中考常见几何问题分析

［摘 要］几何问题是初中数学中十分重要的一种问题类型，常在中考试卷中出现。文章结合实际情况，归纳了开放型几何问题、存在判定型几何问题、类比迁移型几何问题、规律探究型几何问题及实践操作型几何问题等常见题型，并对每种题型进行详细分析，旨在提升学生的几何知识掌握水平。

［关键词］中考；几何问题；开放型

［中图分类号］" " G633.6" " " " " " " " ［文献标识码］" " A" " " " " " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）35-0007-03

初中阶段，几何知识是重点知识之一。在中考中，除了基础考题，还会出现一些具有开放性、探究性的几何问题。这类问题不仅考查学生对几何知识的掌握情况，还考查他们的空间思维能力和逻辑思维能力。由于这类问题较为复杂，学生往往得分不高。基于此，本文结合实际案例，对中考中常见的几何问题进行总结分析，以供读者参考。

一、开放型几何问题

开放型几何问题主要分为条件开放型几何问题、结论开放型几何问题、策略开放型几何问题等几类，题型各有特点。条件开放型几何问题给出结论，要求找出使结论成立的条件；结论开放型几何问题则提供条件，要求探索可能的结论；策略开放型几何问题则在给定条件和结论的同时，解题路径不唯一，需找出多种解题策略。解答这类问题时，首先要仔细阅读题目，明确题目条件和要求；其次要寻找与结论或解题策略相关的线索。重要的是，不要拘泥于单一的解题思路，应尝试多种方法。

［例1］如图1，将边长为[4]的等边三角形沿边[BC]上的高[AD]剪成两个三角形，用两个三角形拼成一个平行四边形。

（1）画出这个平行四边形（一种情况）；

（2）根据（1）的结果，求出两条对角线长。

解析：（1）所画的平行四边形如图2所示。

（2）如图3，四边形[ABDC]为平行四边形，其边[AB=CD=4]，连接[BC]，过点[C]作[CE]垂直[BD]的延长线于点[E]，则可得矩形[ACED]。易得[AD=23]，则[EC=23]，[BE=2BD=4]，进而得[BC=27]，所以平行四边形ABDC的对角线长为[AD=23]，[BC=27]。

评析：本题主要考查图形的剪拼，涉及等边三角形和矩形的性质。解决开放型几何问题时，需充分利用已知条件和图形特征，通过猜想、归纳、类比，分析可能的不同结论，并做出取舍。

二、存在判定型几何问题

存在判定型几何问题通常要求考生依据给定的条件或图形，判断结论是否成立，或者判断命题的真假。解答这类问题时，可先假设结论成立（或命题为真），然后基于此进行逻辑推理：若推理结果与假设一致，则结论成立；若相矛盾，则假设不成立，即结论不成立（或命题为假）。

［例2］如图4，线段[AB]与圆[O]相切于点[B]，[AO]交圆[O]于点[M]，其延长线交圆[O]于点[C]，连接[BC]，[∠ABC=120°]，[D]为圆[O]上的一点，且圆弧[DB]的中点为[M]，连接[AD]，[CD]。

（1）求[∠ACB]；

（2）试判断四边形[ABCD]是否为菱形。

解析：（1）如图5，连接[OB]，由线段[AB]与圆[O]相切于点[B]，得出[∠ABO=90°]，而[∠ABC=120°]，所以[∠ACB=∠OBC=120°-90°=30°]。

（2）由[D]为圆[O]上的一点，且圆弧[DB]的中点为[M]，得出[∠ACD=∠ACB=30°]，而[∠ABC=120°]，所以[∠CAB=30°=∠ACB]，可得[BA=BC]，易得[CD=CB]，则[△ACD ]≌[ △ACB]，可得[AD=AB]，所以[AD=AB=CD=CB]，从而得出四边形[ABCD]为菱形。

评析：本题未采用反证法，而是结合圆、三角形等平面图形的性质，通过求出各边的关系，证明了四边形[ABCD]为菱形。

三、类比迁移型几何问题

类比迁移型几何问题较为特殊，主要考查学生的观察能力、逻辑推理能力及知识灵活运用能力。解题时，需先读懂并理解已知信息，再挖掘其与所求问题间的关系，进而灵活运用相关知识求解。其中，挖掘关系是重点也是难点，需要学生具备较强的逻辑思维能力及想象能力。

［例3］（1）如图6，在矩形[ABCD]中，点[E，F]分别在边[DC]，[BC]上，[AE⊥DF]，垂足为[G]，求证[△ADE ]∽[△DCF]。

（2）如图7，在正方形[ABCD]中，点[E]，[F]分别在边[DC]，[BC]上，[AE=DF]，延长[BC]到点[H]，使[CH=DE]，连接[DH]，求证：[∠ADF=∠H]。

（3）如图8，在菱形[ABCD]中，点[E]，[F]分别在边[DC]，[BC]上，[AE=DF=11]，[DE=8]，[∠AED=60°]，求[CF]的长。

解析：（1）由题目条件易证[△ADE ]∽[△DCF]，过程略。

（2）如图7，因为[AD=CD]，[AE=DF]，所以[Rt△ADE ]≌[Rt△DCF]，则有[DE=CF]；由[CH=DE]，得[CH=CF]，所以[Rt△DCF ]≌[Rt△DCH]，则有[∠DFC=∠H]，由[AD]∥[BC]，得[∠ADF=∠DFC]，所以[∠ADF=∠H]。

