基于高频数据PGARCH 模型参数估计

□文/黄丽燕

（广州大学经济与统计学院 广东·广州）

［提要］ 本文使用日内高频数据对PGARCH 模型进行估计：根据日内高频数据构造的波动率代表，探究PGARCH 波动率模型的拟极大似然估计（QMLE）及其渐近分布。模拟研究和实证分析表明：基于高频数据的QMLE 可以减小参数估计的方差，有效地提高估计效率。

引言

波动率作为衡量标的资产价格波动程度的指标，是金融学中的重要概念。准确衡量和预测波动率的大小一直是金融市场的一个热点问题。在传统经济学中，期权定价理论假设了波动率是一个常数，Engle（1982）提出的自回归条件异方差（ARCH）模型则打破了该假设。在此基础上，为了解决ARCH 模型参数限制多和估计困难的问题，Bollerslev（1986）提出了广义自回归条件方差（GARCH）模型。此后，越来越多的GARCH 族模型广泛应用于风险管理、资产配置和投资策略等方面。例如，毛春元和余家华（2013）基于TGARCH 模型对中国石油天然气集团公司股票收益率进行了风险度量。Coenraad 和Sven（2017）将GJR-GARCH 模型和EGARCH 模型应用于南非TOP40 指数的期权定价。Nugroho（2019）应用GARCH-M 模型对道琼工业指数的时变波动率进行了建模。本文中讨论的PGARCH 模型，既是对GARCH 模型在幂次项上的变形，也是由Hwang（2004）提出的PTGARCH（1，1）模型的一种特殊情况。PGARCH 模型增加了波动率的幂次项是一个待估参数的设定，具体模型如下：

其中，待估参数δ＞0，ω＞0，α＞0，β＞0。 rn表示某标的资产第n 天的日收益率。σn表示第n 天的波动率，用于衡量资产波动大小，是一个非负的不可观测的变量。｛zn｝是一组期望为0、方差为1 的独立同分布的随机序列，且zn独立于σs（s＜n）。

随着互联网技术的快速发展，高频数据在金融业和其他领域有着广泛的应用。为了提高参数估计精度，Visser（2011）利用高频数据来研究基于波动率代表的GARCH 模型的拟极大似然估计（QMLE），这为如何使用日内高频数据对波动率建模提供了新途径。Fan（2017）将日内数据植入周期GARCH 模型用于季节性波动研究和建模。Podobnik（2004）使用一分钟频率的高频数据来对ARCH-GARCH 模型建模。基于上述研究，本文将运用高频数据来构造波动率代表从而对PGARCH 模型进行QMLE 估计，同时探究参数估计的精度是否有所提升。

一、PGARCH 模型分析

（一）尺度模型。日频的PGARCH 模型是一个离散的随机模型，记录了每日的波动率和收益率数据。为了植入高频数据，需要建立一个连续的日内收益过程，参考Visser（2011）构建尺度模型：首先将交易日的交易时间单位化到区间［0，1］上，u 记为交易时间，u∈［0，1］；接着把模型（1）中的离散日收益过程拓展为连续的日内收益过程Rn（u），记录每天的日内收益率；从模型（1）、模型（2），得到以下尺度模型：

可以看出，整合了高频信息的尺度模型（3）～（4）保留了日频PGARCH 模型（1）～（2）相似的结构形式，并且当u=1，Rn（1）=rn，Zn（1）=zn，尺度模型即转化为了日频模型（1）～（2）。Zn（u）依然是期望为0 的、方差为1 的独立同分布的随机变量，并独立于σs（s＜n）。

（二）波动率代表。为了更好地估计参数，需要进一步加工日内高频数据。一种可行的方法是引入波动率代表。波动率代表是关于日内高频数据的一元函数，常见的波动率代表有已实现波动率和日内价格极差。一般来说，波动率代表是非负的且满足正齐性，即存在非零常数α 和日内收益率Rn（u）满足：

考虑到每个交易日的波动率是唯一确定的，可以视为常数，则由波动率代表的正齐性及尺度模型（3）和模型（4）得：

那么，整合了高频信息的波动率代表模型可以写为：

其中，μ＞0，Z*n是经过标准化的独立同分布的随机序列，E（Z*2n）=1。比较模型（1）～（2）和模型（8）～（9），二者有着相似的结构形式。前者恰好是后者的一个特例，当Hn=|rn|时，模型（8）～（9）可以写成模型（1）～（2）的形式。前者的待估参数为θ=（δ，ω，α，β）′，后者的待估参数为θ*=（δ*，ω*，α*，β*）′ ，二者之间有以下数量关系：

二、参数估计

（一）拟极大似然估计。在进行模型（8）～（9）的估计前，记其参数真值为θ*0=（δ*0，ω*0，α*0，β*0）′ 。参考Pan（2008）和Visser（2011），对模型（8）～（9）采用拟极大似然估计，得到的拟条件对数似然函数及估计量（QLME）分别如下：

