尺寸偏差下的车身含胶滚边滚轮的位姿补偿

李默之 朱文峰 王顺超

摘要 ： 针对铝合金车身更严格的外观精度要求，提出一种面向车身尺寸偏差的滚轮位姿补偿方法。首先对尺寸偏差区间与胎模边线进行等距离散，得到尺寸偏差矩阵；然后基于Frenet标架与齐次坐标变换将尺寸偏差映射为滚轮位姿，得到滚轮位姿偏差矩阵；最后将滚轮位姿补偿量转化为滚轮位姿偏差矩阵行编号的调整量，得到补偿后的滚轮位姿。其中，滚轮位姿偏差矩阵由胎模曲面/曲线方程、滚轮倾角，以及FEM-SPH有限元仿真获得的尺寸偏差与TCP-RTP值的量化模型决定。实验结果表明，滚轮位姿补偿后的车身尺寸偏差平均值由0.32 mm降至0.14 mm。

关键词 ：滚压成形；偏差；工艺补偿；折边胶

中图分类号 ：U463.82

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.02.021

开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

Roller Pose Compensation in Automotive Body Roll-hemming Forming

Process with Adhesive for Dimensional Deviation

LI Mozhi ZHU Wenfeng WANG Shunchao

School of Mechanical Engineering，Tongji University，Shanghai，201804

Abstract ： In order to meet the stricter requirements for appearance accuracy of aluminum alloy automotive bodies， a roller pose compensation method was proposed for the dimensional deviation of automotive bodies. The dimensional deviation matrix was obtained by equidistant discretization of the dimensional deviation interval and the die edge. Based on the Frenet scale frame and Cartesian coordinate transformation， the dimensional deviation was mapped to the roller pose， and the deviation matrix of roller pose was obtained. The roller pose compensation amount was converted into the adjustment amount of the row number of the deviation matrix of roller pose， and the compensated roller pose was obtained. Among them， the deviation matrix of roller pose was determined by the surface/curve equation of die， the roller angle and the quantization model of dimensional deviation and the value of tool center point-robot target point（TCP-RTP）. The quantization model of dimensional deviation and the value of TCP-RTP was obtained by finite element simulation of finite element method-smoothed particle hydrodynamics. The results show that the average value of the dimensional deviation is reduced from 0.32mm to 0.14mm after the roller pose compensation.

Key words ： roller forming； deviation； technological compensation； hemming adhesive

0 引言

鋁合金车身是影响车辆外观的重要部件，有着极高的外观与装配精度要求，部分整车厂对铝合金车身的外观与装配精度要求达到0.01mm。机器人含胶滚边即在车身内外板间涂覆折边胶，利用工业机器人驱动滚轮，按照预定的位姿与轨迹实现车身内外板的连接，是车身制造的重要工艺  ［1-3］ 。车身尺寸偏差不可避免，传统滚边工艺中，滚轮位姿与轨迹无法根据车身尺寸偏差调整。滚边工艺中，内外板的剧烈挤压会导致折边胶（高黏度的非牛顿流体）产生压黏效应  ［4］ 。上述两个因素导致现有的滚边方法难以使车身外观与装配精度进一步提高。因此，考虑车身尺寸偏差的含胶滚边滚轮的位姿补偿研究具有良好的理论意义与工程应用背景。

在折边胶与滚边工艺参数对车身尺寸偏差影响研究中，LIN等  ［5］ 研究了铝合金薄板在包边成形工艺中的成形性能，分析了包边工艺参数对成形性能的影响。GRGEN  ［6］ 研究了板材厚度、弯曲角度、滚轮直径等工艺参数对曲面零件缩进胀出、变形、波浪起皱和滚边力的影响。李建军等  ［7］ 使用FEM-SPH（finite element method-smoothed particle hydrodynamics）方法建立了车身含胶滚边工艺仿真模型，研究了折边胶对滚边工艺成形质量的影响。滚轮轨迹求解的研究中，文献［8-10］研究了车身门盖件曲面/曲边的含胶滚边工艺，通过微分几何计算出理论滚轮位姿与轨迹，并对滚边过程进行了数值仿真。轨迹规划与控制研究中，文献［11-13］研究了机器人轨迹精度对喷涂、除锈等领域的加工误差的影响，并提出了提高轨迹精度的控制方法。综上所述，目前对车身含胶滚边工艺的研究主要集中在成形质量影响因素的分析及滚边精确轨迹的求解，缺乏对缩减车身尺寸偏差的研究。同时，滚轮位姿体现了滚轮与胎模间的相对位置关系，决定着车身尺寸偏差的大小。因此，需要建立面向尺寸偏差的滚轮位姿补偿模型与方法。

