考虑执行器非线性的固定时间全局预设性能车辆队列控制

2024-03-04 02:04高振宇孙振超

自动化学报 2024年2期

高振宇孙振超郭戈 ,2

车辆队列协同控制作为智能交通系统的核心技术之一,可以实现车辆间的自主化、信息化、安全化等多项功能,在降低车辆阻力、缩短车辆间距离、提高行车速度、改善道路可靠性等方面展现出巨大潜力[1-3].车辆队列控制旨在通过采用不同的通信模式获取车辆运动信息,并基于该信息为车辆设计合适的控制器,确保车辆以给定的间距策略按统一队列行驶.众所周知,控制器设计的是否合理直接决定了队列系统性能.为此,众多先进的控制技术,如模型预测控制[4]、反步控制[5]、滑模控制[6]、最优控制[7]等,被广泛采用并成功应用到车辆队列控制系统.基于上述技术,队列控制目标得以实现,且获得较好的稳态性能.

从实际角度考虑,若只保证队列系统的稳态性能,则无法保证队列成功实现.以车辆间距为例,如果间距过小,发生紧急事故时,无法避免车辆间碰撞.这便要求设计控制算法时,稳态性能及瞬态性能(如: 超调、收敛速度等)需要同时考虑.当前,针对具有瞬稳态性能的队列控制算法主要包括: 基于障碍型李雅普诺夫函数(Barrier Lyapunov function,BLF)方法[8-9]及预设性能控制(Prescribed performance control,PPC)方法[10-11].其中,PPC算法由于设计简单、计算量低等优点成为处理瞬稳态性能主要方法.文献 [12-13]分别采用PPC 方法实现了队列控制,从瞬态和稳态两个角度保证了跟踪误差满足预设性能约束,避免了车辆间碰撞及通信失联.然而,这些PPC 方法都是基于传统性能函数,只有当时间趋近无穷时,跟踪误差才会收敛到预定稳态区域.最近,学者们提出了一些新的方法,消除了上述限制.例如: 文献 [14-15]分别设计了基于有限时间性能函数和固定时间性能函数的PPC方法,保证了跟踪误差在给定时间内趋于预定稳态区域.上述成果[10-15]都可以保证系统满足性能约束,但存在两个共同限制: 1) 性能函数的构建依赖系统初始误差,而在一些特殊工作场景中,初始误差无法获得或不确定;2) 性能函数的边界处于原点的两侧且是固定的,这一定程度上增加了系统的超调量,降低了系统性能.

需要指出的是,上述大部分工作[10-14]仅仅对车辆非线性动力学进行了研究,如参数不确定、外部扰动等,采用自适应技术、神经网络技术等近似算法对车辆不确定性进行估计,忽略了执行器具有的非线性,如: 死区、饱和及执行器故障等.作为车辆的固有特性,执行器非线性是不可避免的,得不到有效处理会降低队列系统性能,甚至导致系统不稳定[16].早期,大部分成果仅仅针对单一执行器非线性进行研究.文献 [17-18]采用自适应技术解决了车辆执行器死区问题.文献 [19-20]采用平滑函数近似车辆执行器饱和,并采用自适应技术消除近似误差.文献 [21]采用辅助设计系统技术对饱和误差进行补偿,消除饱和影响.文献 [8-9]采用自适应技术与 Nussbaum 技术相结合,解决了车队系统中具有未知方向的执行器故障影响.近年来,部分成果针对含有两种执行器非线性的队列系统进行了研究.文献 [22-23]研究含执行器饱和及故障的队列控制,采用平滑函数与自适应技术结合的方式处理了执行器非线性.文献 [24]采用自适应技术解决了队列系统中的执行器故障及死区.文献 [22-24]可以有效处理两种执行器非线性,但都是基于单一执行器非线性处理技术相结合的方式,无法在同一架构下有效处理多种执行器非线性,间接增加了系统的计算复杂度.文献 [25]给出一种等效变换方法,将死区及执行器饱和建模于同一架构下,采用自适应技术消除了执行器非线性影响,但该成果忽略了控制输入的平滑性,可能引起系统抖动、发动机悸动等,影响系统性能.据我们所知,还没有相关成果可以在同一架构下同时处理执行器死区、饱和及故障三种执行器非线性,并保证控制输入平滑性.

基于上述分析,本文针对存在执行器故障、死区及饱和三种执行器非线性的车辆队列系统展开研究,提出一种固定时间全局预设性能队列控制方案.与现有工作相比,本文主要创新性如下:

1) 本文设计了两个新型固定时间预设性能函数,并基于该函数构造一种全局预设性能控制方法.与现有成果[10-16]相比,本文给定的PPC 方法消除了性能函数依赖初始误差的限制,减小了跟踪误差的超调量范围,保证了跟踪误差在给定时间内收敛到预定稳态区域.

