寻思沉潜如深海 为有源头活水来

苏晓宇

1 试题回顾

（2023全国卷Ⅰ，21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均為0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1－P（Xi=0）=qi，i=1，2，……，n，则E（∑n/i=1Xi）=∑n/i=1qi.记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）.

这道题是概率和数列结合的问题.此题出现在次压轴的位置，在创新和应用方面都有所考查，区分度强，三个小问层层递进，上一问均对下一问的解答有辅助作用.第（2）问深入考查了全概率公式，其本质上是机器学习理论“马尔可夫链”的模型，这也体现了数学理论的统一性.第（3）问本质上是“期望的线性性质”.

笔者对本题第（2）问和第（3）问进行了研究，一题多解，除高中的概率与数列结合的方法外，还提供了比较简洁的高等数学方法.

2 思维导图

第（2）（3）问的思维导图分别如图1、图2所示.

3 多维视角，解法探究

3.1 第（2）问的解法探究

思路1：全概率公式，分析递推.

在第（1）问的基础上，进一步分析，发现第i+1次投篮的人是甲只依赖于第i次投篮的情况.第i+1次投篮的人是甲可分为两种情况：第i次投篮的人是甲，第i+1次投篮的人也是甲；第i次投篮的人是乙，第i+1次投篮的人是甲.

5 解题感悟，引导教学

近年来的新高考中，许多概率统计类题目考查学生分析问题和解决问题的能力，以及创新应用能力.随着大数据时代的到来，概率与统计在应用方面体现出独特的价值.如近年来考查的马尔可夫链实际上是人工智能与机器学习的前沿内容.笔者通过挖掘本题的求解过程及研究近几年新高考概率统计类题目，得出如下两点教学启示.

（1）本题源于教材，高于教材，因此在复习中应该引导学生重视教材中知识点的掌握及教材课后习题的挖掘.高考题中概率统计类选择题、填空题多数为学生常见的经典试题，因此，我们在复习中应回归课标、教材，唤醒核心知识.

（2）马尔可夫链是概率论和统计学的重要模型，在实际生活中应用广泛，如天气预测、股票市场分析、自然语言处理等.在高考中多次出现此类问题并不意味着学生要去学习大学统计模型，而是要让学生体会统计与生活的密切联系，教师在教学中应渗透统计思想，激发学生对概率统计的学习兴趣.通过对这类题目深入浅出的讲解，适当拓宽学生的视野，促进学生对统计思想的理解和掌握；也可适当利用计算机进行编程实现问题求解，培养高中生的计算机编程能力.