阿伏加德罗常数之“常数危机”

［摘 要］文章分析了阿伏加德罗常数所面临的“常数危机”，指出在摩尔新定义的语境下，阿伏加德罗常数与其内在特征（即阿伏加德罗定律）之间的关联性被严重削弱；建议在教学中调整教学顺序，将阿伏加德罗定律置于阿伏加德罗常数之前进行讲解，并建立起两者之间的实用主义关联（主要体现在计算简便上），以帮助学生充分理解阿伏加德罗常数知识的依存条件，从而确保他们对常数认知的一致性。

［关键词］阿伏加德罗常数；“常数危机”；摩尔；内在特征

［中图分类号］" " G633.8" " " " " " " " ［文献标识码］" " A" " " " " " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）35-0063-05

一、问题的提出

阿伏加德罗常数的相关知识较为抽象，是化学教学中的一大难点。阿伏加德罗常数源于物质的量的单位——摩尔的定义。2018年，第26届国际计量大会（CGPM）对摩尔进行了如下定义[1]：摩尔，符号mol，国际单元制（SI）物质的量的单位，１摩尔精确包含6.022 140 76×1023个基本粒子。由此定义可以推知，阿伏加德罗常数NA=6.022 140 76×1023 mol-1。在1971年摩尔的旧定义语境下，阿伏加德罗常数一直是不确定的，而摩尔的新定义使阿伏加德罗常数成为一个确定的数值。然而，新定义在降低教学难度的同时，却引发了认知危机，即“常数危机”。在教师和学生的认知中，常数是事物内在特征自然形成的、具有确定数值的，且这一数值不以人的意志为转移。尽管某些常数的精确数值可能无法完全确定或呈现，但其内在特征却可以通过理想模型被充分理解。例如，圆周率π是圆的周长与直径之比，能够揭示圆的特征。虽然现实中完美的圆并不存在，但人们能够通过思维构想出“理想的圆”，并准确感知π所蕴含的圆的几何意义。尽管至今人们仍未完全确定π的精确数值，但没有必要将其固化为一个特定的精确数值，因为这样做可能会削弱π作为“理想的圆”的特征的体现。对于类似于π的常数（如地球重力加速度常数g），它们的内在特征相对容易理解和领悟，但对于阿伏加德罗常数，却异常困难。这引发了我们的思考：阿伏加德罗常数是否具有内在特征？如果有，为何难以把握？

二、被“定义”的阿伏加德罗常数

（一）阿伏加德罗常数的由来与演进

1811年，为了解决道尔顿和盖-吕萨克有关“水的组成”的争议，阿伏加德罗引入了分子学说，并提出假设：同温同压下，相同体积的不同气体含有相同的分子数[2]86。那么，相同体积的不同气体到底含有多少分子数呢？这个问题迅速成为科学家最为关注的问题之一。但这个问题本身需要将“相同体积”约束为一个具体的体积才能给出一个具有标准意义的答案。依据早期科学中经常遵循的“最简法则”[2]83，具体的体积可以选择1 mL、1 L、1 m3等，但科学家没有选择这些体积。这是因为当时有关物质探究的定量化学实验正如火如荼地开展，而这些实验多涉及气体间的反应，因此具体体积的选择自然要为这些实验服务。出于简化计算的考量，科学家首先想弄清楚以g为单位且数值与相对分子质量数值相等的气体中含有的分子数量（即克分子数），如2 g H2、32 g O2的分子数量。通过测量，科学家很容易获知在常温常压下，2 g H2、32 g O2的体积都约为22.414 L（即克分子体积）。因此，科学家很自然地将具体的体积选定为22.414 L。1900年，德国物理化学家威廉·奥斯特瓦尔德首次定义了1 mol[2]80：在常温常压下，22414 mL（22.414 L）任何气体所含有的分子数为1 mol。这是人们对阿伏加德罗常数的第一次干预（尽管此时还没有阿伏加德罗常数）。另外，由于气体分子数量庞大，记录、计算都很复杂，因此从计算简便的角度来考虑[3]，需要一个比较大的常数来简化计算。而22.414 L气体中包含的分子数量非常大，这成为选择22.414 L作为具体体积的另一个重要原因。由此可见，阿伏加德罗常数的提出是科学家在追求计算简便的思想下对克分子数进行简化的必然结果。