为此，本文基于FEM-SPH方法对含胶滚边工艺进行数值仿真，定量分析滚边工艺参数TCP-RTP（tool center point-robot target point）值对车身尺寸偏差的影响，建立尺寸偏差与TCP-RTP值的量化模型；以尺寸偏差与TCP-RTP值的量化模型、胎模曲面/曲线方程、滚轮倾角为输入量，基于Frenet标架与齐次坐标变换理论，建立表征车身尺寸偏差与滚轮位姿对应关系的滚轮位姿偏差矩阵模型，并根据尺寸偏差确定滚轮位姿补偿量；搭建机器人滚边实验平台来验证尺寸偏差与TCP-RTP值的量化模型的准确性，以及滚轮位姿补偿方法对缩减车身尺寸偏差的有效性。

1 面向车身尺寸偏差的滚轮位姿补偿 方法

1.1 车身尺寸偏差与TCP-RTP值的定义

理想状况下，车身边缘与胎模边线在胎模曲面的法向重合。车身边缘偏离胎模曲面法线时，车身将产生尺寸偏差。车身边缘向外偏离胎模曲面法线造成的尺寸偏差为上偏差， 并规定偏差值为正；车身边缘向内偏离胎模曲面法线造成的尺寸偏差为下偏差，并规定偏差值为负，如图1所示。

滚轮母线距胎模边线的垂直距离 l 称为TCP-RTP值，其中，机器人的工具中心点（tool center point，TCP）位于滚轮母线上，机器人目标点（robot target point，RTP）位于胎模边线上，将滚轮轴线与胎模曲面法线的夹角θ定义为滚轮倾角，如图2所示。RTP、TCP-RTP值与滚轮倾角共同决定了滚轮与胎模间的相对位置关系。

1.2 滚轮位姿补偿方法

滚轮是机器人含胶滚边工艺中的重要执行工具，在滚轮位姿中引入车身尺寸偏差是确定滚轮位姿补偿量的前提。首先，将车身尺寸偏差区间与胎模边线进行等距离散，得到车身尺寸偏差矩阵 δ 。图3中，i为尺寸偏差离散编号，j为 RTP 离散编号，δ′为相邻离散尺寸偏差的间距。其次，求解车身尺寸偏差矩阵中所有元素所对应的滚轮位姿，得到滚轮位姿偏差矩阵 G 。

车身尺寸偏差与滚轮位姿偏差矩阵的对应关系如图4所示。

此时，滚轮位姿偏差矩阵 G 的行向量表示某一离散尺寸偏差下的滚轮轨迹，列向量表示某一离散机器人目标点处各离散尺寸偏差所对应的滚轮位姿。

基于滚轮位姿偏差矩阵给出滚轮位姿的补偿方法：①由于滚轮位姿偏差矩阵与尺寸偏差矩阵中的元素相互对应，因此可通过尺寸偏差确定当前滚轮的位姿；②再将滚轮位姿的补偿量转换为滚轮位姿偏差矩阵行编号的调整量，从而得到补偿后的滚轮位姿。

如图5所示，当滚轮运行到点j处时，对点 j-1 处的尺寸偏差δ  i，j-1 进行测量。由于尺寸偏差矩阵与滚轮位姿偏差矩阵的元素相互对应，故可得到j-1处的滚轮位姿G  i，j-1 。

尺寸偏差区间是等距离散的，根据点j-1处的尺寸偏差δ  i，j-1 与相邻离散尺寸偏差的间距δ′可以获得滚轮位姿偏差矩阵行编号的调整量 Δ i：

Δ i=－ δ  i，j－1  δ′   （1）

最终，在点j+1处输入补偿后的滚轮位姿G  i+ Δ i，j+1 。

2 滚轮位姿偏差矩阵的推导

滚轮位姿偏差矩阵是滚轮位姿补偿的依据，本节将对滚轮位姿偏差矩阵进行数学建模。

2.1 基于Frenet标架的机器人目标点位姿

给定胎模曲面方程 S = S （u，v），胎模边缘曲线方程 C = C （u（t），v（t））= C （t）。O点是胎模边线上任意 RTP ，如图6所示。机器人目标点的位姿 B （t）由机器人目标点的姿态与位置共同组成。基于 Frenet 标架理论可得机器人目标点的姿态：

α （t）=  C ′（t） | C ′（t）|

γ （t）=  n （t） | n （t）|

β （t）= γ （t）× α （t）

n （t）=［ S  u（u，v）× S  v（u，v）］|  u=u（t），v=v（t）    （2）

式中， C ′（t）為曲线 C 的切向量； n （t）为曲面 S 的法向量； α （t）为曲线 C 的单位切向量； γ （t）为曲面 S 的单位法向量； S   u （u，v）、 S   v （u，v）分别为曲面 S 在（u（t），v（t））点对参数u、v的偏导数。

