调和线束中的平行平分模型

柯希湖

1 问题引路——高考真题呈现

因为该试题是一道结构不良类型的证明题，所以在此着重分析试题背景中的平行平分模型及应用过程，部分步骤中涉及的代数运算证明仅做简单叙述（主要涉及斜率条件的转化）.

如图5，设直线AB与双曲线交于C，D两点，由直线与双曲线及渐近线相交的性质得|AC|=|BD|，这意味着AB的中点即CD的中点，这个中点即试题中准备研究的点M.

设直线CP，DQ交于点T，取PQ中点N，直线TN交直线AB于点L，过点T作PQ的平行线TS，由|PN|=|NQ|，结合平行平分模型结论②，线束TS，TN，TP，TQ为调和线束，

即线束TS，TL，TC，TD为调和线束.

（1）选择①②证明③

若PQ∥AB，则TS∥AB.由平行平分模型结论①，得|CL|=|DL|，即L是CD中点，

从而|AL|=|BL|.结合直线MP，MQ的斜率分别为－3，3，计算可得此时点L为点M，从而|MA|=|MB|.

（2）选择②③证明①

若PQ∥AB，结合TS∥PQ，则有TS∥AB.

因为线束TS，TL，TC，TD为调和线束，结合平行平分模型结论①，可知|LA|=|LB|.

由x1>x2>0得弦PQ不垂直于x轴，所以弦AB也不垂直于x軸，故弦AB的中垂线不过原点O，

由直线MP，MQ的斜率分别为－3，3，计算可得O，N，M三点共线，故点M，L都在直线ON上.结合|MA|=|MB|，|LA|=|LB|，直线ON不是AB的中垂线，从而点M，L重合.

故点M在AB上.

（3）选择①③证明②，略.

基于高等几何的极点极线的相关内容，对尖子生而言，一般用于速算结果、探究方向，虽然解题很快，但要慎重考虑是否可作为高中卷面的书写过程.