储氚组件中氚依次渗透到相邻腔体的规律研究

尹益辉，梁 浩，范志庚

（中国工程物理研究院总体工程研究所，四川绵阳 621999）

0 引言

长期储氚容腔中的氚扩散到容器壁中，氚和衰变产物氦-3 会引起容器壁材料氢脆和氦脆，改变材料性能，影响容器结构的强度可靠性［1］.同时，经过容器壁扩散、渗透到容器外部的氚会污染环境，过量进入人体内会通过内照射而危害人员健康［2］.2011 年和2016 年，尹益辉等［3-5］考虑氚衰变、容器外表面的第一类和第三类传质边界条件，建立了如图1a）所示储氚球形容器中氚扩散渗透的解析理论模型，给出了容器壁中氚和衰变产物氦-3 的封闭形式瞬态浓度公式，并通过理论计算认识了容器壁中氚浓度的时空分布规律，发现了储存足够长时间后容器壁内表面的氦-3 浓度是初始时刻氚浓度二倍的定律，也认识了渗透到容器外部的氚量随时间的变化规律.

图1 储氚球形容腔和三腔体两隔片气路组件Fig.1 Spherical container and three-cavity twoseparated shell gas path assembly for tritium storage

在如图1b）所示的长期储存氚的三腔体两隔片气路组件中，共有三个腔体，从左到右依次称为左侧腔体、中间腔体和右侧腔体，共有两片隔片，从左到右分别称为左侧隔片和右侧隔片.左侧腔体为初始储氚腔体，中间腔体和右侧腔体在初始时刻没有氚.随着储存时间延长，左侧腔体中的氚渗透过左侧隔片进入中间腔体后，在中间腔体内形成瞬态氚压，进而进一步渗透过右侧隔片而进入右侧腔体.在右侧腔体中的氚会腐蚀腔体材料，对装备结构产生不利影响.因此，需要分析、认识右侧腔体中的瞬态氚量及相应氚压力随结构参数等的变化规律，以便提高装备结构的研制水平和控制氚对腔体材料的腐蚀程度.

本文针对图1b）所示三腔体两隔片气路组件，建立与实际状态高度符合的氚扩散渗透的物理-数学模型，通过分别将左侧腔体中的瞬态氚压力P1和中间腔体中的瞬态氚压力P2高精度地拟合成便于求解的一侧腔体中瞬态氚量的指数函数形式，导出了三腔体两隔片气路组件中中间腔体和右侧腔体中瞬态氚量的封闭形式解析解，通过理论计算，给出了组件长期储氚期间中间腔体和右侧腔体中的瞬态氚压力随储存时间、温度和隔片厚度的变化规律，认识了中间腔体和右侧腔体中氚量的最大单峰特性及峰值出现时间与隔片厚度无关特性等.研究结果为相关储氚装备的工程研制和使用提供了理论依据.

1 氚渗透过左侧隔片的物理-数学模型

1.1 物理模型

在如图1b）所示三腔体两隔片气路组件通道中，氚在所有与之相邻的部件中都会扩散和渗透，但相比而言，两片隔片的厚度比其半径和其他部件的最小尺寸都小两个数量级.文献［5］的研究表明，氚的渗透量随结构壁厚增大而快速地非线性减小，因此当仅关心氚沿着气路依次从左侧腔体扩散渗透到中间腔体再扩散渗透到右侧腔体的瞬态量时，可仅考虑氚经过两片隔片的扩散渗透.

对于图1b）中的左侧隔片和右侧隔片，除各自球冠凹面的瞬态氚压力不同即该表面的传质边界条件不同外，其他情况都相同，因此只需针对其中的任一隔片建立物理模型并进行求解即可.

设图1b）中单个隔片的厚度为h，球冠内半径为Ri.由于h<

1.2 数学模型

考虑氚的衰变，根据Fick定律，氚在球冠壁中的瞬态扩散方程为

式中c1是左侧隔片中固溶氚体积浓度（原子数/m3）；r是球坐标变量；t是时间变量；DT是扩散系数，DT=D0Texp(-QD/RT)；D0T是扩散常数；QD是扩散激活能；R是普适气体常数，其值为8.31451J·mol-1·K-1；T是绝对温度，K；λ是氚的衰变常数，λ=ln2/τ1/2；τ1/2是氚的半衰期，其值约为4 501 d.

