数形结合思想在高中数学教学中的渗透探究

徐文波

（甘肃省武威第七中学，甘肃武威 733000）

高中数学知识复杂繁多，抽象性强，仅凭死记硬背的传统方式难以掌握数学的精髓，在解题过程中会遇到各种各样的状况。随着新课标的落地，它给高中数学教学带来新的契机，也带来了许多新的教学理念，能够帮助高中生建立数学学习的自信，在数学课堂上积极互动，汲取有价值的信息，促进数学思维和数学素养的发展。数形结合思想作为一种新的教学思想，受到教师和学生的青睐，解决了数学教学的难题，增强了数学学科的乐趣，有效实现了数学知识的迁移。在教学中，教师必须对数形结合思想做到全方位的渗透，不仅要让学生懂得数形结合的理论，还要让学生学会灵活运用数形结合思想解题，搭建数学知识框架。

一、高中数学教学存在的问题

在高中阶段，学习任务重，为了让学生能在高考中取得高分，数学教师往往会给学生布置大量的数学训练题，认为学生只有将训练题都做会了，考试的时候就没问题了。实际上，很多训练题都重复了，而且还有一些超纲题会导致学生的学习效率下降。现在高中生解题还依赖过去的套公式方法，只要题目稍微变化，学生就不知道该如何解答，暴露出许多问题。这给教师敲响警钟，要求教师必须变革数学教学方式，带来多种多样的数学思想，让学生有所改变，有所提升，适应新高考的要求。

二、数形结合思想在高中数学中的渗透意义

（一）有利于提高知识运用能力

数形结合思想主要是通过数与形之间的转化来解决数学问题，给学生提供更多直观化和形象化的数学素材，降低数学问题的难度，让学生学习起来更有信心，使数学课堂呈现活跃的状态，提高学生的知识运用能力。当遇到复杂的数学问题时，教师指导学生进行数形转化，不再是套公式或者背模板，整个学习过程变得轻松、愉快，有利于促进新课改的推进。经过日积月累，学生的数形结合能力越来越强，他们可以灵活解决各类数学问题，起到良好的辅助功能，使解题的流程、思路更加优化。

（二）有利于提高课堂教学水平

数形结合思想不仅对学生学习有利，对于教师教学也有很大的帮助。以前教师总是给学生提供固定的解题策略，不让学生进行创新，即使学生提出来不同的解题方法，也得不到教师的鼓励，反而打消了学生的学习激情。当数形结合思想提出后，解题时不再拘泥于一种方法，教师给学生提供了宽阔的发展平台，鼓励学生从不同的角度去解题，实现“以数解形”“以形助数”，通过抽象思维与形象思维的结合，优化解题途径，使很多数学问题迎刃而解，且解法简便，提高课堂教学水平。

三、数形结合思想在高中数学教学中的渗透策略

（一）更新应用观念，激发数形结合兴趣

数形结合是高中数学教学中极为重要的数学思想方法之一，是其他数学思想方法所不能替代的，特别是在教学抽象的数学概念和解决复杂数学问题时，运用数形结合可以将数学概念、数学问题化繁为简、化抽象为直观，从而有效地提高学生学习效率和解决问题的精准化、严谨化。所以，教师要树立大教育观，在教授数学知识的同时还要注重数学思想方法的渗透，引导学生运用数形结合思想突破疑难问题，锻炼和强化学生的应用意识，并运用多样化的教学方式，不断激发学生的研究、运用数形结合的兴趣，拓展学生数学思维。

在数与形的关系中，“黄金分割率”是特别值得一提的，它被人们称为数与形和谐性最完美的表现，并且被广泛地应用于绘画、建筑艺术中。教师在渗透数形结合思想的过程中，可以适当地进行知识拓展和延伸，借助多媒体为学生呈现世界名画《最后的晚餐》、伟大的建筑埃菲尔铁塔等，让学生领略黄金分割之美，激发数形结合意识，使学生对数形结合产生学习和探究的兴趣。如果教学素材或研究对象生动有趣，学生就能够从“要我学”的心态转变成为“我要学”的心态，使课堂教学效果获得提升。在传统课堂上，教师往往借助于板书向学生渗透数形结合思想，无论教师画得图怎样漂亮、怎样准确，但它终究是一个“死”图，导致学生很难从图形中发现数学变量间的变化规律，影响了学生对数与形的感知。为此，教师可以将信息技术应用到课堂中，利用几何画板动态演示数形之间的联系和变化规律，让传统的“死”图动起来、活起来，加深学生对数学知识的理解与记忆。比如，在教学“立体几何”时，教师就可以利用几何画板进行动态模拟，将平面图转化为立体图、用三维空间为学生多角度展示立体图形等，激发学生的空间想象力，让学生感受图形结合的魅力，从直观的角度理解数学知识，这既降低了课堂教学难度，也增强了课堂教学的趣味性和科技感，激发了学生的好奇心和求知欲。

