基于Stackelberg博弈的微电网插入式电动汽车分布式充电控制

罗 干，李觉友，余季迟，徐凯晖，陈 果

（1.中南大学 自动化学院，湖南 长沙 410083；2.重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331）

0 引言

由于插入式电动汽车具有高能效、低碳排放特点，其市场占有份额将会越来越高。Navigant 能源实践的报告表明，到2050 年全球插入式电动汽车的年交易量将达到1 亿辆。工业和信息化部的电动汽车发展战略研究报告表明，到2030 年我国电动汽车的拥有量预计达到6 000 万辆［1⁃2］。但是，大量电动汽车的充电行为很可能会导致电网电压显著波动，从而对电网产生负面影响。

微电网是一种小型发-配-用电系统，它不同于传统电网，微电网内的用户可以将所需的电力信息传输到电网，参与电能的分配。微电网对于电能的分配不仅可以保证用户侧高质量的能源服务，还可以提高系统运行的安全性和可靠性［3⁃5］。

针对电网中电动汽车充电控制的建模，已有不少学者提出了各种优化控制模型。从系统最优的角度，文献［6］在用户购电成本和发电站发电成本的基础上，考虑了充电行为对电动汽车电池退化的影响，在整个系统的成本中增加了电池退化成本，且不同于一般成本函数建模，文献［6］用效用函数表示整个系统关于用电需求的成本模型。文献［7］综合考虑了用电偏好（满意度）和购电成本进行建模。然而，文献［6⁃7］是从系统最优角度考虑整个系统的最优收益或成本，并没有从微电网侧和用户侧角度考虑其最优收益与成本。从用户最优的角度出发，文献［8］考虑用户偏好（满意度），分别用对数函数、收益函数形式表示用户侧和充电站侧的效用，建立了二者之间的Stackelberg 博弈模型。文献［9］基于充电站的价格驱动，以用户充电成本最小为目标，构建了用户间的非合作博弈模型。文献［10⁃11］以充放电成本最小为目标，构建了电动汽车用户和配电网之间的Stackelberg 博弈模型，并以电价引导电动汽车的充放电行为。虽然文献［8⁃11］将微电网侧和用户侧分开考虑，但对用户侧的成本因素考虑并不全面。

在求解博弈模型的算法方面，已有大量的创新性研究工作。由于受系统资源限制、系统安全稳定运行约束等影响，各决策变量之间存在公共（耦合）约束［11⁃12］。在这种情况下，文献［13］考虑了电动汽车用户之间的广义纳什均衡问题（generalized Nash equilibrium problem，GNEP）。文献［14］提出了几种解决GNEP的方法，如非线性迭代算法、利用Nikaido-Isoda 函数将其转化为某类优化问题的方法、罚函数法等。文献［15］详细分析了GNEP 和变分不等式（variational inequality，VI）之间的关系，并将GNEP转化为VI 问题进行求解。但文献［14⁃15］所提求解算法均属于集中式算法，这些算法在计算过程中需要收集模型的全局信息，不仅使计算变得困难，还不利于用户隐私保护。区别于集中式算法，文献［9］提出了一种基于牛顿型不动点的分布式算法来求解GNEP，并利用Nikaido-Isoda 函数对牛顿型不动点法的子问题进行转换，然后提出了一种基于加速梯度法的分布式算法以加速对该问题的求解速度。文献［16］将GNEP 转换为VI 问题，然后提出了一种基于原始-对偶的分布式算法来对其进行求解，从而得到GNEP 的解。但是文献［9］和文献［16］在设计算法时仅利用了目标函数的一阶信息，收敛速度较慢。

基于上述现状，本文首先建立了微电网侧与电动汽车用户侧之间的Stackelberg 博弈模型，以效用函数形式表示微电网侧、电动汽车用户侧的收益与成本。对于电动汽车用户侧，综合考虑用户的充电满意度、充电成本、电池退化成本。由于许多模型的目标函数是二阶可微的，本文提出了一种利用目标函数二阶信息的分布式原始-对偶充电控制算法来求解模型。不同于集中式算法，所提算法不仅能分布式执行，且相比于一阶分布式算法，还开发了目标函数的二阶信息，使得算法收敛速度更快。最后结合Krasnosel’skii-Mann（K-M）不动点块坐标迭代证明了所提充电控制算法的收敛性。

1 系统模型

本文考虑孤岛型微电网中电动汽车用户之间的交互决策，与主网无电能交换，微电网拥有的电量是固定常量。微电网中的购买-出售由双方自行协商，电能交易过程为：电动汽车用户根据微电网发布的电价制定购电决策（即电动汽车的充电电量），微电网根据电动汽车用户的购电决策更新电价。