2) 本文给定一种基于改进 Sigmoid 函数的执行器非线性近似机制,基于该机制将死区、饱和及故障建模于同一架构,并采用自适应技术消除近似误差,确保系统性能.与已有文献 [15,17-20,22-24] 的结果比较,本文给定的近似算法不仅消除了固有拐点问题,保证了控制输入的平滑性,还减少了近似算法的设计参数,降低了计算复杂度,改善了队列系统的性能.

3) 本文提出一种新型固定时间滑模队列控制方案,保证固定时间单车稳定性及固定时间队列稳定性.与已有固定时间队列控制方案[15,20]相比,本文控制方案不仅保证跟踪误差在任意初始状态下在预设时间内收敛至零点或其邻域,且收敛时间仅由控制参数确定,还消除了原有固定时间滑模方案存在的奇异值问题,增加了系统的收敛速度.

本文组织结构如下: 第 1 节给出问题描述及预备知识;第 2 节给出执行器非线性近似及预设性能转换;第 3 节是控制器设计及稳定性分析;第 4 节是数值仿真;最后进行总结.

1 问题描述及预备知识

1.1 问题描述

如图1 所示,本文考虑基于双向通信拓扑且由1辆领导车 (标记为车辆0) 和N辆跟随车组成的车辆队列系统.队列的期望轨迹由车辆 0 给出,其动力学描述为:0(t)=v0(t),0(t)=a0(t).

图1 车辆队列构型Fig.1 Configuration of vehicular platoon

具有执行器故障、死区及饱和特性的跟随车i(i ∈1,2,···,N)的运动学及动力学模型描述为如下三阶非线性系统[22]:

故障模型为:

死区及饱和非线性模型为:

表1 车辆 i 各参数的定义Table 1 The definition of each parameter of vehicle i

假设 1[22-23].ρi(t) 和ri(t) 是有界的,满足0＜ρi0≤ρi(t)≤1,|ri(t)|≤＜∞,其中,ρi0和为正常数.

由于技术限制,参数ρa、Cai及Ai无法精确获得,因此fi(vi,ai) 是未知的.受文献 [26] 启发,将未知函数fi(vi,ai) 写成如下形式:

其中,fi0(vi,ai) 为已知项,Δfi(vi,ai) 为不确定项.

基于式(5),式(1)中的第三式可改写为:

其中,Di=Δfi(vi,ai)+ωi(t) 表示作用到车辆i上的由未知扰动及模型不确定性引起的集总扰动.

假设 2[22-23].集总扰动Di是有界的,满足|Di|≤,其中,是未知正常数.

为提高队列安全性及稳定性,本文采用恒时距间距策略,则相邻车辆间距跟踪误差为:

其中,Li为第i辆车的长度,Δi为车辆间最小安全距离,hi为车辆间行驶时距.

本文目标是针对含有多种执行器非线性及预设性能约束的车辆队列系统,设计相应的队列控制律,实现如下指标:

1)固定时间单车稳定性: 相邻车辆间的跟踪误差在固定时间内收敛到零附近的小邻域内,描述如下:

其中,Ti为跟踪误差收敛时间,ϵi为较小正数;

2) 固定时间队列稳定性: 经过一个给定时间TiΠ后,跟踪误差不沿着队列向上游车辆传播,描述如下:

其中,Ei(s) 表示ei(t) 的拉普拉斯变换;

3)固定时间预设跟踪性能: 跟踪误差在固定时间内收敛到预定区域.

1.2 预备知识

引理 1[27-28].对于系统=f(x),如果存在一个连续径向有界函数V(x),且满足(x)≤-(αV(x)p+βV(x)q)k+η,下列两种情况可得:

1) 如果标量α,β,p,q,k∈R+,pk ＜1,qk＞1,且η=0,那么系统=f(x) 是固定时间稳定的,收敛时间T满足:

2) 如果标量α,β,p,q,k∈R+,pk ＜1,qk＞1 及 0＜η ＜∞,那么系统=f(x) 是实际固定时间稳定的.系统=f(x) 状态收敛于:

其中,θ满足 0＜θ ＜1.收敛时间T满足:

引理 2[29].对于c＞0,s≤c,p≥0,q＞0,k＞0,下列关系成立:

引理 3[30].设ξ1,ξ2,···,ξN≥0,那么

2 执行器非线性近似及预设性能转换

2.1 执行器非线性近似

为克服由执行器死区及饱和拐点导致的非平滑性问题 (如图2 中虚线圆圈所示),本文设计一种改进的 Sigmoid 函数,利用该函数能够以平滑的形式近似式(4)中的死区及饱和特性,即:

图2 uui(Λi) 和 Hi(Λi) 的曲线图Fig.2 Curves of uui(Λi) andHi(Λi)

其中,uimax,ki1,ai1,uimin,ki2,ai2是正常数,并且定义如下:ai1=uimax+ui+/2,ki1=4liu1/uimax,ai2=uimin+ui-/2,ki2=4liu2/uimin.

