从概率论的角度探讨单项选择对学习评价的影响*

田苗 李芳菲 郑祥祺

华东理工大学 数学学院 上海 200237

引言

教育评价事关教育发展方向，为深入贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和全国教育大会精神，教育部把深化教育评价改革作为重点攻坚任务，形成了指导深化新时代教育评价改革的纲领性文件《深化新时代教育评价改革总体方案》。方案指出，要创新德智体美劳过程性评价办法。

过程性学习评价(Process Evaluation)是建构评价时期的产物。与传统目标取向的发展性评价和形成性评价等方法相比，这类评价从关注教育的目标转向关注教育的过程，强调知识学习与建构过程中反馈的及时指导性[1]。而大量研究文献已表明，经过科学合理设计的过程性考察与评价对于学生的学习有正向的促进作用[2-5]。

在计算机、互联网和人工智能技术高度发达的今天，机考已经越来越普遍[6-7]。而选择题可以说是最适应机考的题型之一。计算机批改选择题可以极大减轻教师人力负担，提高批改效率，同时还可以给出准确、科学的考情分析。但是选择题题型本身的特点使得即便是没有掌握知识点的考生，也有猜对选项的可能性[8-9]。显然，并非所有的课程目标都适合用选择题的形式来考核，所以，一般的试卷构成也都是采用主观题与客观题相结合的形式。本文仅以测试中的选择题部分为例。那么考生滥竽充数的可能性有多大？进一步，如果身为教师，如何设置选择题的难度，更容易区分学生对知识的掌握水平。本文从数学统计的角度对选择题的出题难度做出一些探讨。

本文为了更好地探讨选择题对考试结果和对区分学生知识掌握程度的影响，提出3个基本假设。假设试卷全部为选择题，且选择题个数为100个；假设每道选择题分数为1分，总分为100分，通过考试分数判断学生是否合格；假设每个选择题的选项个数相同，选择题难度系数为p，题目难度越低，考生答该题对的概率就越高。

1 统计建模

1.1 模型1及格率模型

由100道选择题组成的考卷中，完全靠猜测通过考试的概率。以k分及格线，根据概率论中的二项分布[10]，计算凭借运气答对k题或者k题以上的概率为

以及格线k=60分为例，当难度系数较低，即单道题目答对的概率为0.7时，在100道选择题答对60题或者60题以上的概率高达为0.98以上；而当单道题目难度系数不断提高，答对的概率不断降低，通过考试的概率也不断降低，具体见图1。当单道题目难度超过0.7，答对的概率小于等于0.3时，靠猜通过考试的概率几乎为0。

图1 不同难度系数的及格率分布图

图2 不会题目个数与及格率之间的关系图

从上面的计算结果中不难发现：当只有少量题目不会时，通过猜测做选择题，通过考试的可能性是很高的。但是当有比较多的题目不会，靠选择题猜测，蒙混过关的可能性会变越小。除此以外，选择题难度系数越高，靠猜测过关的概率就越小。

1.2 模型2选择题的合理性模型

考试的目的是要检验学生学习的成果或者是考量某人对某些事物的认知和掌握程度，那么如何选取选择题或者使得用哪些手段能够减少选择题答题过程中的运气成分，进一步改进模型。

试卷中每道题目的难度不同。将一个题的难度系数定义为该题不能被解出的概率。根据大数定理，这个概率用考生中不会做该题的学生所占的比例（频率）来近似。这个百分比是可以通过若干年的教学实践，用统计方法计算得到的。

对于单个题目，假设针对有n个选项，难度为p的选择题；记A为题目被答对；B为学生真正完全会求解该题。利用概率论中的贝叶斯公式[11]知，在所有答对题目的学生中确实懂的条件概率为P(B|A)：

因此选项n越多，在所有答对题目的学生中不是猜对的条件概率越大；难度系数p越小，在所有答对题目的学生中确实懂的条件概率越大。

从理论上说，选项越多，在所有答对题目的学生中确实懂的条件概率越大，而实际上却很难办到，除了卷面有限的因素外，对出题老师来说也不可能杜撰太多的似是而非的假选项。同时对学生来说，可以通过他已有的知识可以去掉若干错误选项。因此，选项大于2的情况下，有百分比为的学生可以正确的排除第i个选项，余下的选项将通过随机选择来答题，利用贝叶斯公式可知，在所有答对题目的学生中确实懂的条件概率为：

因此选择题的选项设计对出题者来说是非常重要的。选项越多，在所有答对题目的学生中确实懂的条件概率就越大。但是如果在选项中有某些选项是比较容易被剔除的，那么容易剔除的选项越多，则在所有答对题目的学生中猜测的条件概率越大。因此在出题中各个选项设计要仔细斟酌。题目的难度p越小，在所有答对题目的学生中确实懂的条件概率也越大。

2 考场纪律对选择题的重要性讨论

对于具备四个选项的单选题，假定其中有两个选项是可以被所有考生轻易排除的，而剩下的两个选项中，有一个是正确选项，另一个是非常具有迷惑性的选项。我们还假设同场考试的人当中，有的考生对这道题目考查的知识点较为熟悉，因此有的概率做对；剩下的考生则极易被错误选项所迷惑，只有的概率做对。假设有一名对知识点不熟悉的考生，通过作弊手段看了两个同学的答案，发现他们的选项都是A，于是就也填了A选项。那么这个考生通过作弊手段答对这道题目的概率是多大？

3 结束语

从上述讨论可以得出，只要在考卷中出现选择题，那么猜测就一定存在，但是靠运气通过考试的可能性几乎为零。同时对于教师而言，可以考虑增加选择题的选项个数，增加选项的混淆性提高难度，增强考试纪律的管理，从而使得以单项选择题为主要题型的考试能更加有效地区分学生的学习效果，提高教学效率，更好地实现教学中的过程性学习评价。