结果。

4. 选举结果不会被搅局者干扰。

我来补充说明一下！

假设有三位候选人，其中两位是热门候选人，第三位是绝不会当选的搅局者。搅局者虽然不会当选，但仍会获得一些票数；假设没有搅局者，这些票会投给其他两位，那么有没有搅局者可能会影响最終的投票结果。

孔多塞悖论

回顾刚才介绍过的两种方法，多数规则不满足第四个条件，即容易受到搅局者的影响；而简单过半数规则可能不满足第一个条件。你知道是为什么吗？

假设有三位投票人分别为X、Y、Z排序，并出现了X、Y、Z，Y、Z、X和Z、X、Y三种情况，那么我们将无法从X、Y、Z中选出结果，因为三人的投票结果都超过了半数，触发了“孔多塞悖论”。

不单是这两种方法，阿罗最终发现，任何一种投票规则都不会满足所有的条件，这就是阿罗的“不可能定理”。

不过，后来马斯金用严格的数学计算证明了简单过半数规则只有在很小的概率下才会触发孔多塞悖论。粗浅来看，简单过半数规则基本能满足四个投票条件。

你们要在A、B和C中选出星际班长，和我们讨论的问题非常相似。我建议你们向星际委员会反映一下，这样就能选出那个让大家更满意的人选！