根据近似特性,可得:

根据中值定理,存在一个常数δi(δi ∈(0,1)),使得下式成立:

其中,Λiu=δiΛi+(1-δi)Λi0和Λi0都是常数.当Λi0=0时,式 (17) 可写为:

注 1.对于Λi ∈[-M1,M2],0＜M1＜∞及0＜M2＜∞,(Λiu) 是有界的,满足:

其中,γimin是未知的正常数.

注 2.与文献 [23]相比,本文采用的改进 Sigmoid 函数Hi(Λi) 可以较好近似非光滑死区及饱和输入uui(t),具有较小的近似误差,且调节参数更少,更加适合在实际工程中采用.

根据式(16)～(19),式(6)可以改写为:

2.2 预设性能转换

对于具有预设性能的队列系统,其跟踪误差应严格保持在以下规定区域内[30]:

为满足固定时间预设性能,同时消除与系统初始误差有关的限制,本文设计两个新型固定时间性能函数:

其中,ai＞0;bi＞1;λi1,λiT＞0.

注 3.根据式(23)和式(24)可以看出性能函数Ai(t)和Bi(t) 的边界会根据车辆初始误差ei(0) 的符号改变,因此,性能边界会把误差约束到一个比较狭窄的区域.此外,Ai(0)=0 和Bi(0)=±∞可以消除性能函数对初始误差的严格限制,实现全局预设性能.与文献 [8-13] 中的误差约束及性能函数相比,本文对误差的约束不需要考虑误差初始值,同时可以减小误差的超调、增大误差的收敛速度.

由于误差约束(22)的存在,直接根据跟踪误差设计控制器会变得异常困难.为解决该问题,引入下面的误差转换,将有约束的跟踪误差转换成无约束误差:

其中,K(Ei(t)) 需要满足下列条件

这里,K(Ei(t)) 选择如下:

因此,转换后的误差为:

为方便后续控制器设计,对Ei(t) 分别求一阶及二阶导数得:

其中,Ri和σi的表达式为:

经过上述变换,有约束的跟踪误差ei转变为无约束误差变量Ei,降低了控制器设计难度.这里,需要强调的是ei和Ei是等价的,即二者具有相同的收敛特性,因此,保证Ei的收敛,便可保证ei的收敛.

3 控制器设计及稳定性分析

3.1 控制器设计

针对存在执行器非线性、复合扰动以及性能约束的车辆队列系统,为在固定时间内实现控制目标,基于上述误差转换,构建一种固定时间滑模控制算法.该算法的设计分为以下两步.

步骤 1.滑模面的构建:设计如下固定时间滑模面:

ψi(Ei)定义为:

为保证队列稳定性,引入以下耦合滑模面:

其中,q是正常数,且满足 0＜q≤1.

由式(37) 可得 Πi(t) 和Si(t) 具有相同的收敛性,也就是当 Πi(t) 收敛到零时,Si(t) 同时收敛到零.

为方便后续控制器设计,对 Πi(t) 求导数得:

步骤 2.固定时间队列控制器设计:由于,,ρi0,γimin是未知的正常数,本文使用自适应技术估计这些参数的界,定义估计误差为:

其中,

对于存在执行器故障、死区及饱和的第i辆车,控制器设计如下:

自适应律设计为:

其中,Ki1,Ki2,ϑi,γi,pi1,pi2,gi,σi1,σi2,σiφ1,σiφ2是正常数,并且满足pi1gi ∈(0,1),pi2gi＞1,χi=qhiRi,Zi表达式为:

3.2 稳定性分析

定理 1.考虑由含执行器非线性车辆(1)～(6)组成的队列系统,在假设1 和2 下,结合给定的非线性近似(15)～(21)及预设性能转换(23)～(29),设计的基于固定时间滑模面(34)及自适应律(42)的队列控制器(41)可以保证间距跟踪误差在固定时间Ti内收敛至零附近的稳态区域,即固定时间单车稳定性.此外,当t≥TiΠ时,如果 0＜q≤1,那么固定时间队列稳定性可以得到保证.

