以数学文化加强数学课程思政

王 尧

教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》明确提出:“全面推进课程思政建设,就是要寓价值观引导于知识传授和能力培养之中,帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观,这是人才培养的应有之义,更是必备内容。”数学课作为大学理工类专业最重要的基础课程,门类多、课时多,对学生成人、成长、成才影响大。但由于其学科和教学内容的特殊性,在教学中如何做好数学课程思政,如何实现教书与育人相统一、知识传授与思政教育相统一、“经师”和“人师”相统一,许多教师感到困惑。根据我们的教育教学实践经验,在教学中有意识地加强数学文化教育,是抓好数学课程思政的有效办法。

一、何谓数学文化

近年来,鉴于数学在现代科学技术中的基础地位和数学对人类社会的广泛而深入的影响,数学文化与数学文化教育越来越引起业界的重视,国内外举办过多次关于数学文化和数学文化课程教学的论坛或研讨会,全国有相当多的大学都开设了数学文化类课程,也有多种数学文化教材和著作出版。这些都充分说明,数学文化教育已经成为高教界关心和研究的一个重要内容。南京大学方延明在《数学文化》中阐述了数学文化的学科体系,数学文化的哲学观、社会观、美学观、创新观、方法论等。(1)方延明:《数学文化》,清华大学出版社,2007年,第41-152页。南开大学顾沛教授关于数学文化的描述是:“数学文化,简单说,是指数学的思想、精神、方法、观点,以及它们的形成和发展;广泛些说,除上述内涵以外,还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的关系、数学与各种文化的关系,等等。”(2)顾沛:《数学文化》,高等教育出版社,2008年,第2页。这是从数学观角度给出的数学文化定义。“虽然现在有关数学文化的论文、专著和课程已经很多,但至今并没有一个获得学术界广泛认可的数学文化定义。”(3)刘洁民:《数学文化:是什么和为什么》,《数学通报》,2010年第11期。因此,有必要进一步探讨数学文化这个概念。

对于普遍意义上的文化概念,著名文化学者余秋雨给出的定义是:“文化,是一种包含精神价值和生活方式的生态共同体。它通过积累和引导,创建集体人格。”人格指的是一个人的生命格调和行为方式,集体人格是指一群人在生命格调和行为方式上的共同默契。这种共同默契不必订立,而是深入潜意识当中成为一种本能。(4)余秋雨:《何谓文化》,长江文艺出版社,2012年,第6页。我们理解,文化是“体”与“魂”的统一,是形式与内容的统一,是精神与物质的统一,是理论与实践的统一。例如茶文化,喝茶是人们普遍的一种生活方式,茶的品种有红、白、绿、黑、花等,喝茶有专门的茶具,理论方面有《茶经》,精神上有茶道、有茶圣陆羽。文化包含“人化”和“化人”两个方面,“人化”是按人的方式改变、改造世界,使事物带上人文的性质;“化人”是反过来,再用这些改造世界的成果来培养人、装备人、提高人,使人的发展更全面、更自由。在不同地域,同类文化的特征可能有所不同,如西北民歌与东南民歌是有显著差异的。但有些文化会超越地域,如自然科学、技术、发明等。

何谓数学?恩格斯指出:“数学是研究数量关系与空间形式的一门科学。”(5)[美]怀尔德:《作为文化体系的数学》,谢明初译,华东师范大学出版社,2019年,第247-248页。古希腊的亚里士多德指出:“数学所研究的量与数,并不是那些我们感觉到的、占有空间的、广延性的、可分的量和数,而是作为某种特殊性质的(抽象的)量和数,是我们在思想中将它们分离开来进行研究的。数学对象只是一种抽象的存在,也就是人类抽象思维的产物。”(6)[古希腊]亚里士多德:《形而上学》,吴寿彭译,商务印书馆,1959年,第7页。

数学是一种不依赖人类思维的独立存在,还是人类抽象思维的产物?英国大数学家哈代说:“我认为,数学的实在存在于我们之外,我们的职责是发现它或遵循它。”(7)[英]哈代:《一个数学家的自白》,李泳译,湖南科技出版社,2007年,第15页。但是非欧几何的出现证明,数学不仅是客观实在,也是人亲手创造的,它仅仅服从思想法则所设定的限制。数学大师陈省身说:“数学家经常在家里思想问题,想出来的东西为什么会有用?我想,主要的原因就是它的基础非常简单,又十分坚固,它的结果是根据逻辑推理得出来的,所以完全可靠。逻辑推理比实验证实所获的结果要更为可靠些。数学由于它的逻辑可靠性,因而是一门有坚实根底的学问,这是数学有用的一种解释。”(8)《国际数学大师陈省身谈二十一世纪的数学》,《高等数学研究》,2001年第2期。