设球冠壁中氚的初始浓度为0，即初始条件为

根据Sieverts 定律，左侧隔片球冠凹表面处氚的浓度与左侧腔体中氚分压的平方根成正比.因此，球冠凹表面边界条件为

式中ST是氚在球冠壁材料中的溶解度，ST=S0Texp(-QS/RT)；S0T是氚在球冠壁材料中的溶解度常数；QS是溶解热；P1是左侧腔体中气相氚引起的压强，称为氚分压，设其初始值为P10.

将球冠凸表面的传质考虑为一般对流情况，则其传质边界条件为

式中Ro是球冠外半径，Ro=Ri+h；η是球冠凸表面对流传质系数，m/s；cf2是中间腔体中氚的体积浓度，其初始值为0，在所关心的最长储存期内都远小于左侧腔体中氚的体积浓度.

将式（1）～式（4）联立，即得到氚从左侧隔片凹表面扩散渗透到中间腔体的过程中球冠壁中氚的体积浓度控制方程.再引入无量纲变量，对控制方程进行无量纲化，就得到球冠壁中氚瞬态浓度控制方程的无量纲形式为

式（5）即是氚在左侧隔片壁中扩散渗透的数学模型.

如文献［6］所述，氚的渗透为扩散速率限制过程.因此，边界条件式（4）中参数η或控制方程式（5）中参数对渗透的影响是且仅是通过对扩散（即氚浓度）的影响而实现的，而与表面吸附/解离、表面解吸/复合等过程几乎无关.这样，在由式（5）求得球冠壁中氚的瞬态浓度进而求得c1后，便可由Fick第一定律，得到经过左侧隔片凸表面的氚渗透通量J1为

式（6）将用于求解氚从左侧隔片凹面一侧向凸面之外的渗透量.

2 左侧隔片中氚的瞬态浓度和通过其凸表面的渗透量

2.1 左侧隔片中氚的瞬态浓度

本节对式（5）进行数学求解.求解的关键是将式（5）中的两个边界条件表达式转化为便于采用分离变量法求解的齐次形式，也就是找到一个中间变量，将式（5）转化为由表达的形式，且其两个边界条件都是齐次的.为此，经过分析、试凑和代入检验，找到满足条件的和之间的等价变换关系为

根据文献［3-4］，可将P1按便于求解的拟合形式近似写成

式中β11和β12都是常数，β11=0.894 790，β12=0.111 518，它们的具体确定方法可见文献［4］.

将式（8）代入式（7）后，再将式（7）代入式（5），就得到关于变量且边界条件为齐次的控制方程.再根据在所关心的储存期内cf2都远小于P1的实际情况，忽略cf2的影响，采用分离变量法求解该控制方程，得到变量的显式表达式.然后将代回式（7），最后得到左侧隔片中瞬态氚浓度的无量纲表达式为

而ξn(n=1，2，···，∞)是由特征方程

确定的特征根.且在式（10）中F1n～F4n分别是将式（11）代入下式进行积分后得到的常数：

2.2 渗透过左侧隔片凸表面的氚量

式中Q2p是任意时刻经过左侧隔片的氚渗透量，Hs是球冠外表面弦高.

渗透到中间腔体的氚Q2p在不断累积的同时，也衰变成为氦-3.与Q2p相应，渗透到中间腔体中的氚衰变后瞬时剩余量Q2满足关系式

3 右侧隔片中氚的瞬态浓度和通过其凸表面的渗透量

3.1 中间腔体中的氚压力

式（16）给出了中间腔体中氚原子物质的量随时间的变化关系.将原子物质的量转化为分子物质的量，有n2=Q2/2.简单按理想气体考虑，将该式代入状态方程P2=n2RT/V2，得到中间腔体中氚的瞬态压力P2为

式中V2是中间腔体的体积.

与式（8）类似，在通常关心的时间范围内，式（19）确定的P2(t)可高精度地拟合成如下纯数学表达式

式中β21和β22都是常数.

3.2 右侧隔片中氚的浓度

设图1b）中右侧隔片壁中氚的体积浓度为c2，右端容腔中氚的体积浓度为cf3，cf3的初始值为0.令，并对其他变量和参数符号进行与2.2节中相同的无量纲化，得到右侧隔片中氚瞬态浓度控制方程的无量纲形式为

与2.1 节中已知P1(t)=(β11e-λt/2+β12e-2λt)2求解类似，在已求得P2={β21[eλt/4-β22e-4λt-(1 -β22)e-8λt]}2的情况下，对式（21）经过复杂的数学求解，最终得到右侧隔片中氚瞬态浓度的无量纲表达式为

3.3 渗透过右侧隔片凸表面的氚量

与2.2节中求解Q2类似，通过复杂的数学推导，得到渗透到右侧腔体中的氚衰变后瞬时剩余量Q3为

3.4 右侧腔体中的氚压力

式（24）给出了右侧腔体中氚原子物质的量随时间的变化关系.将原子物质的量转化为分子物质的量，有n3(t)=Q3(t)/2.同样简单按理想气体考虑，将该式代入状态方程P3(t)=n3(t)RT/V3，得到右侧腔体中氚的平均瞬态压力P3为

式中V3是右侧腔体的体积.