（二）归纳典型案例，丰富数形结合经验

在高中数学中，数形结合思想是要求学生必须掌握的重要数学思想方法之一，在课堂教学中占据着重要的位置。同时，这一数学思想可以引导学生对抽象的数学概念、数学问题给予形象化的理解和记忆，对学生探寻解题思路、寻找最佳解题方法具有指导性的作用。所以，在课堂教学中，教师要善于归纳总结数形结合的典型案例，并引导学生运用数形结合思想进行思考与解答，培养学生举一反三、触类旁通的能力，不断丰富学生运用数形结合思想的经验。

首先，教师要引导学生对经常用到的一些基本图像进行归纳与总结，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、二次函数等，不光要让学生熟悉这些函数图形像，还要求学生能够熟练掌握、利用图像的变换方法，能够根据数学问题利用平移、对称、翻转、伸缩等方法在基本图像的基础上作图，将枯燥的语言文字和数学符号转化为图形，帮助学生更好地理解题意，建立解题思路。其次，教师可以采用专题教学的方式，以核心知识为重点，合理引导学生，让他们有条理地学习，逐步掌握数学知识，形成自己的知识体系，提高其解决某一类问题的能力。比如，教师可以立足于教材内容，设置数形结合思想在集合中的应用，数形结合思想在方程、函数、不等式中的应用，数形结合思想在三角函数中的应用，数形结合思想在解析几何中的应用，数学结合思想在空间向量中的应用等专题，并为每个专题精选典型例题和习题，按照学生认知特点和学习特点，循序渐进地向学生渗透数形结合思想，让学生在分析问题、解决问题的过程中不断积累经验、锻炼能力。最后，教师要注重错题的总结与归纳，学生出错的地方往往就是学生对数形结合理解不到位的地方，如果不加以重视和解决，很可能会成为学生日后学习和解决问题中的障碍。所以，教师要善于收集整理学生错题，从中筛选典型、具有探究价值的错题，并将其作为教学案例在课堂中进行集中、详细讲解，帮助学生解决学习中遇到的问题，促使他们养成数与形结合的思想。

（三）强化思维训练，提高数形结合能力

数形结合思想主要研究的是数与形之间的转化，这也是解决数学问题的突破口。然而，在现实中，很多学生却找不到这个突破口，他们在运用数形结合思想时，往往只看到数字想不出图形或看到图形找不到数量关系，不能将二者很好地结合起来，甚至还会陷入思维困境。为了改变这一状况，教师要强化学生的思维训练，不能只限于将数学思想方法教给学生，还要让学生多动脑、多动手、多实践，自主探索数形结合思想的关键，提高数形结合能力。

在教学中，教师需从不同角度出发引导学生，锻炼他们对数、形的熟悉程度，为其提供分析习题的机会，锻炼其分析能力，使其能够清楚地分析出与题意相关的各种图形，并将题目中的已知条件和问题标注到图形中，清楚再现各种数学变量间的关系和变化规律，帮助学生快捷、简单、有效地找到解题思路。比如，在教学“取值范围”问题时，教师设计了习题：已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于方程有三个不同的根，则m 的取值范围是_____。在解决这一问题时，很多学生会选择直接求解，但是步骤极为烦琐，经常搞不清到底哪部分的范围才是满足题意的，而且在解题过程中很容易出错。这时教师就可以引导学生尝试着运用数形结合思想，引导学生在同一坐标系中画出两个函数图像，将取值范围问题转化为两曲线的交点问题，从图像中学生就可以知道方程有三个不同的根只需要的最小值小于m。相比传统的讨论法求解，数形结合思想的求解思路更清晰，求解过程也更快、更准。另外，教师还要训练学生以形变数的思维，引导学生借助图形挖掘题目中的隐含条件，然后将隐含条件和已知条件相结合来解决问题。比如，在教学“二次函数图像”时，教师设计了课堂练习：如图1 是函数y=ax2+bx+c 图像的一部分，图像经过点A（-3，0），图像的对称轴为x=-1，给出下面四个结论：（1）b2＞4ac，（2）2a-b=1，（3）a-b+c=0，（4）5a＜b，其中正确的是_____。解决此题，如果根据已知条件直接求解，会十分困难，而如果借助函数图像，就会简单容易得多。从图像中可以得出多种信息：函数图像与x 轴交于两点，则△＞0，即b2-4ac＞0；图像对称轴为x=-1，即-b/2a=-1；图像开口向下，则a＜0。用数形结合思想得出这些隐含条件后，学生很容易就可以判断出正确答案，做题效率大幅提升。