微电网每天的可售电电量为E，参与购电的电动汽车用户数量为N，电动汽车用户（ii=1，2，…，N）的购电决策、购电决策空间分别为x（ixi≥0）、Ωi。由于微电网每天的可售电电量E是常量且固定的，电动汽车用户的充电电量xi是相互影响、相互耦合的，故对于参与购电的电动汽车用户而言，有：

1.1 电动汽车用户侧效用函数

电动汽车用户的目标是在与微电网侧博弈的过程中产生最大的效用。在满足式（1）的情况下，电动汽车用户i的效用函数ui(xi)为：

式中：Si(xi)为电动汽车用户i的购电满意度函数，与其用电需求、用电偏好、电价等有关，常用的满意度函数有二次函数、对数函数等［12］；Ci(xi)为电动汽车用户i的购电成本函数，由向微电网的购电成本(xi)和电动汽车用户i在充电过程中产生的电池退化成本(xi)两部分组成，(xi)常见的形式有二次函数等［6］；y为电价。

根据实际的用电情况，电动汽车用户在达到电能消费上限时会不断地消耗电能，因此ui(xi)是一个不减的非负函数。通常假设ui(xi)是一个凹函数，且 满 足∂ui(xi)/∂xi≥0，∂2ui(xi)/∂≤0，考 虑 到(xi)为购电成本，故∂ui(xi)/∂y≤0。

1.2 微电网侧效用函数

微电网侧效用函数u(y)是使自身在售电过程中产生最大的收入，可表示为：

由于微电网每天的可售电电量E是固定的，故当微电网侧电价y确定时，电动汽车用户i的购电决策xi也是确定的；当电价发生变化时，xi也会随之发生变化（具体证明见第2 章）。故需要控制适宜的电价y以提高微电网侧的收益。并且当E固定时，电动汽车用户数量增多，充电需求增加，会导致电价y增大。当电动汽车用户数量增多时，E增加，则供给增加，会导致电价y减小。

假设1：Ωi是一个闭、凸且非空的集合，X也是非空集合，且给定任意不动点，Xi(x-i)内部非空。

假设2：ui(xi)是一个连续二次可微的函数，∇xu(x)为电动汽车用户效用函数的梯度，令F(x)=-∇xu(x)，F(x)在Ω上v-强 单 调，即F(x)-F(y)，，并 且 符 合χ-李 普 希 茨 性 质，即，其中v、χ为常数。

2 广义Stackelberg博弈

微电网是Stackelberg 博弈的领导者，通过电价y引导电动汽车用户制定购电决策xi，同时根据购电决策xi更新电价。电动汽车用户是Stackelberg 博弈的追随者，根据电价y调整充电电量xi，更新后的购电决策xi也会引导电价更新。微电网和电动汽车用户追求自身效用最大化，二者基于电价和购电决策形成Stackelberg博弈，博弈过程见附录A图A1。

2.1 Stackelberg博弈模型

当电价确定时，结合式（2），电动汽车用户侧的目标函数为：

电动汽车用户更新自身的购电决策xi后，结合式（5），微电网侧的目标函数为：

由于微电网每天的可售电电量有限，电动汽车用户的购电决策必须满足耦合约束式（1），此时电动汽车用户之间形成GNEP，相应地，微电网和电动汽车用户之间的博弈拓展为广义Stackelberg 博弈均衡问题（generalized Stackelberg game equilibrium problem，GSEP），该博弈模型包括以下几个部分：

1）参与者，包含作为领导者的微电网和作为追随者的电动汽车用户（ii=1，2，…，N）；

2）效用函数，包含电动汽车用户侧的效用函数式（2）和微电网侧的效用函数式（5）；

3）策略集，包括电动汽车用户i的购电决策空间Ωi以及微电网的电价y；

4）约束，电动汽车各用户购电的耦合约束式（1）。

2.2 Stackelberg博弈均衡

当微电网侧电价y和电动汽车用户的购电决策xi达到最优时，有：

2.3 Stackelberg博弈均衡的存在性和唯一性

由于电动汽车用户之间存在GNEP，且当电动汽车用户达到广义纳什均衡时，本文的GSEP 也会达到广义Stackelberg 博弈均衡，故可以将GSEP 转换为GNEP。

用D表示识别（身份）算子，即D(x)=x。定义如下2个算子：①NΩ(x)={a|aT(r-x)≤0，r∈Ω}，输入为决策空间Ω和x，输出为满足aT(r-x)≤0的点a，r∈Ω为Ω内的点；②PΩ(x)=(D(x)+NΩ(x))-1［17］。