证明.整个证明分为固定时间单车稳定性及固定时间队列稳定性.

固定时间单车稳定性.首先,证明 Πi的收敛性,选择如下李雅普诺夫函数:

对ViΠ(t) 求时间t的导数得:

综合式(1),式(21)及式(38)得 Πi(t) 的时间导数为:

根据式 (40) 得:

结合式(20)和式(47),得:

通过计算得:

使用自适应律 (42),可得:

根据引理2,可以得到:

将式(48)～式(55)代入式(45)得:

通过变换得:

根据引理3,进一步可得:

其中,

根据引理3,将分两种情况讨论:

情况 1.当gi＞1 时,

通过引理1 可知,ViΠ是实际固定时间稳定的.

情况 2.当0＜gi≤1 时,

根据引理1,ViΠ是实际固定时间稳定的.

综合情况1 和情况2,可得:

根据引理1,系统状态ViΠ是实际固定时间稳定的,即ViΠ在固定时间TiΠ内收敛到零附近的稳定区域 Ωi.存在 0＜θi ＜1,ViΠ和 Ωi满足:

根据式(44)和式(66),我们可得 Πi,,和φi在固定时间TiΠ内收敛于下列范围:

接下来,证明Ei的收敛性.由式(67)可以看出,选择合适的参数,可以保证 Πi收敛到零附近较小邻域内,进而可近似看成 Πi ≈0.由于 Πi与Si具有相同的收敛特性,当t≥TiΠ时,滑模面 (34) 可以写成如下形式:

为证明Ei的稳定性,定义如下李雅普诺夫函数:

对其进行求导得:

根据式(35)中 |Ei| 与ιi的关系,下面分情况讨论.

将式(72)代入式(71)得:

1) 当Ei＞ιi＞0 时,

2) 当Ei ＜-ιi ＜0 时,

基于情况1 中1)和2)的证明,根据引理1,可得ViE是全局固定时间收敛的.

根据情况1 和2,可得Ei是固定时间收敛的.由引理1,可得一个较保守的收敛时间TiE,满足:

综上所述,Ei是固定时间收敛的,且稳定时间Ti满足Ti≤TiΠ+TiE.由于Ei与跟踪误差ei具有等价性,所以跟踪误差ei也是固定时间收敛的,即固定时间单车稳定性.

固定时间队列稳定性.由 Πi稳定性证明可以看出,当t≥TiΠ时,通过选择合适的设计参数可使得Πi(t)收敛到原点附近的小邻域.根据式(37)可以得到:

根据极限的保号性定理得,转换后的间距跟踪误差Ei(t) 和滑模面Si(t) 具有相同的符号,即Ei(t)×Si(t)≥0.又因为Si(t)Si+1(t)＞0,所以Ei(t)Ei+1(t)≥0.根据式(78)和 0＜≈q≤1,得0＜≤1.

情况 1.当=0 或≠0,|Ei|≥ιi时,分以下两部分进行分析.

1) 当Ei+1(t)＜Ei(t)＜0,滑模面 (34) 改写为:

进一步可得

情况 2.当≠0,|Ei|＜ιi时,|Gi(s)|≤1 的证明与=0 或≠0,|Ei|≥ιi时的证明相似,故此处省略.

综上所述,当 0＜q≤1 时,在上述算法作用下,固定时间队列稳定性可以得到保证.

定理 2.如果跟踪误差Ei(t) 是稳定的,则预设跟踪性能 (22) 是可达的.

证明.根据固定时间单车稳定性可得,转换后的跟踪误差Ei(t) 是固定时间收敛的,即Ei(t) 是有界的.这里,用表示Ei的上界.

由式 (29) 可以推导出:

根据式 (85),可得:

因此,当Ei稳定时,预设跟踪性能 (22) 是能够得到保证的.

4 数值仿真

为验证所提控制算法的有效性,在MATLAB环境中,搭建由六辆车构成的车队仿真实验.

4.1 仿真设置

在仿真中,仿真参数设置如下[9]: 最小安全车间距 Δi=5 m,第i辆车的车长Li=4 m,恒定时距hi=0.2 s,发动机时间常数τi=0.2,第i辆车的横截面积Ai=2.2 m2,空气质量比ρa=0.2,空气阻力系数Cai=0.35,每辆车的质量mi=1 600 kg,重力加速度g=9.8 m/s2,道路坡度θi=0,道路滚动阻力系数bi=0.02,外部扰动ωi(t)=0.1 tanh(t),模型不确定性 Δfi(vi,ai)=0.5fi0(vi,ai),队列中车辆的初始位置和速度分别为xi(0)=[49.6,39.2,29.1,19.2,9.5,0]m,vi(0)=0 m/s,i=1,2,···,5.领航车加速度设置如下:

执行器故障选择为:ri(t)=0.01 sin(t),ρi(t)=0.75+0.25 sin(0.1t).