数学既是人类精神文明的一部分,又是物质文明的产物。数学是一种文化,这是 20 世纪 60 年代数学教育界提出的一种新观点。最早系统提出数学文化观的是美国科学院院士、数学会前主席怀尔德,他在著作《数学概念的进化》和《作为文化体系的数学》中从文化的生成理论、发展理论等方面提出数学文化体系的概念。怀尔德认为数学是一个由于内在力量与外在力量共同作用而处于不断发展和变化之中的文化系统。数学是人类主体文化体系的一个子文化体系,数学文化由数学传统及数学本身所组成。他在《作为文化体系的数学》中明确列举了影响数学文化发展的11种力量。M.克莱因在《数学与文化——是与非的观念》中指出:“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言。数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系,其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用,同时影响着政治家和神学家的学说,满足人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想,甚至可能以难以察觉到的方式无可置疑地影响着现代历史的进程。”他还在《西方文化中的数学》中写道:“数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度,也正是这种精神,试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回答人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵。”“数学一直是形成现代文化的主要力量,同时又是这种文化极其重要的因素。”数学文化对其他文化有重要影响,譬如我国古代先秦诸子、国学奠基者们就将其人文核心思想用数学命题来进行阐释,如“无规矩,难以成方圆”“规规矩矩做人”“以法律为准绳”“不管三七二十一”“事业坐标”“人生轨迹”等。

根据上面众多学者的研究,笔者认为,所谓数学文化,就是在数学的发现、发明和发展及应用过程中形成的生态共同体,这个生态共同体包括数学语言、数学思想、数学方法、数学成果、数学应用和数学精神等。在这个意义上,我们认为数学文化主要包含以下六个方面内容:(1)数学史、数学家故事,(2)数学语言、思想、方法,(3)数学发现、发展和创新,(4)数学美、数学特征,(5)数学在科学中的应用,(6)数学精神、数学教育。

数学教育不只是知识教育,本质上是一种素质教育。自觉的数量观念,使人认真注意事物的数量及其变化规律,而不是凭感觉做决定、办事;严密的逻辑思维能力,使人能保持思路清晰、条理分明,有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作;高度的抽象思维能力,使人面对错综复杂的现象,能分清主次,抓住主要矛盾,不会一筹莫展;数学推导的认真细致,不含糊敷衍,有助于培养一丝不苟的作风和习惯。因此,加强数学文化教育是做好数学课程思政的有效方法和途径。人文社科类课程思政是显性教育,但对于数学课程来讲更多的是隐性教育。数学文化具有人文教育功能,有利于培养创新精神,提高审美能力,增进理性体验,注重情感和意志,树立正确的价值观;数学具有德育和思政功能,使人体会科学思考、掌握科学方法、学会理性思考、正确判断是非,帮助学生形成正确的世界观、人生观和价值观,培养学生敢于挑战困难、以破解难题为乐的精神。但是从过去实际数学教学来看,普遍重视数学知识和技能教育而忽视数学文化教育,传授数学知识多、数学文化少,或者把数学文化教育简单看作数学史教育。数学课堂的教学经常是“陈述”多、“情感”少,“独唱”多、“启发”少,“导学”多、“导人”少。其根源在于教师在思想上重“知识”、轻“思政”,重“传授”、轻“启智”,重“教案”、轻“目标”,重“传承”、轻“创新”,重“教学”、轻“教研”。有些学校专门开设数学文化课,但是,把数学文化教育恰当融入数学知识教学,对于培养学生数学思维、树立唯物辩证观、启迪智慧、提高创新能力,对于做好数学课应有的课程思政、立德树人,能够发挥更好的作用。