1971年，第14届国际计量大会通过决议将摩尔采纳为第7个SI基本单位，并给出了明确的定义[4]：摩尔是一系统的物质的量的单位，该系统中所包含的基本单元数与0.012 kg 12C的原子数目相等，符号为mol。然而，随着该定义的广泛使用，其存在的问题也逐渐暴露出来。其中最大的问题是，这个定义是通过另一个SI基本单位——千克来实现的。而千克的定义所依赖的千克原器很容易受到人为和环境因素的影响，导致实物基准不稳定。于是，人们开始寻求摩尔的新定义。这是人们对阿伏加德罗常数的第二次干预。这次干预，导致阿伏加德罗常数与其内在特征（即阿伏加德罗定律）的关联性严重削弱。

（二）阿伏加德罗常数的知识结构

由以上分析可知，阿伏加德罗常数具有自身的内在特征——阿伏加德罗定律。数学是科学的语言，人们对阿伏加德罗常数的第一次干预使其内在特征得以用数学语言表达出来，此时摩尔定义下的阿伏加德罗常数与其内在特征完全等价。而第二次干预则是以牺牲内在特征为代价，换取了数值的稳定性，此时阿伏加德罗常数与其内在特征不再是等价的关系，而是被包含的关系。虽然6.022 140 76×1023这个数字很接近与阿伏加德罗常数内在特征等价的22.414 L气体中的分子数，但终究只是“接近”而已。

从知识的内在结构来看[5]，摩尔旧定义下的阿伏加德罗常数知识结构中的逻辑形式由“内在特征+人为定义”构成。而摩尔新定义下的阿伏加德罗常数舍弃了其中的“内在特征”，只保留了“人为定义”（如图1）。然而，科学家并没有选择一个任意的、比较大的数值来取代旧定义中的“0.012 kg 12C的原子数目”，而是选择了与之非常接近的数值：6.022 140 76×1023（该数值也非常接近22.414 L理想气体中所包含的粒子数）。因此，在摩尔新定义的语境下，阿伏加德罗常数的数值实际上最大限度地保留了“内在特征”痕迹。尽管如此，如果单纯从叙述的角度来看，新定义直接切断了阿伏加德罗常数与其内在特征的联系。不过，阿伏加德罗常数知识结构中的意义系统——计算简便，仍然统摄“摩尔”以及“物质的量”概念，这在新旧定义中都没有发生改变。这为摩尔新定义下的阿伏加德罗常数教学提供了稳定的契机。另外，需要在此对“计算简便”统摄“物质的量”概念做出说明，以便深入理解阿伏加德罗常数知识结构中的意义系统。虽然物质的量具有联系可称量的物质与难以称量的微观粒子的桥梁作用，但这种作用的核心目的仍然是“计算简便”[6]。“计算简便”既是阿伏加德罗常数知识逻辑形式中两次“人为定义”的源动力，也是摩尔新定义可以舍弃阿伏加德罗常数内在特征的根本原因。

（三）1 mol定义中“约”的含义改变

人教版高中化学旧教材中有关“1 mol”的表述为：1 mol粒子集合体所含的粒子数与0.012 kg 12C中所含的碳原子数相同，约为6.02×1023[7]。此表述中的“约”字体现了科学家在受限于当时科学技术水平的情况下的艰辛探索，是对未知数字的一种约略估计。相比之下，新教材中关于“1 mol”的表述则有所不同：1 mol粒子集合体所含的粒子数约为6.02×1023[8]。显然，在摩尔新定义下，这个“约”字是对已确定且更为精确的数值6.022 140 76×1023的一种近似简化表达。因此，新旧教材中的“约”字含义截然不同，但新教材在表述上并未体现这层含义。学生对“约”字含义变化的理解程度，能够反映出他们对阿伏加德罗常数与其内在特征关联性的认识程度，因此，这一理解程度可以作为评价学生是否深入理解阿伏加德罗常数的一个重要指标。

（四）阿伏加德罗常数的单位

阿伏加德罗常数的单位（mol-1）是容易引起学生困惑的知识点之一。但这种困惑更多的是形式上的，而非内容上的。1 mol粒子集合体所含粒子数量为6.022 140 76×1023，而1 mol任何粒子数被称为阿伏加德罗常数（NA），这就要求在逻辑上NA=6.022 140 76×1023" mol-1。可见，阿伏加德罗常数的单位本身并不是引起学生困惑的最主要原因。近年来，许多教师提出在阿伏加德罗常数的表达式中引入中文语境中的“个”[9]，即NA=6.022 140 76×1023（个）·mol-1，这样的表达方式确实能够降低阿伏加德罗常数表达式的抽象性。