定理1：Stackelberg博弈均衡是存在且唯一的。

当假设1 和假设2 成立时，可将该GNEP 转换为VI，即：

式中：g(x∗)=，…，]T为所有用户的最优购电决策向量。故即证变分解存在且唯一。

结合假设1，当且仅当用户（ii=1，2，…，N）存在对偶变量，且结合KKT 条件，式（10）成立时，是Stackelberg博弈的均衡解。

对于式（9），当且仅当所有用户存在对偶变量λ∗，且结合KKT条件，式（11）成立时，x*是式（9）的解。

3 基于原始-对偶的分布式充电控制算法

区别于传统的集中式算法［14⁃15］、仅使用函数一阶信息的分布式算法［9，16］，本文提出了一种利用函数二阶信息的基于原始-对偶的分布式充电控制算法，不仅能分布式执行，相比于基于一阶信息的分布式算法，还开发了目标函数的二阶信息，收敛速度更快。

3.1 电动汽车用户侧购电决策的更新机制

令fi(xi)=-ui(xi)，则fi(xi)是连续可微的凸函数，将fi(xi)在xi，k处展开［18］，有：

式中：xi，k为第k次迭代时用户i的购电决策；为第k次迭代时用户i效用函数的二阶信息。

式中：σ、τ、η为步长；λi，k为xi，k的对偶变量；i，k和，k为辅助变量；PXi为投影算子。

3.2 微电网侧电价更新机制

当各电动汽车用户的购电决策最优时，微电网侧电价也达到最优，由KKT条件式（11）可知：

考虑到有N个电动汽车用户参与购电，微电网通过收集所有电动汽车用户反馈的购电决策信息进行电价更新，因此，在第k次迭代时，取所有电动汽车用户关于电价更新信息的平均值来更新电价yk，如式（17）所示。

微电网是Stackelberg 博弈的领导者，当微电网发布电价时，电动汽车用户作为追随者，会根据电动汽车用户侧购电决策的更新算法式（13）给出购电决策，并将其反馈至微电网，微电网会根据微电网侧电价的更新机制式（17）给出电价并重新发布。算法的具体步骤见附录B。

3.3 收敛性分析

由于微电网与电动汽车用户之间构成Stackel⁃berg 博弈，且微电网侧电价更新是根据电动汽车用户侧的购电决策信息进行的，当电动汽车用户侧购电决策达到广义纳什均衡时，微电网侧电价随之达到最优，不再变化，此时整个算法达到最优并收敛。

本文通过将电动汽车用户侧算法写成块坐标的形式，并证明其是K-M不动点迭代算法，该算法会出现以下结果：①算法的不动点是博弈的均衡解；②存在分布式计算；③算法所涉及算子是平均算子。

对 于 一 个 单 值 算 子T：Ω∈RN→RN，如 果 有T(x)≡x，则点x∈Ω是T的不动点。算子T的不动点 集 用Γfix(T) 表 示。如 果（x，y∈Ω），则算子T是非扩张的。对于α∈(0，1)，如果存在一个非扩张算子R，使得T=(1-α)D+αR，那么算子T被称为α-平均算子。此外，RNΩ(x)=PΩ(x)。用A(α)表示α-平均算子的类别，对于β∈（为1 维非负欧几里得空间），如果βT∈A(1/2)，则T被称为β- cocoerciv［e17］。

则可将式（13）写成如下紧凑形式：

即：

式中：Φ为一个算子；I为单位矩阵。

定义以下2个算子：

结合K-M 迭代，即对于序列{xn}⊂C（C为X的闭凸子集），对于任意初值x1∈C，有：

式中：T：C→C为一镜像；αn为一常数。再根据T=(D-Φ-1P)-1(D-Φ-1Q)、PΩ(x)=(D(x)+NΩ(x))-1，则电动汽车用户侧购电决策更新机制的K-M不动点块坐标形式为：

假设3：步长σ、τ使得算子Φ是正定的。

通过K-M 块坐标形式求解算子T，由于假设3，任意算子T的不动点都是P+Q的零点，因为S=TS⇔ΦS-QS∈ΦS-PS⇔0∈(P+Q)S，即 不 动 点Γfix(T)=Zer(P+Q)，Zer(⋅)为零运算。

定理2：假设1 和假设2 成立，对算子P+Q在(λ*，x*)T的任意零点，有x*是一个广义纳什均衡解，λ*和x*满足KKT条件式（11）。

引理1：假设1和假设2成立，那么算子P是最大单调算子，Q是v/χ2-cocoercive 。

引理2：假设1 和假设2 成立，设置步长σ、τ使Φ-I半正定，根据，可得如下结论。

1）算子Φ（为P的共轭矩阵）是一个最大单调算子，有：

2）算子Φ-1（为Q的共轭矩阵）是v/χ2-cocoercive，有：

3）算子T是一个平均算子，即：

当满足0＜η＜(4v-χ2)/(2v)时，K-M 不动点块坐标迭代收敛［17⁃19］。此时，电动汽车用户侧各用户的购电决策xi收敛至最优解，故本文所提基于原始-对偶的分布式充电控制算法收敛。

