一道常微分方程题目的一题多解

摘 要：常微分方程是数学分析、高等代数的后继课程，对培养学生学习和研究能力具有重要作用。对常微分方程的题目进行一题多解的讲授，可使學生从多个角度体会解题方法、解题技巧，提高学生的发散思维，从而加深学生对常微分方程基本理论、基本方法的理解，提高教学效果。 本文利用积分因子法、伯努利方程、常数变易法、变量替换法、Matlab法求解一道一阶常微分方程的题目。

关键词：积分因子；伯努利方程；常数变易；变量替换；Matlab

1 概述

微分方程的发展与微积分的发展是交织在一起的，17世纪，牛顿对特殊的一阶微分方程用无穷级数求解；莱布尼兹发现了变量分离方程，给出了一阶线性微分方程的求解方法；伯努利将力学中的问题转化为微分方程问题并进行求解。18世纪，欧拉给出了一阶微分方程恰当积分的条件，发展了积分因子理论。这段时期是微分方程“求通解”的时代，即将常微分方程的求解问题转化为积分问题，希望用初等函数或超越函数表示其解。［1］直到刘维尔证明里卡蒂（Riccati）方程不存在一般的初等解法，数学家们意识到并不是任何一阶微分方程都可以用初等解法求解。尽管初等解法可解的方程类型有限，但在处理实际微分方程问题时这些方法非常有效。［14］

学生在学习一阶微分方程的初等解法时，要熟悉各种类型方程的解法，准确快速地判断出给定方程的类型，并用相应的方法求通解，这是最基本的要求。但仅仅做到这种程度还不够，实际练习过程中，我们可能会遇到不是直接能观察出方程类型的题目，这就要求教师在教学过程中，要注意引导学生从不同的角度出发，根据方程具体特点，通过引入适当的变量替换，或者转换自变量和因变量的地位，将已有的微分方程转化为易于求解的类型，进而提高学生分析问题、解决问题的能力，拓展思路，培养学生的发散思维和探索精神。所以在教学过程中，教师可以通过一阶微分方程的初等解法的题目来培养学生发散思维。

文献［57］使用多种方法解决一阶常微分方程的求解问题，受文献［57］启发，本文以文献［2］中习题2.5的第1题第7小题为例，利用微分方程理论，给出7种不同的解法，进而锻炼学生一题多解的能力，培养学生的发散思维。

2 解法研究

例：求微分方程y3dx+2（x2－xy2）dy=0 （1）的通解。

2.1 解法一

把x和y平等看待，判断出（1）不是恰当方程。参考文献［8］中求非恰当方程积分因子的方法，假设（1）有形如μ（x，y）=xαyβ的积分因子，利用比较系数法求出α和β，再用凑微分法求通解。

M（x，y）=y3，N（x，y）=2（x2－xy2），则My=3y2，Nx=4x－2y2，由于My≠Nx，且My－Nx－M=5y2－4x－y3，My－NxN=5y2－4x2（x2－xy2），因此方程（1）不是恰当方程，且（1）式的积分因子既与x有关，又与y有关，又观察到M（x，y）和N（x，y）都是关于x和y的多项式，不妨假设（1）式有积分因子μ（x，y）=xαyβ，则xαy3+βdx+2（x2+αyβ－x1+αy2+β）dy=0是恰当方程，因此（xαy3+β）y=（2x2+αyβ－2x1+αy2+β）x，即（3+β）xαy2+β=2（2+α）x1+αyβ－2（1+α）xαy2+β，比较系数可得2+α=0

5+β+2α=0，可以得到α=-2

β=-1，因此，方程（1）的一个积分因子为μ（x，y）=1x2y。

方程（1）两端同乘以1x2y，得到y2x2dx-2yxdy+2ydy=0 （2），该方程是恰当方程。

对于恰当方程，我们可以直接凑微分得d（-y2x）+d（lny2）=0，因此通解为lny2-y2x=c，c为任意常数。

注1：对于一些方程，如果设积分因子形式为μ（x，y）=xαyβ，但是按照恰当方程的充要条件却算不出α和β的值，这就说明方程没有形如μ（x，y）=xαyβ的积分因子。

