基于马尔科夫链在高中数学中的应用

摘 要：马尔科夫链是以俄罗斯数学家安德烈·马尔科夫的名字命名，是一个数学随机模型，描述了一连串可能发生的事件，从一个状态到另外一个状态，也可以是保持當前状态的随机过程.下一个状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.高中数学中经常与条件概率、全概率公式、贝叶斯公式相结合，构造递推关系求解概率.

关键词：马尔科夫链;条件概率;全概率公式

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）01-0024-03

收稿日期：2023-10-05

作者简介：孟宪亮（1981.7-），男，山东省薛城人，硕士，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

如果一个物体以一种随机的方式运动，并且它的运动是无记忆的，那么这个物体就具有马尔科夫性质.举一个例子：一个足球被很多运动员踢来踢去，接下来的足球可以左右移动也可以上下移动，可以在任何状态下进行，它的运动只取决于当前的状态.马尔科夫链通常用来建模排队原理和统计学中的建模，还可作为信号模拟用于算法编码，在实际生活中应用比较广泛.通过学习马尔科夫链这一数学模型，增加学生将实际生活问题转化为数学模型的能力.

1 马尔科夫链的性质

马尔科夫链具有状态空间、无记忆性、转移概率（转移矩阵）等三个要素.马尔科夫链是从一个状态到另一个状态转化的随机过程，每个状态称为状态空间.无记忆性是下一状态的概率分布，只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.这种特定类型的“无记忆性”称作马尔科夫性.在马尔科夫链的每一步，根据概率分布，可以从一个状态变到另外一个状态，也可以保持当前状态.状态的改变叫做转移，与不同状态改变相关的概率叫做转移概率.

对于随机变量序列Xn，已知第n小时的状态Xn，如果Xn+1的随机变化规律与前面的各项X1，X2，…，Xn-1的取值都没有关系，那么称随机变量序列Xn具有马尔科夫性.称具有马尔科夫性的随机变量序列 Xn 为马尔科夫链.

4 结束语

通过以上实例，对高中阶段学生在具备逻辑思维的前提下将生活中的实际问题转化为数学问题，实现在实践过程中不断探索培育学生数学建模能力的新途径，激发学生的自主探究热情与积极性，切实提高学生的综合能力与素养，为学生的全面发展提供更加优质的数学教学服务.

参考文献：

［1］ 舒彤.关于2020年高考理科数学Ⅰ卷概率题的研究：马尔科夫链［J］.数学教学通讯，2021（12）：82-83.

［2］ 董庆华，王成伟.马尔科夫链在高等数学教学效果评价中的应用［J］.数学的实践与认识，2018，48（08）：314-320.

［责任编辑：李 璟］