具有死区及饱和非线性的控制输入uui为:

4.2 仿真验证

在本节中,控制器参数选择如下:q=0.9,pi1=0.7,pi2=2,g1=0.8,Ki1=50,Ki2=50,ϑi=0.1,γi=0.01,σi1=15,σi2=10,σiφ1=20,σiφ2=10,ιi=0.5,αi=2.

根据式 (88),改进的 Sigmoid 函数可以计算为:

固定时间性能函数设计如下:

仿真结果如图3～8 所示.图3 为车辆的轨迹信息,可以看出,跟随车可以跟踪上领队车的轨迹并按队列行驶,同时无碰撞发生.图4 和图5 说明跟随车的速度和加速度最终都能与领队车保持一致,整个队列按照领队车的速度及加速度行驶.图6为跟随车控制输入,当队列稳定之后,控制器的输出值也保持不变.图7 为滑模面信息,滑模面可以在固定时间内达到稳定状态.从图8 可以看出,跟踪误差始终保持在预设的范围内 (即使存在初始误差未知的情况) 并最终收敛到零附近的区域,此外,由性能函数形成的狭窄边界可以有效地限制误差的超调量,同时,误差的收敛速度也有所提高.值得注意的是,队列稳定性也得到保证,即,i=1,2,3,4,i.e.,|e5(t)|＜|e4(t)|＜|e3(t)|＜|e2(t)|＜|e1(t)|.

图3 每辆车位置信息xi(t)Fig.3 The position xi(t) of each vehicle

图4 每辆车速度信息vi(t)Fig.4 The velocity vi(t) of each vehicle

图5 每辆车加速度信息ai(t)Fig.5 The acceleration ai(t) of each vehicle

图6 每辆车控制输入信息ui(t)Fig.6 The control input ui(t) of each vehicle

图7 每辆车滑模面信息Si(t)Fig.7 The sliding mode surface Si(t) of each vehicle

图8 每辆车跟踪误差信息ei(t)Fig.8 The tracking error ei(t) of each vehicle

4.3 仿真对比

在本节中,将给出如下两种对比实验来突显本文所提出方法的性能.

对比实验 1.为更好地体现本文PPC 方法的性能,与已有固定时间PPC 方法进行对比.考虑约束条件及如下固定时间性能函数[14]:

仿真结果如图9、10 所示.从图10 中可以看出,使用分布在原点两侧的约束边界对误差进行约束时,误差会存在波动较大的情况,即该性能约束机制并未以一种积极的方式对误差进行限制.进一步,通过对比图10 和图8 可以发现,在本文提出的预设性能控制方案作用下,跟踪误差超调量比在传统固定时间预设性能控制方案作用下更小,并且收敛速度有所提升.

图9 每辆车滑模面信息Si(t)Fig.9 The sliding mode surface Si(t) of each vehicle

图10 每辆车跟踪误差信息ei(t)Fig.10 The tracking error ei(t) of each vehicle

对比实验 2.为进一步说明所设计的固定时间滑模预设性能控制方法的性能,本文与传统的固定时间滑模控制方法进行对比.传统的固定时间滑模选为,参数取:qi1=0.56,qi2=1.6,αiq1=αiq2=2.

仿真结果如图11、12 所示,通过对比图12 和图8 可以看出,本文提出的固定时间滑模控制算法具有更好的队列稳定性能,同时使误差有更快的收敛速度及更高的控制精度.

图11 每辆车滑模面信息Si(t)Fig.11 The sliding mode surface Si(t) of each vehicle

图12 每辆车跟踪误差信息ei(t)Fig.12 The tracking error ei(t) of each vehicle

5 结论

本文针对具有执行器非线性的车辆队列系统进行研究,提出一种自适应固定时间全局预设性能控制算法.所提算法可以实现: 1) 同一架构下处理执行器死区、饱和及故障,保证控制输入的平滑性;2)保证跟踪误差在给定时间内收敛至预设稳态区域,同时减少了跟踪误差超调量;3) 保证闭环系统内所有状态都是固定时间稳定的,确保固定时间单车稳定性及固定时间队列稳定性.

随着车载自组织网络(Vehicular ad-hoc networks,VANETs)的发展,网络安全问题,如恶意网络攻击、虚假信息注入等将变得更加普遍.安全问题的发生,会严重影响队列系统性能.因此,我们将来的研究中会充分考虑网络安全因素,进一步探讨预设性能队列控制问题.