三、阿伏加德罗常数内在特征的教学缺失与教学建议

（一）常数如何才能被充分理解

常数既然是事物内在特征自然形成的，那么其意义必须在相关内在特征中去理解才会是充分的。以π为例，我们正是因为它与“圆的周长与直径之比”的关联才能深刻把握其含义。同样地，对于地球重力加速度常数g，因为它与“地球对物体的吸引力，导致物体加速下落”的关联，我们无须借助公式，便能直观理解g所代表的地球引力对物体下落速度的影响。因此，要充分理解一个常数，首先要理解其内在特征。常数是事物内在特征的外在表现形式，一旦脱离了内在特征，理解起来就会变得抽象或困难。内在特征为常数提供了被理解的基石，对学生形成常数认知至关重要。在教学中，如果不能将常数的内在特征展现出来，将无法充分发挥知识的教学价值 。

（二）由来已久的内在特征缺失教学

在科学史中，人们似乎从未有过以“定义”来干扰常数数值的先例。然而，摩尔新定义下的阿伏加德罗常数却引人深思：一个能够被人为定义干扰数值的常数还是真正意义上的常数吗？这个问题看似新颖，实际上由来已久，只是摩尔新定义对阿伏加德罗常数明显地人为干预使得这个问题更加凸显。在教学中，许多教师在介绍阿伏加德罗常数的数值时，往往先引入一个“巧妙且适宜”的数值（即6.022 140 76×1023，这一数值恰好使得对应的原子的质量等于其相对原子质量），然后再直接指出这一数值就是阿伏加德罗常数的数值，并用“阿伏加德罗常数是基本物理常数”来强化其常数的属性。这种教学方式在摩尔的旧定义和新定义语境下普遍存在。

事实上，这种看似巧妙且适宜的数值引入方式却将学生对阿伏加德罗常数的理解引至一个浅显、偶然的层面，从而忽视阿伏加德罗常数的内在逻辑结构。新定义无形中强化了这种偶然性，切断了阿伏加德罗常数与其内在特征的联系。同时，教师在教学中一般会着重强调阿伏加德罗常数在联系宏观和微观方面的功能，但这种功能与其内在特征并无关联，而是属于阿伏加德罗常数知识结构中的“意义系统”。因为任意一个很大的数值都有联系宏观和微观的功能，所以这种教学方式阻碍了学生认识论认知[10]的发展。在“物质的量”教学中，大量时间用于去情境化的解题训练，这是一种错位教学。教师的教和学生的学一直处在“缺失内在特征”的轨道上，阿伏加德罗常数知识的抽象性正是缺失内在特征的必然结果。在这种情况下，暗示阿伏加德罗常数存在的“阿伏加德罗常数是基本物理常数”这一话语，除确认其存在性外，便无更多价值。但学生只要与已有认知中的其他常数进行对比，这种暗示就会因为没有“内在特征”这一知识依存条件而失去支持。相比之下，重力加速度、光速、万有引力常数等物理常数则很少被反复强调其“基本物理常数”的范畴，但学生却能够自觉地将它们纳入“常数”的认知结构。如此看来，对阿伏加德罗常数之“常数”范畴的刻意强调，更多的是教师对其内在特征缺失的“补偿性”反应。从学科知识的理解角度来看，教师普遍认为阿伏加德罗常数是自然科学中十分重要的基本物理常数，其功能是在物质的量知识体系下建立宏观世界与微观世界的数量关系。这种认识在表述上虽然看似无误，但实际上却存在矛盾。部分教师将阿伏加德罗常数视为与光速一样、“不以人的意志为转移”的基本物理常数。这显然是一种误解，因为阿伏加德罗常数是科学家人为定义的。如果阿伏加德罗常数只是自然世界内在特征的自律体现，那么人的存在与否对这个常数就不会有任何影响。而“建立宏观世界与微观世界的数量关系”这一表述，显然指向了人的认知方法。大自然并不存在这样一个常数恰好有助于人们认识宏观世界与微观世界的数量关系，这是不合逻辑的。因此，合理的理解应该是：阿伏加德罗常数之“基本物理常数”的属性指向与自然规律相关的“内在特征”，而“建立宏观世界与微观世界的数量关系”则指向与人相关的“意义系统”。

如此看来，阿伏加德罗常数教学中存在的内在特征缺失问题由来已久，丞待解决。

（三）教学建议

基于科学史我们可以发现，摩尔新定义在最大程度上保留了阿伏加德罗常数的“内在特征”痕迹。然而，如果教学中教师不能从阿伏加德罗常数的数值出发，回溯到其内在特征，并体现常数之“常”，那么“6.02×1023”将仅仅作为一个具有“计算简便”功能的数字符号存在，这将导致阿伏加德罗常数在学生对常数的认知中失去一致性，从而引发“常数危机”。

