一类带有非线性阻尼项的磁流体动力学方程组的解的整体存在性

李林锐 ,洪明理 ,郑琳

(1.防灾科技学院基础部,河北 三河065201 2.华北水利水电大学数学与统计学院,河南 郑州 450046)

1.引言

本文将考虑如下带有非线性阻尼项的不可压缩磁流体动力学方程组的初始值问题

其中u表示流体的速度场,b表示磁场,流体的速度场u和磁场b是二维的自由散度场,p表示压力,ν ≥0表示流体的粘性系数,κ ≥0表示磁场的扩散系数,阻尼项系数a>0和指标函数α>1,阻尼项一般来自于流体运动对外力的抵抗,可以描述诸如多孔介质的流体的运动,摩擦力和拖拽力以及一些耗散项对流体运动的影响等[1-4].当a=0 时,系统(1.1)退化成常规意义下的磁流体动力学方程组,该系统是流体力学的基本宏观模型之一,已经得到广泛而深入的研究[2-6].系统(1.1)中第一个方程表示动量守恒方程；第二个方程是电磁感应方程,这个方程组描述了电场和磁场的耦合作用.磁流体动力学偏微分方程组(magnetohydrodynamics,简称MHD方程组)描述了导电流体在电磁场中运动的状态,在空气动力学、天体物理、地球物理以及宇宙等离子物理学等领域具有非常重要的应用,与其相关的渐近极限问题因其物理背景的重要性、复杂性,其数学方面的挑战性,吸引了许多知名数学家和物理学家的研究兴趣,同时也取得了很多很好的结果.基本的数学问题比如解的适定性问题、整体正则性和解的爆破性有很多深入的研究和结果,在多孔介质中带有非线性阻尼项的磁流体动力学模型更多的物理背景可参见文[7-9,14-15].

显然,当方程组中的磁场b=0时,系统(1.1)退化成带有非线性阻尼项的不可压的Navier-Stokes方程.近些年,带有非线性阻尼项的Navier-Stokes方程吸引了很多国内外专家学者的关注[5-10,18].蔡晓静和酒全森[5]研究了带有阻尼项a|u|α-1u(a>0)的Navier-Stokes方程弱解和强解的整体存在性,证明了当α≥时强解的整体存在性和≤α ≤5时强解的唯一性;随后,张族锦等[6]将α的下界降低到3,这个下界3具有重要的关键性作用也在文[7]中被周勇得到证实.受到这些文献的启发,我们将关于带有阻尼项的Navier-Stokes的解的适定性问题推广到带有阻尼项的磁流体动力学方程组.在先前相关的磁流体动力学方程组的研究工作中,更多的专家学者聚焦于不带有非线性阻尼项或者只带有部分粘性项或者部分磁扩散项的广义的磁流体动力学方程组解的存在性和唯一性证明,其中陈文吉、章志飞和周建丰[11]研究了在周期性区域上带有部分粘性扩散项的三维磁流体动力学方程组在初始速度充分小和初始磁场接近于背景磁场并且满足Diophantine条件时的解整体适定性;潘荣华、周忆和朱忆[12]在欧拉坐标系下利用带有时间权函数的能量估计方法研究了在初始磁场接近于平衡状态下并且初始条件具有某种对称性条件下三维磁流体动力学方程组不带有磁扩散项的磁流体动力学方程组的古典解的整体存在性;吴家宏和翟晓平[13]研究了带有真空的非电阻的可压的三维磁流体动力学方程组的柯西问题下局部强解的存在性,并首次给出了三维磁流体动力学方程组在磁场满足Diophantine条件下磁场接近于背景磁场时的解的整体存在性和稳定性;Titi和Trabelsi[15]解决了在多媒介质通道中三维磁流体动力学方程组的解的适定性问题.综合以上分析,在本文中我们将研究在多孔介质意义下的一类带有非线性阻尼项的不可压的磁流体动力学方程组的解的整体存在性问题,由于磁流体动力学方程组有磁场的耦合作用,在用能量方法的过程中计算更复杂也更富有挑战性,在计算过程中会出现新的问题、难度更大,面对的困难也将更多.同时,在文[15]中作者证明了同时包含速度场方程和磁场方程中的带有两个非线性阻尼项下的磁流体动力学方程组的强解的存在性,在本文中我们并不需要额外的磁场方向的阻尼项就获得了解的存在性,此外,也给出了弱解的存在性,这同时也推广了文[15]中的相关结果.

2.整体存在性结果

对于带有阻尼项的磁流体动力学方程组,首先给出方程组弱解的定义:

定义1如果(u,b,p) 满足下列三个条件：

3) (x,t)∈R2×(0,T),都有∇·u(x,t)=∇·b(x,t)=0成立.

