基于Zernike多项式的光机耦合数值仿真研究

陈灏 张志刚 孙瑶 吴骏 李岳峰 王振 王野 刘乐璠

摘  要：光学系统的研制包括光学、结构、热学等不同学科的内容，且各学科之间相互影响，因此这是一个多学科协同研发的过程。在初期设计阶段，综合考虑光机热之间的耦合关系显得尤为重要。该文对光机热集成分析过程中的光机耦合分析方法进行数值仿真研究，重点介绍Zernike多项式拟合方法，并以双镜片目镜为例，通过自研软件Somap，获得变形后的光学系统镜面面形数据，将获得的光学宏文件加载至光学设计软件中，分析变形后的光学系统的成像质量，光学系统在外载荷作用下，成像质量显著下降。

关键词：Zernike多项式；光机耦合；光机热集成分析；热变形；数值仿真

中图分类号：TN248      文献标志码：A          文章编号：2095-2945（2024）05-0024-04

Abstract： The development of optical systems involves different disciplines such as optics， structure， and thermodynamics， and these disciplines interact with each other. Therefore， this is a multidisciplinary collaborative research and development process. In the initial design stage， it is particularly important to comprehensively consider the coupling relationship among optics， mechanics， and heat. This paper makes a numerical simulation study on the optical-mechanical coupling analysis method in the process of opto-mechanical-thermal integration analysis， focusing on the Zernike polynomial fitting method， and taking the double-lens eyepiece as an example， through the self-developed software Somap， the mirror shape data of the deformed optical system is obtained， and the optical macro file is loaded into the optical design software to analyze the imaging quality of the deformed optical system under external load. The imaging quality decreased significantly.

Keywords： Zernike polynomial; opto-mechanical coupling; opto-mechanical-thermal integration analysis; thermal deformation; numerical simulation

随着计算机科学和仿真技术的不断发展，以及有限元分析软件和光学设计软件的进一步完善，光机热集成分析技术也得到了迅猛发展[1-2]。利用光机热集成分析技术，可以实现复杂工况环境下的模拟，通过仿真的方式，在设计阶段就全面考虑光机热对系统的影响，大大减少了试验成本。光机热集成分析是涉及光学、热学、机械结构等不同学科的具有交叉性、综合性的分析技术，是一个闭环反馈的过程，光机耦合则是光机热集成分析技术中不可或缺的一个中间环节。当光机系统在内外载荷的作用下，系统结构产生形变，光学镜面形状也随之发生变化。通常情况下，采用有限元分析软件对光机系统进行结构分析和热分析，再将结构分析和热分析的结果反馈至光学设计软件，查看结构变形和热变形对光机系统成像质量的影响，分析光学调制传递函数和点列图的变化，指导光机系统的进一步优化。

目前，常用的光机耦合方法包括多项式拟合法[3-4]和干涉图插值法[5]。多项式拟合法是实现光机热集成分析时重要的数据传递工具，该方法计算方便且相对成熟。其中，Zernike多项式由于其在单位圆内的正交性及与光学像差的对应关系，非常适合用于拟合圆形镜面面形数据，因此其在工程项目、光机系统设计、干涉检查方面被广泛应用。

本文重点介绍了实现光机耦合过程的Zernike多项式拟合方法，并以双镜片目镜为案例模型进行了仿真计算，分析了目镜系统光学像质的变化情况，为光机热集成分析过程提供参考依据。

1  Zernike多项式

Zernike多项式的拟合方法很多，如最小二乘法、Gram-Schimdt正交法、Householder变换等。最小二乘法通用简洁，Gram-Schimdt正交法和Householder变换稳定性较好，如果拟合数据量不大，三者的拟合结果基本相近。具体的拟合求解步骤如下所示。

对采样点进行归一化处理。归一化后，采样点坐标为

式中：（x0，y0）为采样点中心坐标，ρi为极坐标半径。

将Zernike多项式函数U，作为基底函数，将式（1）中归一化的采样点坐标带入Zernike多项式，得到作为基底函数的多项式函数矩阵U。

利用Gram-Schimidt标准正交法将Zernike多项式函数矩阵U单位正交化，得到单位正交矩陣V。

求Zernike多项式拟合系数Q。

镜面节点的形变矩阵Φ由Zernike多项式表示为

UQ=Φ 。 （2）

进行坐标转换，可得

ΦV=B ，

VB=Z ， （3）

Q=V+Z ，

式中：B、Z为中间变换矩阵，由上式可求得Zernike多项式系数Q。

2  仿真分析

2.1  案例模型

此案例是一个双镜片目镜模型，约束面如图1（a）所示，约束为全约束。此模型含有双镜片，有4个镜面需要进行处理，如图1（b）所示。

镜架材料选择6061铝合金，镜片材料采用锗玻璃，材料属性见表1。

本案例模型处于70 ℃的温度环境中，默认温度25 ℃。利用有限元分析软件将温度载荷引起的變化以位移场的形式输出，获得有限元模型文件和有限元结果文件。采用自研软件Somap进行面型拟合计算，其最大形变量为0.112 6 mm。