4 算例仿真

本文以某微电网充电站为算例验证所提模型和算法的有效性。电动汽车用户的效用函数为ui(xi)=eixi-si/2-yxi-(ai+bixi+ci)，其中：ei为电动汽车用户i的预估用电量；si为电动汽车用户i单位充电电量所获得的满意度，与电动汽车用户的用电需求、微电网电价和自身喜好有关；ai、bi、ci为电动汽车用户i电池退化成本的参数［5］。微电网侧的效用函数见式（5），微电网侧与电动汽车用户侧之间的耦合约束见式（1）。由于不同电动汽车用户的用电习惯不同，各参数不完全相同，参考文献［6⁃12］设置各参数取值，见附录C表C1。

电动汽车用户购电决策、微电网电价的求解结果分别见图1和图2。由图可看出，本文所提基于原始-对偶的分布式充电控制算法能有效收敛，且收敛速度较快。微电网与各电动汽车用户间的Stackelberg 博弈也达到均衡。其中，电动汽车用户的最优购电决策x∗=［34.476 3，55.348 5，45.657 8，51.341 8，63.175 5］kW·h，微电网的最优电价y∗=0.473 5元／（kW·h）。

图1 电动汽车用户的购电决策Fig.1 Purchasing electricity decisions of electric vehicle users

图2 微电网电价Fig.2 Electricity price of microgrid

微电网每天的可售电电量E变化对微电网电价的影响如图3 所示。设置用户数量N=5，初始电价为0.3 元／（kW·h）。由图3 可以看出：当初始可售电电量E不同时，电价y均有效收敛；当E增大时，电动汽车用户侧各用户之间的竞争变小，购电决策xi增大，y∗减小，说明微电网可通过降低电价来吸引更多的用户参与电能交易。

图3 E对微电网电价的影响Fig.3 Influence of E on electricity price of microgrid

用户数量N对微电网电价、效用函数值的影响分别见图4 和图5。设置微电网每天的可售电电量E=250 kW·h，初始电价为0.3 元／（kW·h）。由图可知：当N取不同的值时，电价均有效收敛；当参与博弈的电动汽车用户增加时，竞争变得激烈，各用户的购电决策减少，此时为了保证收益，微电网电价y∗提高，则微电网侧效用函数值增大，用户侧总体效用函数值也增大，但由于用户数量增大，各用户的综合满意度会降低，因此各用户的平均效用函数值减少。

图4 N对微电网电价的影响Fig.4 Influence of N on electricity price of microgrid

图5 N对用户侧和微电网侧效用函数值的影响Fig.5 Influence of N on user-side and microgrid-side utility function values

为了验证本文所提算法的有效性和优越性，将其与文献［16］中的算法进行对比。文献［16］中的算法也是基于原始-对偶的分布式算法，但仅利用了目标函数的一阶信息，与本文算法利用了目标函数的二阶信息有所不同。设置微电网每天的可售电电量E=220 kW·h，初始电价为0.3 元／（kW·h），采用文献［16］算法和本文算法进行计算求解，结果如图6所示。由图可以看出：本文算法在第5次迭代时就达到广义Stackelberg 博弈均衡，计算时间为0.062 5 s；而文献［16］算法需迭代20 次左右才能达到广义Stackelberg博弈均衡，计算时间为0.125 s。

图6 不同算法的求解结果Fig.6 Solving results of different algorithms

5 结论

本文聚焦于微电网和电动汽车用户之间的动态购电博弈过程，提出了一种基于Stackelberg 博弈的微电网插入式电动汽车分布式充电控制方法。首先，以效用函数形式表示微电网侧和电动汽车用户侧的收益与成本，建立了微电网侧与电动汽车用户侧的Stackelberg 博弈模型，其中电动汽车用户侧的效用函数考虑了用户的充电满意度、充电成本和电池退化成本；然后，提出了一种利用函数二阶信息的基于原始-对偶的分布式充电控制算法来快速求解博弈模型，所提算法不仅能分布式执行，相比于基于一阶信息的分布式算法，还开发了目标函数的二阶信息，收敛速度更快，另外结合K-M不动点块坐标迭代证明了算法的收敛性；最后，通过算例仿真验证了所建模型与所提算法的有效性和快速性，分析了微电网可售电电量、用户数量等对博弈均衡的影响，结果表明所提方法有利于实现微电网内电动汽车的充电控制管理，提升社会效益。

附录见本刊网络版（http：//www.epae.cn）。