进一步地，我们可以给出方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0有形如μ（x，y）=xαyβ积分因子的充要条件。

定理：假设M（x，y）和N（x，y）为关于x和y的多项式，方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0有形如μ（x，y）=xαyβ积分因子

My-NxαNx-βMy=1。

证明：由恰当方程判定的充要条件知，方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0有形如μ（x，y）=xαyβ积分因子。

y（xαyβM）=x（xαyβN）

βxαyβ-1M+xαyβMy=αxα-1yβN+xαyβNx

xαyβ（My-Nx）=αxα-1yβN-βxαyβ-1M

xy（My-Nx）=αyN-βxM

xy（My-Nx）αyN-βxM=1

My-NxαNx-βMy=1

2.2 解法二

先分组求积分因子，再利用恰当方程的判定或直接利用公式求通解。引理［2］若μ=μ（x，y）是方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0的一个积分因子，使得μM（x，y）dx+μN（x，y）dy=du（x，y），则μg（u（x，y））也是方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0的一个积分因子，其中g（·）是任意的可微函数。

将方程（1）进行分组y3dx-2xy2dy第一组+2x2dy第二组=0，由观察知，第一组有积分因子μ1（x，y）=1xy3，第二组有积分因子μ2（x，y）=1x2，因此1xdx-2ydy=d（lnxy2），2dy=d（2y），即第一组和第二组对应的原函数分别为u1（x，y）=ln（xy2），u2（x，y）=2y，由定理知，μ1g1（u1）是第一组的积分因子，μ2g2（u2）是第二组的积分因子，其中g1，g2是任意的可微函数。如果选取g1（t）=e-t，g2（t）=2t，则μ1g1（u1）=μ2g2（u2）=1x2y：=μ，所以μ=1x2y是方程（1）的一个积分因子。

利用恰当方程的判定求解。

求u（x，y）使其满足ux=y2x2 （3），uy=2y-2yx （4），将（3）对x进行积分，得到u（x，y）=-y2x+φ（y） （5），将（5）对y求导，并由（4）得到uy=-2yx+φ′（y）=2y-2yx，因此dφ（y）dy=2y，解得φ（y）=lny2。

因此，方程（1）的通解为lny2-y2x=c，c为任意常数。

也可直接利用公式求通解，

∫M（x，y）dx+∫N（x，y）-y∫M（x，y）dxdy

=∫y2x2dx+∫2y-2yx-y∫y2x2dxdy

=-y2x+lny2=c

其中c为任意常数。

2.3 解法三

化为伯努利方程求解，将方程（1）化成dydx=y32（xy2-x2）的形式，发现该微分方程的求解比较困难，但是若把y当作自变量，x当作未知函数，方程可化为n=2的伯努利方程。

dxdy=2yx-2x2y3（n=2），令z=x-1，则：dzdy=-1x2dxdy=-2yz+2y3 （6）

方程（6）是以y为自变量，z为因变量的一阶线性微分方程，可以用常数变易法求其通解。

首先求（6）对应齐次方程dzdy=-2y的通解z=ce∫-2ydy=cy2，然后利用常数变易法求（6）的通解，设（6）的通解为z=c（y）y2，那么dzdy=dc（y）dy·1y2-2y3，代入（6）得到dc（y）dy=2y，解得c（y）=lny2+c-，则原方程的通解为1x=lny2+c-y2，c-为任意常数，化简后与解法一、二的结果一致。

事实上，伯努利微分方程dydx=p（x）y+q（x）yn（n≠0，1）的通解公式为y1-n=e（1-n）∫p（x）dx（（1-n）∫q（x）e-（1-n）∫p（x）dx+c），本题中把y当作自变量，x当作未知函数，因此，p（y）=2y，q（y）=-2y3，直接利用公式求解：

x-1=e-∫2ydy（-∫-2y3e∫2ydydy+c）

=1y2（∫2ydy+c）

=lny2+cy2

其中c为任意常数。

2.4 解法四

对方程dxdy=2yx-2x2y3两边同时除以x2，得到1x2dxdy=2y1x-2y3，先把dx进行凑微分，得到-d（1x）dy=2y1x-2y3，此时令z=1x，上述方程化为dzdy=-2yz+2y3。