（3）如图9，延长[BC]至点[G]，使[CG=DE=8]，连接[DG]，易证[△ADE ]≌[△DCG]，得[∠DGC=∠AED=60°]，[AE=DG]，由[AE=DF]得[DG=DF]，所以[△DFG]是等边三角形，得[FG=DF=11]，从而得[CF=FG-CG=11-8=3]。

评析：本题从矩形问题、正方形问题逐步迁移到菱形问题，难点在于挖掘不同图形问题的内在联系，并以此为依托进行解题。

四、规律探究型几何问题

规律探究型几何问题的基本特征是给出特殊情况，然后通过推导、猜想、证明得出一般结论。解答这类问题时，需先从特殊条件出发，运用归纳、类比方法推导出一般结论，进而解决问题。

［例4］小红同学在学习正方形知识后开展了以下探究活动：在正方形[ABCD]的边[BC]上任意取一点[G]，以[BG]为边长向外作正方形[BEFG]，将正方形[BEFG]绕点[B]顺时针旋转。

（1）当[BG]在[BC]上时，连接[DF]，与[AC]相交于点[P]，小红发现点[P]恰好为[DF]的中点，如图10。针对小红的发现，请给出证明。

（2）小红继续连接[EG]，并延长与[DF]相交，发现交点恰好为[DF]的中点[P]，如图11。根据小红的发现，试判断[△APE]的形状。

（3）如图12，将正方形[BEFG]绕点[B]顺时针旋转[α]，连接[DF]，点[P]是[DF]的中点，连接[AP]，[EP]，[AE]，[△APE]的形状是否发生改变？

解析：（1）如图13，连接[BD]，[BF]，[BP]，由正方形的性质可得[∠DBF=90°]，[△APD ]≌[△APB]，所以[BP=DP]，进而得[∠PDB=∠PBD]，由等角的余角相等可得[∠PBF=∠PFB]，所以[PB=PF]，从而[PD=PF]。

（2）如图11，由正方形可得[∠CAE=∠PEA=45°]，所以[△APE]是等腰直角三角形。

（3）如图14，延长[EP]至点[M]，使[PM=PE]，连接[MA]，[MD]，易证[△MPD ]≌[△EPF]，则有[DM=EF]，[∠DMP=∠PEF]，所以[BG]∥[DM]。

设[DF]交[BC]于点[H]，交[BG]于点[N]，则[∠MDN=∠DNB]，由[AD//BC]，得[∠ADN=∠BHN]，进而得出[∠ADM=∠BHN+∠BNH=180°-∠HBN=∠ABE]，所以[△ADM ]≌[△ABE]，进而得出等腰直角三角形[AEM]，由[P]是[EM]的中点，得等腰直角三角形[APE]，故[△APE]形状不变，仍为等腰直角三角形。

评析：本题难点在于第（3）问，需借助辅助线，利用中点构造全等三角形来解题。解答这类问题时，应结合条件，灵活观察与类比。

五、实践操作型几何问题

实践操作型几何问题常与实践操作相联系，如课堂上的探究性活动、身边的探究性用具等。常见的命题情境是给出条件，让学生挖掘内涵，探究解题思路或方法。

［例5］［问题情境］两位同学用相同的两块含[30°]的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作[△ADB]和[△A'D'C]，[∠ADB=∠A'D'C=90°]，[∠B=∠C=30°]，设[AB=2]。

［操作探究］如图15，先将[△ADB]和[△A'D'C]的边[AD]，[A'D']重合，再将[△A'D'C]绕着点[A]按顺时针方向旋转，旋转角为[α（0°≤α≤360°）]，旋转过程中[△ADB]保持不动，连接[BC]。

（1）当[α=60°]时，[BC=]" " " " " " " " " " ；当[BC=22]时，[α=]" " " " " " " " " "。

（2）当[α=90°]时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积。

解析：（1）当[α=60°]时，[A'C]与[AD]重合，易得[△ABC]为等边三角形，如图16，所以[BC=AB=2]；当[BC=22]时，由勾股定理可得[∠BAC=90°]，即[AB⊥AC]。

后续则要分两种情况进行讨论，如图17，[∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°]，此时[α=∠DAD'=∠CAD'-∠DAC=60°-30°=30°]，如图18，[∠DAB=∠D'AC=60°]，此时[α=∠DAB+∠BAC+∠D'AC=210°]。综上，当[BC=22]时，[α=30°]或[210°]。

（2）当[α=90°]时，可得图19，易得正方形[ADED']为正方形，则[AD=DE=D'E=1]，所以[BE=BD-DE=3-1]，进而得[EF=BE×tan∠ABD=1-33]，又[DG=AD×tan∠DAG=33]，所以[S四边形AGEF=S△ABD-S△BEF-S△ADG=32-（3-1）（3-3）6-36=1-33]。

评析：本题是常见的实践操作题，难点在于准确画出相应的图象，并结合分类讨论进行解题。解答时，学生需具备空间思维能力、猜测能力及逆向思考能力。

本文总结了中考中几类常见的几何问题，并逐一进行分析。各类问题虽然不尽相同，但均要求学生具备较强的逻辑思维能力和扎实的知识基础。因此，教师需引导学生在日常学习中积极总结，不断提升。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1]" 高小梅.初中数学几何中的“从特殊到一般”思想[J].现代中学生（初中版），2024（6）：15-16.

[2]" 杨柳.巧用“等腰与旋转”解决几何问题[J].数理天地（初中版），2024（3）：41-42.

[3]" 魏庆雪.动态几何问题的解题探究[J].中学数学，2023（24）：75-76.

[4]" 许娜.初中平面几何中逆向思维的探究[J].数理天地（初中版），2023（19）：6-7.

（责任编辑 黄春香）