任意 RTP 的姿态 R （t）可表示为

R （t）=（α（t），β（t），γ（t））  （3）

RTP 的位置为

P （t）=（c x（t），c y（t），c z（t））  T   （4）

式中，c x（t）、c y（t）、c z（t）分别为曲线 C 在X、Y、Z方向的参数方程。

机器人目标点的位姿 B （t）可表示为

B （t）=   R （t）  P （t） 0  1    （5）

2.2 滚轮位姿偏差矩阵模型

滚轮位姿 G 由胎模曲面法线与滚轮轴线的交点O 1的位置与姿态组成，由机器人目标点位姿 B （t）通过齐次坐标变换得到，如图7所示。

如图8所示，机器人目标点首先由O点平移至O 1点，平移矢量为

D （θ，l）=（0，0， l+r  cos  θ ）  T   （6）

式中，r为滚轮半径。

接着，机器人目标点以O 1点为原点，绕平移后O 1点的单位向量 α ′（t）逆时针旋转90 ° -θ，旋转矩阵 R  α（θ）可表示為

R  α（θ）=  1 0 0 0  sin  θ  cos  θ 0 - cos  θ  sin θ    （7）

含胶滚边过程中， TCP-RTP 值影响车身尺寸偏差，同时，车身尺寸偏差也会反映 TCP-RTP 值的大小。车身尺寸偏差δ与 TCP-RTP 值l的量化模型为

l=f（δ）  （8）

由式（6）～式（8）可得机器人目标点位姿 B （t）与滚轮位姿 G 间的齐次坐标变换矩阵：

T （θ，δ）=   R  α（θ）  D （θ，δ） 0  1    （9）

由式（5）、式（9）可得滚轮位姿：

G = T （θ， δ） B （t）  （10）

车身尺寸偏差区间与胎模边线等距离散（前者离散成一个个尺寸偏差，后者离散成一个个机器人目标点，如图4所示）后，可得滚轮位姿矩阵：

G  ij =T（θ， δ  ij ）B（t j）=T  ij B j  （11）

3 滚轮位姿偏差矩阵求解

3.1 车身尺寸偏差与TCP-RTP值的量化模型

车身含胶滚边过程中，胎模曲面、曲线方程与滚轮倾角都已确定，此时，得到车身尺寸偏差与TCP-RTP值的量化模型，便可求解滚轮位姿偏差矩阵。改变TCP-RTP值，进行多组车身含胶滚边有限元仿真并对尺寸偏差进行统计，最终获得车身尺寸偏差与TCP-RTP值的量化模型。

铝合金车门是典型的车身部件，因此选择铝合金车门窗框段作为仿真对象。滚轮倾角为90°，胎模的曲面、曲线方程为

S （u，v）=（u，v，0）

C （t）=（t，－5.666 57×10  －6 t 3－

2.523 32×10  －4 t 2+3.95×10  －3 t，0）   （12）

u∈［0，150］ mm   v∈［-100，100］ mm

t∈［0，150］ mm

光滑粒子流体动力学（smoothed particle hydrodynamics，SPH） 法是一种无网格的有限元仿真方法。相比于传统的Lagrange法，SPH法更适合求解折边胶在板材挤压作用下的非线性与大变形问题。因此，采用FEM-SPH法对铝合金车门窗框段含胶滚边工艺进行有限元仿真  ［7］ 。车门窗框段外板采用型号AA6061-T4的铝合金，采用FEM划分网格；采用SPH法将折边胶（陶氏BETAMATETM）设置为光滑流体动力学粒子；滚轮、胎模与内板使用刚度较大的不锈钢， 三者的变形可忽略，因此设置为刚体。车身含胶滚边仿真步骤如图9所示。模型的主要参数如表1所示。

为折边胶保留必要的流道，将TCP-RTP值的起始值设为2.9 mm，每隔0.1 mm进行一组仿真。统计离散机器人目标点处的尺寸偏差，如图10所示，可以看出，随着TCP-RTP值的增大，车门窗框段的尺寸偏差逐渐从上偏差过渡到下偏差。同时，将 l 为3.4 mm时的最小下尺寸偏差 与 l 为2.9 mm时的最大上尺寸偏差作为车门窗框段的尺寸偏差区间的左右端点。

相同TCP-RTP下，有/无折边胶的仿真结果如图11所示，可以看出，有折边胶车身的最大应力与尺寸偏差都明显较大，说明折边胶的压黏效应对车身尺寸偏差的影响不可忽略。