直接代入一阶线性微分方程通解公式。

z=e∫p（y）dy（∫q（y）e∫-p（y）dydy+c）

=e∫-2ydy（∫2y3e∫2ydy+c）

=lny2+cy2

其中c为任意常数，与前三种解法结果一致。

2.5 解法五

将原方程改写为dxdy=（2y-2xy3）x，可利用常数变易法求解。

首先求dxdy=2yx的通解，其通解为x=ce∫2ydy=cy2。

其次用常数变易法求原微分方程的通解，设x=c（y）y2，则dxdy=c′（y）·y2+c（y）·2y=（2y-2c（y）y2y3）c（y）y2，整理化简得到-dc（y）c2（y）=2ydy，通解为1c（y）=lny2+c-，因此原方程通解为x=y2lny2+c-，c-为任意常數，化简后与解法一、二、三、四的结果一致。

2.6 解法六

将方程（1）转化为dxdy=2yx-2x2y3后，可做变量替换z=xy，得到dxdy=z+ydzdy=2z-2z21y，y≠0时，上式化简为dzdy=zy-2z2y2，该方程经变量替换u=zy后为变量分离方程。

因此，可直接做变量替换u=xy2，则x=uy2，dxdy=y2dudy+2uy=2uy-2u2y，因此dudy=-2u2y，这是变量分离方程，通解为1u=lny2+c，因此原方程的通解lny2-y2x=c，c为任意常数。

2.7 解法七 Matlab法

Matlab具有数值计算和符号计算等功能，下面利用Matlab软件中的dsolve函数［9］求方程dxdy=（2y-2xy3）x的符号解。

输入命令

dsolve（'Dx=2*x*（y^2-x）/y^3'，'y'）

输出

ans=

y^2/（C1+2*log（y））b

0

通解化简后与前六种方法一致。

3 解法小结

解法一、解法二分别使用了待定系数法和分组组合法求出了方程（1）的积分因子，然后用凑微分法、恰当方程的判定法、公式法对得到的恰当方程求通解。这两种方法是求解一阶微分方程的基本解法，可以求解一大类一阶微分方程的题目，应该要求学生熟练掌握。解法三将方程进行化简，得到易求通解的伯努利方程，引入变量替换后将伯努利方程转化为一阶线性微分方程。解法四在解法三的得到伯努利方程的基础上，直接进行凑微分换元，一阶线性微分方程。解法五直接将化简后的方程利用常数变易法求解。解法三、四、五反映了学生对一阶线性微分方程解的结构的理解，应该要求学生熟练掌握。解法六引入新的变量替换，将方程转化为更易求解的变量分离方程，这种解法比较灵活，学生需要多观察、多练习，积累经验。解法七给出了一种Matlab解法。一题多解的案例激发了学生的学习兴趣，培养了学生的发散思维。

参考文献：

［1］王高雄，周之铭.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［2］袁荣.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［3］丁同仁．常微分方程［M］．北京：高等教育出版社，2010．

［4］［美］克莱因（M.Kline）.古今数学思想［M］.张理京，张锦炎，译.上海科学技术出版社，1979.

［5］史周晰，赵临龙.一类常微分方程的解法研究与推广［J］.科技风，2023（4）：98100.

［6］林均，罗日才.一道常微分方程题的几种解法［J］.高等数学研究，2021，24（03）：5456.

［7］朱华，杨广宇.基于微分方程的教学案例研究［J］.高等数学研究，2023，26（03）：9597.

［8］赵莉莉.积分因子与积分因子法［J］.高等數学研究，2023，26（03）：1922+25.

［9］邓丽莹，梁倩倩，罗媚，等.MATLAB在求解常微分方程积分因子中的应用［J］.科技风，2019（10）：3536.

作者简介：李晓彤（1996— ），女，汉族，山东德州人，硕士研究生，助教，从事图论研究。