为了解除这一危机，教师应将阿伏加德罗常数的教学重点放在其内在特征的认识上，即要在充分理解内在特征的基础上对数值进行意义解读。为此，需要对“物质的量”教学内容的顺序进行重新安排。在以往的教学中，阿伏加德罗常数通常放在“物质的量的单位——摩尔”模块中。考虑到阿伏加德罗常数内在特征的意义表达，将其放在“气体摩尔体积”模块中来讲解更为合适。但对内在特征的突出考量并不意味着在教学中要严格按照阿伏加德罗常数的发展历史来讲解，因为完全照搬史实可能会加重学生的学习负担。特别是关于使用12C作为摩尔定义的基准材料，往往难以在短时间内解释清楚，因此在教学中略过这部分史实也许才是最恰当的处理方式。

本文建议以阿伏加德罗定律（阿伏加德罗常数的内在特征）作为阿伏加德罗常数的教学起点。在介绍该定律时，应重点解释数学语言中的“规定”（如标准状况下、22.4 L）以及“≈”符号所表示的数值近似性内涵。对于摩尔新定义下的阿伏加德罗常数，教学难点是对“科学家为什么要舍弃对原NA精确数值的追求”进行合理解释。鉴于整个“物质的量”知识体系的构建都是由“计算简便”思想主导，本文建议从实用主义思想方面予以解释。在解释时，首先要明确“内在特征”和“计算简便”思想之间的界限，然后再探讨它们之间的关联。教学流程如图2所示。首先，突出“计算简便”思想，说明科学家原本就是想要一个比较大的数字来简化计算；其次，介绍阿伏加德罗定律的数学语言表达（在标准状况下），其中涉及一个比较大的数值，但这个数值像π一样尚未获得精确值，约为6.022 140 76×1023；最后，综合考虑以上两点，科学家定义了1 mol粒子集合体所含的粒子数为6.022 140 76×1023 mol-1，从而得到NA的近似值。该教学在实用主义思想的指引下巧妙地实现了摩尔新定义下的阿伏加德罗常数与其内在特征的关联。此外，对于新教材中的“1 mol粒子集合体所含的粒子数约为6.02×1023”这一表述，也要对其中的“约”做出必要解释，即这里的“约”表示有限数字的近似值。

四、结语

一个不精确的数值必然会带来计算的不确切性和不等效性。“人是万物的尺度”，在满足科学需要的条件下，摩尔新定义下的NA=6.022 140 76×1023" mol-1具有以“人之需要”为考量的合理性。虽然单纯从摩尔新定义的表述来看，阿伏加德罗常数好像完全切断了与其内在特征的关联，但仔细分析其数值，仍然可以发现其中保留住了其内在特征的痕迹。从学生学科知识理解的角度出发，这种痕迹在新定义教学中绝不应被忽略，而应该通过痕迹回溯到知识依存的本质特征，并在学生认知范围内将其与新定义进行关联。唯有如此，学生对阿伏加德罗常数的理解才能从单纯的符号表征深入到完整的逻辑形式和意义系统中，从而真正消除阿伏加德罗常数知识的抽象性问题，达到教学目的。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1]" 任同祥，王军，李红梅.摩尔的重新定义[J].化学教育（中英文），2019，40（12）：19-23.

[2]" SARIKAYA，MUSTAFA. A view about the short histories of the mole and Avogadro's number[J].Foundations of Chemistry，2013，15（1）：79-91.

[3]" 林则东.论阿伏伽德罗常量[J].物理通报，2017（8）：128-129.

[4]" 龙琪.关于“阿伏加德罗常数”的历史考量[J].化学教育，2015，36（17）：75-81.

[5]" 陈进前.知识内在结构与学科核心素养发展层级[J].中学化学教学参考，2020（19）：1-5.

[6]" 任圣颖.基于“计算简便”的心理因素对“物质的量”的教学思考[J].化学教学，2023（3）：95-97.

[7]" 宋心琦.普通高中课程标准实验教科书" " 化学1" "必修[M].北京：人民教育出版社，2007.

[8]" 王晶，郑长龙.普通高中教科书" " 化学" "必修" " 第一册[M].北京：人民教育出版社，2019.

[9]" 廖兴权.利用自定义物理量教学法讲解“物质的量”概念[J].实验教学与仪器，2021，38（9）：12-14.

[10]" 张红霞，郁波.从“探究”到“实践”：科学教育的国际转向与本土应对[J].教育研究，2023，44（7）：66-80.

（责任编辑" " 罗" " 艳）