为建立TCP-RTP值与尺寸偏差间的量化模型，在仿真模型上均匀取5个采样点，统计各采样点处不同TCP-RTP值对应的尺寸偏差。将各采样点处的尺寸偏差 δ 与TCP-RTP值进行直线拟合，直线拟合的决定系数 R  2均在0.99附近，如图12所示。因此，车门窗框段的尺寸偏差与TCP-RTP的量化模型可表示为

l  ij =f（δ  ij ）=k jδ  ij +b j  （13）

式中，k j、b j为线性拟合参数。

3.2 滚轮位姿偏差矩阵求解软件

滚轮位姿偏差矩阵求解涉及大量复杂的矩阵与微分几何运算，因此依据滚轮位姿偏差矩阵建模流程，开发了滚轮位姿偏差矩阵计算软件工具，实现滚轮位姿偏差矩阵快速准确的求解。图13所示为滚轮位姿偏差矩阵计算软件框架。

使用MATLAB语言进行尺寸偏差与TCP-RTP值仿真数据的线性拟合、胎模曲面/曲线的Frenet标架计算、齐次坐标变换矩阵的构建，最终实现滚轮位姿偏差矩阵的解算。使用AppDesigner创建软件界面，将输入量与输出量分块布置，便于人机交互。图14所示为滚轮位姿偏差矩阵计算软件工具界面。

当前研究侧重于分析滚轮位姿补偿对缩减车身尺寸偏差的有效性，仅以车身局部轮廓为样本进行含胶滚边的有限元仿真，仿真结果的数据规模较小。因此，使用软件工具前需要采用手工方式将尺寸偏差与TCP-RTP值的有限元仿真数据保存为EXCEL文件。使用软件工具时，有限元仿真数据的EXCEL文件、滚轮倾角、离散数目与胎模曲面/曲线方程为输入量。运行软件工具后，软件工具输出相应的滚轮位姿偏差矩阵。实际工业应用中，可在现有滚轮位姿偏差矩阵求解算法的基础上实现更多软件功能的扩充。

4 含胶滚边滚轮位姿补偿实验

为验证上述滚轮位姿补偿方法的有效性，对车身窗框段进行滚轮位姿补偿实验，如图15所示，滚边机器人为库卡KR600。尺寸偏差由固定在滾轮直杆上的高清摄像机检测，精度为0.02 mm。补偿后的滚轮位姿通过示教盘输入滚边机器人。

将采用滚轮位姿补偿方法的实验样件称为补偿件，将不采用滚轮位姿补偿方法的实验样件称为对照件。为直观比较补偿件与对照件的尺寸偏差，将胎模边缘涂红，如图16所示。

使用游标卡尺（精度为0.01 mm）对尺寸偏差进行测量，测量结果如图17所示。

设置对照件的TCP-RTP值为3.4 mm，对照件的尺寸偏差与相同TCP-RTP值下有限元仿真得到的尺寸偏差吻合，证明了仿真结果的准确性。

补偿件的尺寸偏差决定了滚轮位姿的补偿量。离散机器人目标点编号为1～6时，补偿件的初始尺寸偏差绝对值较大，滚轮位姿具有较大的补偿量，因此这一阶段补偿件的尺寸偏差绝对值迅速缩减。离散机器人目标点编号为6～13时，补偿件的尺寸偏差绝对值缩减到了0.2 mm以内，滚轮位姿的补偿量减小，这一阶段补偿件的尺寸偏差绝对值振荡减小。离散机器人目标点编号为13～21时，补偿件的尺寸偏差绝对值进一步减小，滚轮位姿的补偿量也进一步减小，补偿件的尺寸偏差绝对值最终稳定在了0.1 mm以内。

对照件尺寸偏差绝对值的平均值为0.32 mm， 补充件尺寸偏差绝对值的平均值为0.14 mm，说明本文提出的滚轮位姿补偿方法有效。

5 结论

（1）滚轮位姿偏差矩阵是滚轮位姿补偿的依据与前提。

（2）滚轮位姿偏差矩阵由胎模曲面/曲线方程、滚轮倾角、尺寸偏差与TCP-RTP值的量化模型决定。

（3）车门窗框段尺寸偏差与TCP-RTP值的量化模型可用直线拟合，且随着TCP-RTP值的增大，车门窗框段尺寸偏差逐步由上偏差过渡到下偏差。

（4）实验表明，车门窗框段尺寸偏差的实验值与FEM-SPH仿真值吻合；滚轮位姿补偿后，车门窗框段尺寸偏差平均数值由0.32 mm降至0.14 mm。

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（ 编辑 張 洋 ）

作者简介 ：

李默之 ，男，1999年生，硕士研究生。研究方向为车身薄板含胶成型制造。发表论文1篇。E-mail：limozhi@tongji.edu.cn。

朱文峰 （通信作者），男，1976年生，教授、博士研究生导师。研究方向为数字化设计与制造、智能制造。发表论文38篇。E-mail：zhuwenfeng@tongji.edu.cn。