图1 函数图像

（四）坚持问题导向，促进数形结合解题

学生数形结合思想的形成不能只靠教师的指导和灌输，更需要学生自主领会、自主构建。所以，教师要充分尊重学生的主体性，坚持问题导向，以具有探究价值的问题为主，引动学生复习，引导学生积极思考、主动运用数形结合思想解决问题，促进学生的自主发展，推动课堂教学的有效开展。

在传统的课堂教学中，采用的主要是“教师问、学生答”的教学模式，在问题设计时更加注重知识性，了解问题设计是否符合学生的实际情况，注重其中蕴含的启发性和引导性。而在新时期的课堂教学中，教师应当提出更多开放性的问题，将关注点放在学生思维能力的培养上，利用问题驱动学生主动地运用数形结合思想进行探究。比如，在教学“正弦定理和余弦定理”时，教师可以联系学生的知识背景设计课堂探究环节，让学生运用直角三角形的边角关系对正弦定理和余弦定理进行推导和探究。当得出结果后，教师可以提出问题，引导学生进行进一步的思考，想一想在其他类型的三角形中是否也有这样的关系，让学生探究一下这种边角关系在其他三角形中是否成立，以问题为导向，引导学生深度学习、合作学习。通过合作探究，学生们形成了多种验证方案，有向量法、外接圆法、等积法等，虽然方法不同，但在探究过程中都用到了数形结合的思想，锻炼了学生思维能力。另外，教师还要为他们提供主动质疑的机会，并引导他们搜集或设计一些蕴含数形结合思想的问题，在强化学生主体意识的同时调动他们的学习积极性。

（五）优化作业设计，巩固数形结合基础

数学作业是高中数学教学中具有补充价值的一个环节，能够帮助学生复习，促进其数学思维和数学能力的发展。长期以来，教师在作业布置上缺乏深入的研究，作业内容主要以教材或练习册中的习题为主，将学生置于题海之中，甚至还出现了很多机械重复无效的作业，不仅浪费了学生宝贵的时间，也降低了学生的学习效率。为此，教师要对传统作业形式进行优化与创新，注重知与行的统一，让学生在做作业时锻炼自己的能力。

教师可以设计综合性的作业内容，将数形结合思想融入学生的思维和解题习惯中，比如将函数解析式与函数图像相联系，将连曲线与方程相联系，将空间直角坐标系中的点、复数与实数之间建立联系，设计综合性的作业内容，让学生体会数形结合思想的重要性，强化学生数与形的联系能力。教师还可以设计信息搜集类的作业，让学生利用课余时间进行课外阅读，从网络、报刊、书籍中搜集与数形结合思想相关的史料、小故事、经典习题等，开拓思维和视野，锻炼其思想。另外，教师还可以从制作角度出发，设计合适的作业，让学生运用数形结合思想制作各种数学模型，促进理论向现实的转化，让学生在动手中体验数形结合思想的强大作用，提高学生的运用能力。

四、结语

数形结合思想在高中数学中有着广泛的运用空间，真正提升了教与学的质量，开创了新的教学局面。作为数学教师，我们必须建立正确的教学观，加强对数形结合思想的研究和渗透，在课堂教学、知识检测、课外活动等多个层面融入数形结合，锻炼学生的数学思维能力和运算能力，使学生乐于学习数学，养成终身学习意识。