拟L0filiform左对称代数的导子

张盼 吴明忠

摘 要：本文利用导子的定义，通过分析拟L0filiform左对称代数的结构特征，讨论其导子在拟L0filiform左对称代数的一组特殊基上的作用，得到拟L0filiform左对称代数的导子代数结构。发现拟L0filiform左对称代数的导子在这组特殊基下的矩阵是下三角矩阵，得出导子代数是可解李代数。

关键词：左对称代数；拟L0filiform左对称代数；强充分基；导子；可解

中图分类号：O152 文献标志码：A文章编号：1673-5072（2024）02-0155-04

左对称代数是一类非常重要的非结合代数，它与数学和物理的许多领域都有密切联系，如在向量场、顶点代数、算子理论、仿射流形、李群上的不变仿射结构等领域都起着很重要的作用［1］。Filiform左对称代数是一类代数结构较好的左对称代数，文献［2］中对维数小于或等于5的filiform左对称代数进行了分类，其中用到一类特殊的左对称代数L0。与文献［3-4］类似，本文给出了拟L0filiform左对称代数的结构特征。

由于导子能反映代数最本质的结构和性质，近年来，一些特定代数的导子研究成为代数结构理论中的重要课题［3-10］。其中，文献［5］讨论了一类广义的Virasoro代数的导子结构，文献［6-7］讨论了具有特殊结构的左对称代数的导子，文献［8］讨论了一类n-李代数的导子，文献［3-4］和［9-10］分别讨论了一些特殊李代数的导子，这些代数导子的研究得到了一些有用的结论。

本文利用导子作用在拟L0filiform左对称代数的一组特殊基来研究导子代数的结构特征。另外，本文所讨论的线性空间和代数都定义在数域F上。

1 基本概念

定义1［1］ 设N是数域F上的一个线性空间，在N中定义一个双线性映射（x，y）→xy，满足等式：

（xy）z－x（yz）=（yx）z－y（xz）， x，y，z∈N，

则称N是一个左对称代数。

定义2［2］设N是一个n维左对称代数，如果满足对任意的1in，都有dimNi=dimNi=n+1－i，且Nn+1=Nn+1=0，则N被称为filiform左对称代数。

定义3［2］ 设N是数域F上的n+1维左对称代数，如果在一组基{e0，e1，e2，e3，…，en}上，满足：

e0ei=ei+1，0in－1，

其他的乘积为0，则称这组基为N的强充分基，此时N为一个filiform左对称代数，记为L0。

定义4 设L=L1+L2+L3+…+Lm，其中LiL0，1im，并且有LiLj=LjLi=0，i≠j，则称L为拟L0filiform左对称代数。

注1 这里L=L1+L2+L3+…+Lm是线性空间的和，但可以不是线性空间的直和，所以这样的分解有非平凡的交。

引理1 设L=L1+L2+L3+…+Lm是一個拟L0filiform左对称代数，dimLn=r

{ei0，ei1，ei2，ei3，…，ei，n－1，e1n，e2n，…，ern1im}

是L的一组基。

2 主要结果

设σ是代数A上的线性变换，而{v1，v2，v3，…，vn}是A的一组基。那么σ∈DerA当且仅当

σ（vivj）=σ（vi）vj+viσ（vj），1i，jn。（1）

另外，由前面的计算结果可以得出，拟L0filiform左对称代数的每一个导子在引理1所述的特殊基下的矩阵是一个下三角矩阵，因此，可得下面的推论。

推论1 拟L0filiform左对称代数的导子代数是可解李代数。

参考文献：

［1］ BURDE D.Left-symmetric algebras or pre-Lie algebras in geometry and physics［J］.Central European Journal of Mathematics，2006，4（3）：323-357.

［2］ DEKIMPE K，ONGENAE V.Filiform left-symmetric algebras［J］.Geometriae Dedicata，1999，74（2）：165-199.

［3］ WU M Z.Quasi Rn-filiform Lie algebras［J］.Linear Algebra and Its Applications，2013，439（5）：1203-1220.

［4］ REN B，HU N H.Quasi Ln-filiform Lie algebra［J］.Communications in Algebra，2005，33（2）：633-648.

［5］ 方政蕊.一类广义的Virasoro代数的导子结构［J］.数学的实践与认识，2016，46（23）：274-278.

［6］ 朱开晓，吴明忠.一个特殊的4维幂零左对称代数的导子和自同构［J］.西华师范大学学报（自然科学版），2019，40（3）：271-276.

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［8］ 张坤.一类n-李代数的自同构群及其导子李代数［J］.四川大学学报（自然科学版），2013，50（3）：423-432.

［9］ WU M Z.The derivation algebra of Qn-filiform Lie algebra［J］.Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2013，28（3）：397-401.

［10］吴明忠.Ln-filiform李代数的导子代数（英文）［J］.西华师范大学学报（自然科学版），2007，28（4）：298-301.

Derivation of Quasi L0filiform Left-symmetric Algebra

Abstract：In this paper，the definition of derivation is utilized and the structure characteristics of quasi L0 filiform left-symmetric algebra are analyzed to obtain the structure of the derivation algebra of quasi L0 filiform left-symmetric algebra by discussing the action of its derivation on a special base of quasi L0 filiform left-symmetric algebra.It is found that the matrices of the derivation of quasi L0 filiform left-symmetric algebra are lower triangle matrices on this special base and the derivation algebra is a solvable lie algebra.

Keywords： left-symmetric algebra；quasi L0 filiform left-symmetric algebra；strongly adequate base；derivation；solvable