本文主要结果如下:

定理1假设初始条件(u0,b0)∈L2(R2)×L2(R2)且满足divu0=divb0=0,令a,ν,κ>0且α ≥1,则带有非线性阻尼项的磁流体动力学方程组(I)有整体弱解(u(x,t),b(x,t))满足

进一步地,也可以得到带有非线性阻尼项的磁流体动力学方程组的强解,结论如下:

3.预备知识

首先我们给出一些在证明过程中用到的引理:

引理1[8]若f,g ∈Hk ∩L∞,则

当|α|≤k时,有

如果F是光滑函数并且F(0)=0,则对于任意的f∈Hk ∩L∞,有

引理2[16](Agmon’s不等式) 若u ∈H2(Ω)∩H01(Ω),Ω ∈R2,则存在常数C使得

引理3[17](Gagliardo-Nirenberg不等式) 若f(x)是定义在R2上的光滑函数,如果1≤q,r ≤∞,m是自然数,假设实数α和自然数j满足

其中s>0是任意数,并且常数C1和C2仅仅依赖于Ω,m,j和s.

4.定理的证明

为了证明带有非线性阻尼项的磁流体动力学方程组弱解的整体存在性,首先用Faedo-Galerkin近似方法去获得近似解的局部存在性,这一部分方法很经典,可以参考文[8]中关于Navier-Stokes方程近似解的相关步骤,在此我们不在赘述.我们仅需要获得关于解的一致先验估计去延拓局部解到整体解,并最终应用Aubin紧性原理由近似解的先验估计获得原始系统整体解的存在性.下面将通过以下几个步骤分别获得解的先验估计从而给出定理的证明.

定理1的证明步1 (u,b)的L2估计

对(1.1)的第一个方程两边同时乘以u(x,t),然后在R2上积分可得

对(1.1)的第二个方程两边同时乘以b(x,t),然后在R2上积分可得

将上式(4.1)和(4.2)式相加可得,

将上式(4.3)式从0到t上积分可得

在上面最后的两个式子中分别令(4.5)、(4.6)式子中t →+∞,则有

由上面的能量估计可得

进一步地,应用H¨older不等式和Young不等式,可得

利用Poincar´e不等式,(4.2)式可变形为

通过Gronwall’s引理可得,对于任意的t ≥0,

下面令η ∈(0,1),则有

将(4.16)代入(4.1)式并加上(4.2)式可得

利用Poincar´e不等式,在(4.17)式中扔掉2ν∥∇u,则有

由于η ∈(0,1),从而可得

由Gronwall不等式,可得

从而可得

对式子(4.2)两边同时从(m,t)上积分可得

在(4.22)中不等式左边是有界的并且是关于时间t是单调的,首先令t →∞,然后令m →∞,则可以得到:

步2 (u,b)的H1估计

在(1.1)的第一个方程两边同时乘以-∆u,并在R2上分部积分可得

另一方面,由于α>3,利用H¨older不等式和Young不等式可得

对于(4.24)式右边最后一项利用Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式可得

在上面式子中最后两步的估计式中用到引理3中的Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式.

接下来,在(1.1)中第二个方程两边同时乘以-∆b并在R2上积分可得

下面估计(4.28)式子右边的第一项,通过分部积分可得

综合上式可得

下面类似于在(4.28)式右边第二项的估计可得

联合(4.24)-(4.31)可得

应用Gronwall不等式,通过上面式子(4.31)可得

综合上面的能量估计式(4.9)、(4.10)、(4.14)、(4.21)、(4.23)和(4.34)式可知,定理1得到证明.

定理2的证明首先对(1.1)的第一个方程两边同时乘以∂tu并在区域R2上积分可得

对于(4.35)式左端第二项和第三项分别有估计式

将(4.36)、(4.37)式分别代入(4.35)式可得

两边同时关于时间t积分可得

利用Young不等式可以估计

同理可估计

在上面最后一步应用到引理2中的Agmon不等式.

由于上面的估计式(4.32)可得

将上式(4.42)代入(4.38)式可得

下面用同样的方法证明∂tb ∈([0,+∞),L2(R2)).

对(1.1)式的第二个方程两边同时乘以∂tb并在区域R2上积分可得

对(4.44)式两边从0到t上积分可得

再次应用Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式可得

对于上式中左边第二项,利用Stroock-Varopoulos不等式可得

另一方面,对于上式中右边的项,估计式如下:

联合(4.49)、(4.50)和(4.51)式,并代入(4.48)式可得

由于先验估计式(4.6)可知u ∈Lα+1([0,+∞);Lα+1(R2)),从而有

注由于系统(1.1)为同时具有粘性项、磁耗散项和非线性阻尼项的磁流体动力学方程组,因此现有文献如文[18–21]中定理都不适用于系统(1.1),从而说明本文的定理推广、改进且丰富了现有文献中关于磁流体动力学方程组的结果,尤其是完善了之前相关文献中的一些数值分析结果,为磁流体动力学的发展和持续研究提供了理论依据.