4 解析计算结果与分析

文献［5］基于与第2 部分类似的理论方法和公式计算了一个球形高压储氚容器的氚渗透量，所得计算结果与相应的实测结果基本吻合，间接表明了本文理论方法和公式的合理性.另外，本文第2 和第3 部分理论公式的推导过程是近似封闭的，由所得公式计算的结果主要受到输入参数是否准确的影响.综合这些情况，可以认为本文所建理论模型和公式是准确可靠的.

由于扩散系数DT=D0Texp(-QD/RT)和溶解度ST=S0Texp(-QS/RT)与储存温度T有关，因此三腔体两隔片组件中的瞬态氚压力与T相关.采用公式（16）和公式（24），或者公式（19）和公式（27），可以计算不同温度T、不同隔片厚度h和球冠半径Ri时，组件各腔体中的瞬态氚量和氚压力，分析特定条件下氚对左侧腔体材料的腐蚀情况，同时分析各腔体中的瞬态氚量和氚压力随储存时间t、储存温度T、隔片厚度h和球冠半径Ri的变化规律，并利用这些变化规律对组件结构进行参数优化设计.

由于各腔体的体积并不影响腔体中的瞬态氚压力随t、T和h的变化规律，因此本部分针对左侧、中间和右侧腔体体积都相等的情况，开展如下理论计算：（1）储存温度25 ℃、隔片厚度取三个不同值时中间腔体和右侧腔体中的瞬态氚压力=P2/P10和=P3/P10随时间t的变化情况；（2）以不同的恒定储存温度储存1个半衰期后随储存温度T的变化情况；（3）以恒定储存温度25 ℃储存1个半衰期后随隔片厚度的变化情况.所得结果分别如图2～图4所示.图2中横坐标为从储存0时刻开始的自然储存时间，其中t0=30 d.图3中横坐标是恒温储存过程中的恒定温度.图4中横坐标是隔片的无量纲厚度h/h0.

图2 中间和右侧腔体中的瞬态氚压随时间的变化Fig.2 Change of transient tritium pressure in the middle and the right cavities with time

图3 中间和右侧腔体中的瞬态氚压随储存温度的变化Fig.3 Change of transient tritium pressure in the middle and the right cavities with storage temperature

图4 中间和右侧腔体中的瞬态氚压随隔片厚度的变化Fig.4 Change of transient tritium pressure in the middle and the right cavities with separated shell thickness

由图2 可见，三腔体两隔片气路组件中中间腔体和右侧腔体中的瞬态氚压力都随储存时间延长而先增大后减小，都具有单个最大峰值.在增大阶段，储存初期增大很快，但增大速率随时间延长而减小，直至到达各自的最大峰值.的最大峰值都随隔片厚度减小而增大，最大峰值出现时间几乎不随隔片厚度变化而变化.同时可见达到最大峰值的时间早169t0.这种的单个峰值特性，可用于预测既定储存状态下的极值及其出现时间，分析右侧腔体中氚对腔体材料可能产生的极限影响.

5 结论

针对三腔体两隔片气路组件中氚的扩散渗透，考虑氚的时时和处处衰变，建立了隔片内部的氚浓度控制方程，求解得到了中间腔体中瞬态氚量Q2和氚压力P2的无穷级数形式表达式.提出了将P2高精度拟合成如式（20）所示指数多项式形式的求解技巧，解决了难于准确求解右侧腔体中瞬态氚量和氚压力的问题.利用该技巧，求解得到了右侧腔体中瞬态氚量Q3和氚压力P3的高精度解析解.

通过解析理论计算，分析了中间腔体和右侧腔体中瞬态氚压力随储存时间、储存温度和隔片厚度的变化情况，认识了两个腔体中的瞬态氚压力的如下特性和规律：（1）P2和P3都在储存初期随时间延长而迅速增大，都具有最大单峰特性，最大峰值出现时间几乎与隔片厚度无关；（2）P2和P3都随储存温度升高而非线性增大，且温度越高，变化越迅速；（3）P2和P3都随隔片厚度减小而非线性增大，且隔片厚度越薄，变化越迅速.

研究结果为相关储氚装备的工程研制和使用提供了理论依据.