二能级原子与单模光场相互作用公式推导

程博文，公丕锋，张金锋，杨远贵

二能级原子与单模光场相互作用公式推导

程博文，公丕锋，张金锋，杨远贵

（淮北师范大学 物理与电子信息学院，安徽 淮北 235000）

Jaynes-Cummings模型；二能级原子；单模光场

近年来光与物质相互作用是一个非常热门的研究领域．在涉及到原子和光场相互作用的问题中，最简单的模型就是二能级原子和单模光场的耦合作用模型．在上世纪60年代，Jaynes和Cummings在研究微波激射时提出了Jaynes-Cummings 模型（以下简称“J-C模型”）[1]，它是描述二能级原子系统与单模光场（或一维量子谐振子）相互作用的最简单模型．基于腔QED实验，是从实验上实现J-C模型的主要方案，给出二能级原子和光学腔相互作用的动力学行为及其能谱[2-3]．该模型的哈密顿量具有一个非常简单的形式，如果二原子能级与驱动场之间保持共振或者接近共振，而其他能级对驱动场是失谐的，在这种情况下二能级原子描述才是有效的．通过一些有效的近似方法使问题进一步简化，二能级原子-单模光场相互作用约化为一种能够得到精确解的模型，原子和光场相互作用的基本特征可以保留．J-C模型为研究原子与机械模之间的量子纠缠奠定了基础，量子纠缠在量子通信领域是非常有用的一个物理资源[4]．左战春[5]等也研究了关于二能级原子与单模光场的三体纠缠态的演化．在研究光与物质相互作用的Rabi模型中，其哈密顿量包含旋波项和反旋波项[6]．J-C模型的哈密顿量是在忽略掉反旋波项的情况下构建出来的，它比Rabi模型的哈密顿量少了两项．本文基于偶极近似的方法推导了二能级原子与多模光场相互作用的哈密顿量，得到了单个二能级原子与单模光场的相互作用模型，即J-C模型．计算了几率波函数的振幅，并得到了相干态下光子数概率分布和原子布居数演化规律．

1 Jaynes-Cummings模型与其哈密顿量的推导

符合本征值方程

式中

式（10）中哈密顿量可写为

式（12）的哈密顿量可化为

且泡利算符服从对易关系

这种形式的哈密顿描述的是一个二能级原子与多模光场相互作用的模型．

该哈密顿是在偶极近似和旋波近似下描述单模光场与一个二能级原子的相互作用．这是量子光学中一个非常重要的哈密顿量，也就是Jaynes-Cummings模型，是可以获得精确解的一个例子．在相互作用绘景下处理起来非常方便，哈密顿量可变为

可化为

2 计算与结果分析

利用几率幅的方法，几率波函数的运动方程为

微分方程组（27）（28）是耦合在一起的微分方程组．给定初始条件下是可得到精确解析解的，几率幅的通解为

把式（32）（33）代入式（36）可得

图1 在相干态下，，时光子数概率分布

图2 时原子布居数的演化

在半经典理论中认为在缺乏外加驱动场的情况下，原子处在激发态是不能自发跃迁到基态的．但式（37）告诉我们在真空场中原子是可能自发地从激发态跃迁到基态，即为自发辐射，该辐射是由单模场驱动造成的．关于原子在真空中有多个真空模引起的自发辐射过程的具体研究，在以后的工作中再讨论．该推导工作对物理学专业学生理解量子力学规律在量子光学中的应用有一定参考意义．

[1] Jaynes E T，Cummings F W．Comparison of quantum and semi classical radiation theories with application to the beam maser[J]．Proceedings of the IEEE，1963，51（1）：89-109．

[2] Haroche S，Kleppner D．Cavity quantum electrodynamics[J]．PhysToday，1989，42（1）：24-30．

[3] Sorensen A S，van der Wal C H，Childress L I，et al．Capacitive coupling of atomic systems to microscopic conductors[J]．Phy Rev Lett，2004，92（6）：063601．

[4] 廖庆洪，张旗，刘晔．J-C 模型和原子-腔光力学系统中的纠缠交换[J]．光学技术，2017，43（2）：97-99．

[5] 左战春，夏云杰．Tavis-Cummings模型中三体纠缠态纠缠量的演化特性[J]．物理学报，2003，52（11）：2687-2693．

[6] Rabi I I．On the process of space quantization[J]．Physical Review，1937，51（8）：652．

Formula derivation of the interaction between a two-level atom and single mode optical field

CHENG Bowen，GONG Pifeng，ZHANG Jinfeng，YANG Yuangui

（Department of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China）

Jaynes-Cummings model；two-level atom；single mode optical field

1007-9831（2023）12-0055-05

O483

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.12.010

2023-09-15

安徽省高等学校科学研究重大项目（2022AH040068）；安徽省大学生创新创业项目（S2022103730104）；安徽省教学示范课理论力学项目（2020SJJXSFK2143）；安徽省课程思政建设研究项目（2020kcszyjxm215）

程博文（2003-），男，安徽安庆人，在读本科生．E-mail：2773154720@qq.com

公丕锋（1977-），男，山东临沂人，讲师，硕士，从事量子光学与光催化研究．E-mail：tuhan2010@126.com