2.2  Zernike拟合流程及结果

通过Somap进行Zernike拟合的具体流程如下。

1）添加有限元网格文件、有限元结果文件、光学模型文件。

2）选择多项式拟合求解器，设置输出文件名称、光学软件类型等参数。

3）设置局部坐标系来源，此案例使用光学模型进行局部坐标系推导，初始坐标系名称为 EMT_CYS_SYSCOR，位于第一个镜面上。

4）设置分析镜面，依次设置每个面的基本信息。

5）设置面型参数，其中第一个镜面为非球面镜，面型类型选择 Asphere，曲率半径为 69.375 mm，二次曲面常数k=0，其余3个镜面为 Conic 类型，如图2所示。

拟合参数设置，采用去除刚体位移中的旋转和平移项及曲率半径的轴向修正结果。拟合多项式选择标准Zernike多项式，由于拟合文件需要用在光学设计软件中，因此Norm Type选择Amplitude。归一化半径采用与镜面尺寸一致的形式，由Somap自行进行计算。Max R Wave Number与Max Theta Wave Number分别对应与Zernike多项式中的拟合项数n和m，取n为4，m为2。

6）拟合求解，生成光学宏文件、拟合结果文件及拟合云图文件。

拟合结果如图3所示，从左至右、从上至下分别代表镜面1、镜面2、镜面3、镜面4。可以看出，镜面1的拟合结果最大正向形变量为9.82 e-05 mm，最大负向形变量为1.15e-04 mm，镜面中心负向形变量大。镜面2的拟合结果最大正向形变量为1.68e-04 mm，最大负向形变量为2.42e-04 mm，镜面中部环形区域有最大正向形变。镜面3的拟合结果最大正向形变量为2.58e-04 mm，最大负向形变量为4.94e-04 mm，镜面3拟合结果形状与镜面2类似。镜面4的拟合结果最大正向形变量为1.11e-04 mm，最大负向形变量为9.13e-05 mm。

图4给出了在m=2、n=4的拟合参数情况下4个镜面的拟合残差。

可以看出，拟合效果并不理想，尤其是前3个镜面，为进一步提升拟合效果，增大拟合项数n和m的值，取n=8、m=6，拟合残差如图5所示，可以看出，4个镜面的拟合残差整体变小，拟合效果变好。

2.3  光学评价

利用Somap软件进行光机耦合处理，多项式拟合求解生成带有Zernike系数的光学宏文件。拟合求解所生成的光学宏文件可直接加载至光学设计软件中。在光学设计软件中，查看形变后光学系统的像质情况。原始光学系统在（0.00，0.00）视场点的RMS值为0.006 126 mm，在外载荷作用下，光学面形发生变化，光学系统的成像质量显著下降。通过Zernike拟合面形的光学系统在（0.00，0.00）视场点的RMS值变为1.016 158 mm，相对原始光学系统，RMS明显变大。

3  结束语

以光机热集成分析技术为基础，本文重点介绍了Zernike多项式拟合技术，Zernike多项式可作为光机热集成分析的数据接口，由于同像差多项式形式一致，常用于拟合波面并对波前特性作分析，适合于拟合圆对称的镜面形状。本文以双镜片目镜模型为例，通过自研软件Somap进行Zernike拟合计算，将离散的变形数据拟合为面形，并将处理后的光学宏文件加载至光学设计软件中，发现光学系统在外载荷作用下，成像质量显著下降，为光学系统的设计和优化提供理论参考。

参考文献：

[1] 宫晓峰，刘健，陈建发，等.光机热集成仿真在光学系统无热化设计中的应用研究[J].电光与控制，2022，30（2）：106-110.

[2] 赵紫云.面向复杂环境的激光器系统光机热耦合分析技术研究[D].长春：中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，2022.

[3] CORONATO P A， JUERGENS R C. Transferring FEA results to optics codes with Zernikes： a review oftechniques[J]. Proc SPIE， 2003， 5176： 128-136.

[4] 单宝忠，王淑岩，牛憨笨，等.Zernike多项式拟合方法及应用[J].光学精密工程，2002，10（3）：318-323.

[5] 刘勺斌，杨洪波.一种用于光机热集成分析的新方法——干涉图插值法[J].应用光学，2007，28（5）：553-558.