根据Pan（2008），为了证明QMLE 估计具有一致性和渐近正态性，需要做出以下基本假设：

1、Z*n服从非退化的对称分布，且存在某些△＞0 使得E|Zn|△＜+∞和对于任何的μ＞0 有

2、参数空间Θ 是R4上的紧凑子集，θ*是Θ 的内点。对于所有的θ*∈Θ，都有李雅普诺夫指数γ（θ*）＜0。

3、E（Z*2n）=1，且EZ*4n＜∞。

由此可得θ^*的渐近分布：

进一步计算似然函数对待估参数的一阶偏导和二阶偏导：

由于Z*n与σ*n独立，E（Z*2n）=1，结合式（8），矩阵A0和B0内的元素为：

从而，渐近方差阵∑*=A-10B0A-10=Var（Z*2n）G（θ*0）-1。计算矩阵G-1中需要的参数偏导：

记参数θ^*=（δ^*，ω^*，α^*，β^*）′的渐近方差为（σ*2δ，σ*2ω，σ*2α，σ*2β，）′，那么模型（3）～（4）的参数θ^=（δ^，ω^，α^，β^）′的渐近分布分别为：

（二）日频参数θ＝（δ，ω，α，β）′的估计。由QMLE 方法估计得到PGARCH 模型参数的估计值θ^*=（δ^*，ω^*，α^*，β^*）′，结合公式（10），即可得到θ的估计。此时，需要计算μ。由等式σ*n=σnμ 可得μ 的一个估计量：

使用不同的波动率代表，估计得到的参数精度是有所差异的。针对这种情况，Visser（2011）提供了一个估计效率的判别策略：估计方法的好坏由模型的残差项Z*2n决定，当残差项方差越小，参数估计的方差也越小，估计越有效。而Z*2n方差大小与MH 值的大小成正比关系。

考虑到σ*n和Z*n的独立性，则有：

显然，c=E（σ4n）/［E（σ2n）］2是一个常数，当我们通过乘以常数c 并省略1 来变换方差方程（24）时，我们可以如下导出MH统计量：

由于式（24）和式（26）成正比关系，寻找参数的渐近方差最小的问题就就转换为最小的统计量MH 问题。此时，MH 值越小，估计精度越高，估计越有效。

三、模拟研究

在本节中，通过模拟研究来检验该方法的实用性：首先对PGARCH 模型进行建模，接着对该模型采用QMLE 估计，最后将估计得到的参数结果分别从偏差（Bias）、标准差（SD）和MH统计量的均值（Mean.MH）的角度来评估QMLE 估计的效果。上述实验重复1，000 次。为了达到模拟的效果，需要模拟日内的标准化随机过程Zn（u），这里使用平稳的Ornstein-Uhlenbeck过程建模：

其中，设置初值Rn（0）=0，日频的PGARCH 模型则对应波动率代表Hn=|rn|。在模拟中，样本量分别设置为500 天、1，000天和1，500 天。于是在一次模拟中MH 的估计值如下：

模拟结果展示在表1。从表1 可以看出，在同一样本量下，与|rn|相比，通过高频的波动率代表RV 估计得到的参数偏差和标准差明显变小，但采用不同的高频RV 估计得到的参数偏差和标准差差异不大，无明显变化规律。比较不同的Mean.MH，通过RV 计算的Mean.MH 值也都比|rn|小。而随着样本量的增大，相同高频的RV 估计的参数偏差和标准差也逐渐减小，这符合一致性和渐近正态性的性质，MH 均值的减小也说明随着样本量的增加估计精度提高。表1 中，样本量N=500 时，Mean.MH 最小值出现在RV10 的情况下，这说明此时的估计最有效。表1 中样本量N=1000 时，Mean.MH 最小值出现在RV5 的情况下，这说明此时的估计最有效。参数估计的标准差最小时，与之对应的Mean.MH 值也最小，说明上一节讨论的最优波动率代表评判标准是合理的。综合来看，引入的高频信息并不是越多估计效果越好，但引入了高频信息的已实现波动率（RV）比日频信息的|rn|的估计效果好，高频数据的使用使得PGARCH模型的估计精度有所提高。（表1）

表1 参数估计的偏差、标准差及MH 均值一览表

四、实证分析

在本节中，将上述方法应用到实例，数据源是2008 年4 月28 日到2013 年6 月23 日的沪深300 指数。数据包含1 分钟间隔的收盘价格信息，每天共241 个观测值，一共包含1，272个交易日。记价格序列｛Pn（u），u∈［0，1］，n=1，2，…，1272｝，定义第n 天u 时刻的日内对数收益率为：

应用QMLE 方法，采用不同频率的已实现波动率对PGARCH 的估计结果如表2 所示。表2 展示了由不同频率的RV 和|rn|估计得到的参数值和残差项方差。由表2 可知，残差项方差最小的结果是基于RV15 的结果。根据表2，对比基于|rn|和基于RV15 的拟合得到的PGARCH 模型。（表2）

表2 基于不同波动率代表的PGARCH 模型的参数估计一览表

波动率代表为日收益率|rn|时，拟合的PGARCH 模型为：

波动率代表为15 分钟收益率时，拟合的PGARCH 模型为：

图1刻画了基于|rn|估计的波动率和基于RV15 估算的波动率代表的时序图。可以看出，二者的走势相同，整体上15 分钟的波动率比日频的波动率更小，但在峰值二者相差不大。这说明涵盖了高频信息的波动率既能敏锐地捕捉波动率的急剧变化，也能稳定地刻画出波动率相对平缓时期的特征。（图1）

图1 基于|rn|的波动率代表与基于RV15 的波动率代表时序图

结语

在本文中，我们通过波动率代表将高频数据嵌入日频的PGARCH 模型，并对模型进行QMLE 估计，给出估计参数的渐近分布。模拟研究和实证分析证明，引入高频信息有助于提高PGARCH 模型的估计精度。