二、数学教学中如何融入数学文化教育

“课程思政”就是教育者结合课程内容、思想、场景等实际,积极挖掘和运用各类教育、教学内容本身所蕴含的思想政治教育元素,对学生进行润物无声的思想政治影响的教育实践。(9)王尧:《再论课程思政:概念、认识与实践》,《中国大学教学》,2022年第7期。教育部《高等学校课程思政建设指导纲要》明确指出:对于理学、工学类专业课程,“要在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来,提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。理学类专业课程,要注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育,培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。工学类专业课程,要注重强化学生工程伦理教育,培养学生精益求精的大国工匠精神,激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。”结合数学课程的具体教学内容,适当选择数学文化内容植入教学中,可以有效提升数学课程思政水平。下面,按照前面所说的数学文化的六个主要方面内容,我们给出一些可以融入教学的典型案例。

(一)引入数学史、数学家故事

公元前十一世纪,周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”,即商高定理,比西方早500年。三国时期东吴数学家赵爽用几何图形的截、割、拼、补把四个直角三角形拼起来得到一个大的正方形,里面包含一个小的正方形,通过比较面积证明了勾股定理。这个证明清晰、干净、利落、巧妙,极富美感和创新意识,既严密又直观,是中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的一个典范,在世界数学史上具有独特的地位。2002年在北京举行的国际数学家大会,会徽就选择了《周髀算经》中这个勾股定理证明的图形。又如,华罗庚传奇的一生,他每篇论文都有资格获得博士学位,他被芝加哥科学技术博物馆列为当今世界88位数学伟人之一。数学史家评价:“华罗庚是中国的爱因斯坦,足够成为全世界所有著名科学院的院士”。经国际天文联合会批准,国际编号364875号的小行星被命名为华罗庚星。华罗庚爱国报国的精神更是感人。1949年,他放弃美国伊利诺伊大学终身教授身份毅然回到新中国参加建设,并在香港发表了致留美学生的公开信:“受了同胞们的血汗栽培,成为人才之后,不为他们服务,这如何可以谓之公平?如何可以谓之合理?……为了选择真理,我们应当回去;为了国家民族,我们应当回去;为了为人民服务,我们也应当回去!”再如,获国家最高科学技术奖、2019年被授予“人民科学家”国家荣誉称号的吴文俊先生,为拓扑学做了奠基性工作,研究成果被国际数学界称为“吴公式”“吴示性类”。他60岁开始学习计算机编程,开创了数学机械化证明研究新领域,也成为人工智能的先驱。

(二)传播数学语言、思想、方法

如同乐谱利用符号来代表声音一样,数学也用符号表示数量关系和空间形式。数学语言是慎重的、有意的而且经常是精心设计的,数学家们凭借严密和简洁的数学语言表达和研究数学思想,而如果用普通语言表达就会显得冗长不堪。例如线性代数课程把线性方程组的求解、线性变换性质研究都转化为矩阵相应问题的研究,化难为易、化繁为简。正如马克思所说,这种从一种形式到另一种形式的转换,不是简单的数学游戏,它是数学科学的有力杠杆。又如,解析几何课程中的数形结合方法。坐标系的伟大在于它沟通了几何与代数,几何的概念得以用代数表示,几何的目标也可以通过代数求解获得。反过来,可以利用几何来解释代数,使代数具有了形象直观的优势,还可以借助几何去发现新的代数结论。各个方向的相互联系恰恰反映了数学的活力。又如,对高等数学知识体系进行哲学思想诠释,在微分学部分,教师讲完三大中值定理(罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理)后,指出这是在内容上遵循从简单到复杂、从特殊到一般的规律。在积分学部分,三大公式(格林公式、高斯公式、斯托克斯公式)统一于流形上的斯托克斯定理。著名数学家拉普拉说:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率问题。”概率论是“生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,我们将寸步难移,无所作为。”严加安院士的《悟道诗》曰:“随机非随意,概率破玄机。无序隐有序,统计解迷离”,表达了对概率统计学科本质的彻悟。

