一类分数阶q-差分方程广义反周期边值问题

孟鑫　国佳

摘要： 考虑一类非线性Caputo型分数阶q-差分方程的广义反周期边值问题， 用Banach不动点定理给出该广义反周期边值问题解的存在唯一性结果， 并给出一个应用实例.

关键词： Caputo分数阶q-导数; 分数阶q-差分方程; 广义反周期邊值问题; Banach不动点定理

中图分类号： O175.8文献标志码： A文章编号： 1671-5489（2024）02-0237-06

Generalized Anti-periodic Boundary Value Problem fora Class of  Fractional q-Difference Equations

MENG Xin1， GUO Jia2

（1. College of Mathematics and Computer， Jilin Normal University， Siping 136000， Jilin Province， China;2. Library of Jilin Normal University， Siping 136000， Jilin Province， China）

Abstract： We considered the generalized anti-periodic boundary value problem for a class of nonlinear Caputo fractional q-difference equations， gave the existence and uniqueness results of solutions for the generalized anti-periodic boundary value problem  by using the Banach fixed point theorem， and  gave an application example.

Keywords： Caputo fractional q-derivative; fractional q-difference equation; generalized anti-periodic boundary value problem; Banach fixed point theorem

0 引 言

分数阶q-差分理论［1-2］是分数阶差分体系中的一种特殊形式， 它具有分数阶微积分和离散数学二者的优点， 因而有更丰富的理论意义和应用价值. 目前， 分数阶q-差分方程的研究主要侧重于Caputo分数阶q-导数和Riemann-Liouville分数阶q-导数两方面. 文献［3］应用锥上不动点定理研究了二阶q-差分方程边值问题正解的存在性; 文献［4-5］应用Banach不动点定理和Krasnoselskii不动点定理给出了带有非局部Riemann-Liouville分数阶q-积分边值条件的Riemann-Liouville分数阶q-差分边值问题解的存在性结果; 文献［6-7］应用Banach不动点定理和Covitz-Nadler不动点定理研究了边值条件含积分的非线性Caputo分数阶q-差分方程以及q-差分包含边值问解的存在性. 由于反周期问题在许多物理过程的数学模型中应用广泛， 所以反周期边值问题是一类重要的边值问题. 关于非线性分数阶q-差分方程反周期边值问题的研究已取得了一些进展， 文献［8-10］利用基本的不动点定理研究了一类带有反周期非线性Caputo分数阶q-差分方程边值问题， 得到了边值问题解的存在性和唯一性的充分条件; 文献［11-12］利用Banach不动点定理和Leary-Schauder非线性抉择研究了一类带有反周期边值条件的非线性分数阶脉冲q-差分方程的边值问题， 给出了该边值问题解的存在性和唯一性结果.

参考文献

［1］AL-SALAM W A. Some Fractional q-Integrals and q-Derivatives ［J］. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society， 1966， 15（2）： 135-140.

［2］AGARWAL R P. Certain Fractional q-Integrals and q-Derivatives ［J］. Proceedings of Cambridge Philosophical Society， 1969， 66： 365-370.

［3］EL-SHAHED M， HASSAN H A. Positive Solutions of q-Difference Equation ［J］. Proceedings of the American Mathematical Society， 2010， 138（5）： 1733-1738.

［4］WANG J F， YU C L， GUO Y P. Solvability for Nonlinear Fractional q-Difference Equations with Nonlocal Conditions ［J］. International Journal of Modelling， Identification and Control， 2018， 30（4）： 303-309.

［5］AHMAD B， NIETO J J， ALSAEDI A， et al. Existence of Solutions for Nonlinear Fractional q-Difference Integral Equations with Two Fractional Orders and Nonlocal Four-Point Boundary Conditions ［J］. Journal of the Franklin Institute， 2014， 351（5）： 2890-2909.

［6］YANG W G. Existence Results for Nonlinear Fractional q-Difference Equations with Nonlocal Riemann-Liouville q-Integral Boundary Conditions ［J］. Filomat， 2016， 30（9）： 2521-2533.

［7］SAMEI M E， RANJBAR G K， HEDAYATI V. Existence of Solutions for a Class of Caputo Fractional q-Difference Inclusion on Multifunctions by Computational Results ［J］. Kragujevac Journal of Mathematics， 2021， 45（4）： 543-570.

［8］YANG W G. Anti-periodic Boundary Value Problems in Volving Nonlinear Fractional q-Difference Equations ［J］. Malaya Journal of Matematik， 2013， 4（1）： 107-114.

［9］孫明哲， 侯成敏. 一类反周期分数阶q-差分边值问题解的存在性 ［J］. 吉林大学学报（理学版）， 2014， 52（6）： 1215-1218. （SUN M Z， HOU C M. Existence of Solutions for a Class of Anti-periodic Boundary Value Problems with Fractional q-Difference Equations ［J］. Journal of Jilin University （Science Edition）， 2014， 52（6）： 1215-1218.）

［10］LI X H， HAN Z L， SUN S R. Anti-periodic Boundary Value Problems for Fractional q-Difference Equations ［J］. Journal of Applied Mathematics and Computing， 2016， 50（1/2）： 243-257.

［11］PATHAK R P， SOMVANSHI P S. On Existence Result of Impulsive Antiperiodic Boundary Value Problem of Fractional Order q∈（1，2） ［J］. Acta Ciencia Indica， 2015， 41（4）： 331-346.

［12］ZUO M Y， HAO X A. Existence Results for Impulsive Fractional q-Difference Equation with Antiperiodic Boundary Conditions ［J/OL］. Journal of Function Spaces， （2018-10-09）［2023-03-28］. https：//doi.org/10.1155/2018/3798342/.

［13］KAC V， CHEUNG P. Quantum Calculus ［M］. New York： Springer， 2002： 1-112.

（责任编辑： 赵立芹）

收稿日期： 2023-05-19.

第一作者简介： 孟 鑫（1980—）， 男， 汉族， 博士， 副教授， 从事微分方程与动力系统的研究， E-mail： mengxin0419@126.com.

基金项目： 国家自然科学基金（批准号： 10971084）.