直和的证明方法及拓展

◇宝鸡文理学院数学与信息科学学院 段景瑶 高 茜

直和是两个子空间的一种特殊关系。直和与线性空间中的诸多概念都有紧密联系。本文以北京大学研究生入学考试中的一道高等代数问题入手，给出了维数法，同构法，和元素分解法，并对不同解法和教学方法进行了分析和拓展。

高等代数是数学专业学生考研的必考科目。有关线性空间的证明是高等代数中的一个重点，也是难点，还是研究生入学考试中的常考题目。本文以北京大学研究生入学考试，高等代数科目中的一道证明题为例，给出直和的多种不同的解法。这些解法反映出直和与线性空间中同构等抽象概念的关联，能帮助读者更为深刻地理解直和的概念。

1 基础知识

2 直和证明的三种不同方法

例1是文献4中，1999年北京大学研究生入学考试中，高等代数科目的一道证明题。原题有3问，本文列出了前两问，并针对第（2）问直和的问题给出了三种不同解法。

3 分析与拓展

直和与很多概念都有联系，例如在证明线性变换的核与值域的直和等式时，可以将维数法简化。

线性空间的直和分解是线性空间理论的重要一环。线性子空间的直和是和空间的一种特例，要求和空间中的元素在子空间中的分解式是惟一的。在教学中要注意以下几点。首先，直和的概念比较抽象，利用几何空间的不同分解式，借助数形结合的教学方法比较直观地引出直和的定义，有利于学生对基本概念的理解和掌握。其次，线性空间的直和分解蕴涵了高等代数中化整为零的思想。如果一个线性空间可以分解为两个子空间的直和，这两个子空间的和空间即为整个全空间，并且交为零子空间，即除零元外，没有重复的元素。两个子空间的性质可以反应出全空间的性质，例如，则的基与的基可以拼出全空间的基等等。再次，要注意两个子空间的直和与多个子空间直和的等价判定条件的区别。两个子空间的和是直和当且仅当两个子空间的交是零子空间，但是三个及以上子空间的直和却不能以此为等价判定。最后，直和分解的课程思政教学。全空间可以类比为我们的国家和集体，全空间分解为若干个子空间的直和，我们每个人类比为子空间。每个人在社会中都有自己的角色和使命，互不相同，不可替代。国家为我们每个人做着各项保障，反过来，每一个人的努力才可以推动整个国家和社会的进步。

4 结论

直和是高等代数教学中的难点，本文首先给出了一道考研题的三种不同的解法，这三种方法各有利弊。例1中，方法一采用了凑基的方法确定维数，凑基的方法很直接，然而凑基时要先确定维数，并掌握相关技巧；方法二采用同构的方法确定维数。高等代数中很多题目都可以用同构思想解决[5-6]。同构映射通常考虑用把元素映成坐标的映射，适用于有关坐标的题目，如例1的方法二和例3，例4。方法三采用的是相互包含证明相等，主要用到待定系数法分解元素，见例1的方法三和例2，可根据题目提供的条件选取合适的方法证明。