(三)介绍数学发现、发展与创新

1900年的世界数学大会上,希尔伯特发表了著名演讲——《数学问题》。他根据十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题,后来成为许多数学家力图攻克的难关。曾有人问希尔伯特:你为什么不去解决这些难题呢?希尔伯特回答说:我不想杀死会下金蛋的鹅。素数问题,包括哥德巴赫猜想及孪生素数问题等,理解容易,证明却极其艰难。这23个问题对现代数学研究和发展产生了极其深刻的影响和推动作用。1930年,希尔伯特在退休演讲中的最后一句话是:“我们必须知道,我们必将知道”,表达了数学家的坚毅品格和敢于挑战困难的坚定信心。哥德巴赫猜想的最佳结果属于中国数学家陈景润。2013年5月,北大校友、华人数学家张益唐在58岁时突破孪生素数猜想。英国大数学家哈代曾说过:我从不知道有哪个数学上的重大突破是由一个超过五十岁的人提出来的。吴文俊院士和张益唐的杰出贡献打破了哈代的断言。张益唐执着的追求、坚毅的品格和以挑战困难为荣的事迹给人们很多启示:兴趣是创新的动力,坚持梦想深挖下去,不要被名人名言羁绊。

(四)展现数学美、数学特征

数学家、哲学家罗素说:“数学,如果正确地看它,不但具有真理,而且也具有至高无上的美,正如雕塑的美是一种冷而严肃的美。”冯·诺依曼说:“数学家无论选择题材还是判断能否成功的标准,主要是遵循美学原则。科学史上有不少例子,在其中正是数学的美给了科学家以必要的信心,从而才能在逆境中坚持自己的理论或新的创见。”例如,正是数学上的美使哥白尼坚信自己的日心说的真理性。爱因斯坦也自称是一个到数学的简单性中寻找真理的唯一可靠源泉的人,而简单性与和谐性都是数学美的重要方面。高度的抽象性、严密的逻辑性、应用的广泛性、描述的精确性、研究对象的多样性、内部的统一性等,是数学的基本特征。数学是一个有机的整体,它像一个庞大的、多层次的、不断生长的、无限延伸的网络,各层次的网络和结点之间是用严密的逻辑连接起来的。这种连接是客观事物内在逻辑的反映。

(五)启示数学在现代科技中的应用

当前,在一些科技前沿,中国被“卡住了脖子”,为什么?无用之用,众用之基。芯片制造离不开电子设计自动化,而这正是基于布尔代数;当代科技金融的基石是数论中的因子分解算法;市场经济理论的基础是亚当·斯密的分配论;人工智能发展的背后有贝叶斯定理的统计学;现代芯片技术最终要突破量子纠缠、二阶计算及SOAR等数学理论;区块链技术以椭圆曲线理论、哈希加密为基石。“卡脖子”问题的根源在于基础研究薄弱,而数学则是基础研究的基础,是其他科学研究的主要工具。拿破仑指出:“一个国家只有数学蓬勃发展,才能展现它国力的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。”任正非说:这30年,华为真正的突破是数学,手机系统设备是以数学为中心的。从1969年到2001年,50名诺贝尔经济学奖得主中有27人的主要贡献是运用数学方法解决经济问题。A.N.拉奥说:“一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量。”(10)张楚廷:《数学文化》,高等教育出版社,2000年,第1页。

(六)弘扬数学精神,传授数学教育方法

数学极其严格的逻辑,不断求真、求美、求新,数学家极其执著地追求、不断地自我超越、不断地开拓新领域,这些都给人以理性探索的精神。例如,数学家陈景润、陆家曦的事迹诠释了不断进取的精神、为真理献身的精神:北京大学鼓励学生不盲从权威、不盲从前人,自己推导、独立思考的教学思想培育了北大人自由探索、勇于批判的精神;王小云院士破解美国顶级密码,在她身上不光有着女性科学家闪耀夺目的光辉,更有属于数学人的家国情怀和责任担当。中国数学界“三代人”的美谈——熊庆来发现华罗庚,华罗庚发现陈景润;苏步青、谷超豪、胡和生、李大潜一门四院士,成为数学精神传递和人才培养的楷模。

数学教育家乔治·波利亚说:“认为解题是一种智力活动是错误的。如果学生在学校里没有尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐,那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。”华罗庚指导青年人的学习经验是:天才在于积累,聪明在于勤奋;读数学书,必须在面前放一支笔和一张纸;读书要“从薄到厚”,然后“从厚到薄”;弄斧必到班门。作为数学教师,在课堂上不仅要讲清知识,更应着力向学生揭示那些“火热的思考”,引导学生发掘和领会那些“火热的思考”。教师要告诉学生“定理”是如何“制造”出来的,以培养学生创新意识、创造方法和敢于挑战困难的勇气。