分数阶积分微分方程解的存在性

丁敏敏

(安徽中医药大学 医药信息工程学院,安徽 合肥 230012)

0 引言

近年来,分数阶微分积分方程在物理学等众多领域的应用中取得了重大进展.在力学控制理论和工程方面,分数阶积分微分方程获得了广泛的关注[1-7].

利用上下解方法及单调迭代技巧,Jankowski[8]研究了以下中立型Riemann-Liouville分数阶微分方程

其中f∈C(J×R5,R),θ∈C(J,J),θ(t)≤t,Dα是标准的Riemann-Liouville分数阶导数,α∈(0,1).通过应用迭代技术,Wang等[9]得到非线性中立型Riemann-Liouville分数阶积分微分方程唯一解的存在性结论.

其中f∈C(J×R5,R),θ∈C(J,J),θ(t)≤t,Dα,Dβ是Riemann-Liouville分数阶导数,Iγ是Riemann-Liouville分数积分.更多分数阶中立型积分微分方程的相关结果,详见文献[10].

本文利用分数阶型Gronwall不等式和不动点定理,研究了下列分数阶积分微分方程

(1)

解的存在性.

1 预备知识

记号C(I,R+),I=[a,b],表示从I到R+=[0,+∞)上所有连续函数组成的Banach空间,其范数为‖u‖:=sup{|u(t)|:t∈I}.另外用Cγ(I)表示定义在(a,b]上的并且满足条件(t-a)γf(t)∈C(I)的函数f组成的Banach空间,对应范数为‖u‖γ:=sup{|(t-a)γu(t)|:t∈I}.

定义1[1-2]f:[0,∞)→R是连续函数,f的δ阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为

这里假设等式右侧在(0,+∞)上是逐点连续的.

定义2[1-2]f:[0,∞)→R是连续函数,f的δ阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为

这里假设等式右侧积分存在.

引理2对于给定函数u∈C(J,R),方程

(2)

有唯一解:

引理3假设0<β≤α≤1,则方程(2)的唯一解有如下性质:

Dβx(t)=Iα-βu(t).

(3)

令Dαx(t)=u(t),t∈J.根据引理1和引理2,问题(1)可以转换成如下形式:

u(t)=f(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t)),

(4)

这里,Iα-β和Iα是标准的Riemann-Liouville分数积分.

定义3假设对于任意t∈J,有

u(t)=f(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t)),

(5)

则称函数x:J→R为方程(1)的温和解.

引理4[11]设u是定义在I=[a,b]上的非负连续函数,且设p(t):I→(0,∞)是一个非递减连续函数.假设q(t):I→[0,∞)是一个非递减连续函数.如果u满足不等式

(6)

则对于k∈N,(k+1)min{α1,α2,…,αn}>1,有

(7)

这里

定理1[12]设X是正规线性空间,K是X的凸子集,O是K的开子集,θ∈O(θ是X的零元素).假设T:O→K是全连续算子,其中O是O的闭包,那么

(1)T在O中有一个不动点.

(2)存在u∈∂O使得对于u=λTu,λ∈(0,1),其中∂O是K中O的边界.

2 存在性结果

首先,做如下假设:

(H)f∈(J×R3,R),存在常数c1>0,c2>0及函数c(t)∈C(J,R+),则

|f(t,x,y,z)|≤c(t)+c0(|x|+|y|+|z|),
t∈J,x,y,z∈R,
|f(t,x1,y1,z1)-f(t,x2,y2,z2)|≤
c1(|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|),
t∈J,xi,yi,zi∈R,i=1,2.

下面用不动点定理来证明(1)的解的存在性结果.

定理2若假设(H)成立.则(1)在J上至少有一个解.

证明定义算子F:C(J,R)→C(J,R)为以下形式:

(Fu)(t)=f(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t)),t∈J.

(8)

接着证明F是连续且全连续的.

步骤1F是连续的.

取数列un,令un→u∈C(J,R).根据假设条件(H),有

‖(Fun)(t)-(Fu)(t)‖=
‖f(t,un(t),Iα-βun(t),Iαun(t))-
f(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t))‖≤
c1(‖un(t)-u(t)‖+
‖Iα-βun(t)-Iα-βu(t)‖+
‖Iαun(t)-Iαu(t)‖)→0,

(9)

即F在J上是连续的.

步骤2F将C(J,R)中的有界集映射成有界集.即对于任意l>0,存在一个常数L>0,使得对任何

u∈Bl=

{u∈C(J,R):max{‖u‖,‖u‖γ}≤l},

有‖(Fu)‖≤L.根据假设条件(H)和引理1知,存在常数L>0,使得

(10)

‖(Fu)‖≤L,t∈J,

(11)

这意味着算子F是一致有界的.

(12)

根据步骤1,2,3的结果,可以得出以下结论:F:C(J,R)→C(J,R)是连续和全连续的.

步骤4方程u=λFu,0<λ<1在∂Bl上无解,其中

Bl={u∈C(J,R):max{‖u‖,‖u‖γ}≤l}

是有界的.

令u∈∂Bl,则存在0<λ<1,使得u=λFu,因此有

u(t)=λf(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t)),
t∈J,λ∈(0,1),

(13)

根据假设(H)和引理4,类似步骤2的证明过程,可证

|u(t)|<
|f(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t))|≤
c(t)+c0(|u(t)|+Iα-β|u(t)|+Iα|u(t)|)≤
cM+c0l+c0(Iα-β|u(t)|+Iα|u(t)|),t∈J,

(14)

且

(15)

其中,Pk(t),Hk+1(t,s)如引理4定义.因此u∉∂Bl,所以∂Bl上的算子方程u=λFu无解,0<λ<1.根据定理1,可得出算子F有一个不动点,这就是问题(1)的解.

3 结语

综上所述,本文利用不动点定理和分数阶Gronwall不等式,研究了一类分数阶积分微分方程解的存在性.文中证明了若所给假设(H)成立,则该类分数阶积分微分方程在J上至少有一个解.至此,分数阶积分微分方程(1)的解的存在性得以证明.