卷筒纸中的数学奥秘

陈文萍

你能想到一卷小小的卷筒纸，居然蕴含着数学奥秘吗？且听我细细道来。

在平常生活中，我们总会留意到，一卷使用过半的卷筒纸总是比想象中用得要快。这是为什么呢？

这跟卷筒纸的形状有关。卷筒纸是圆柱形的，使用之后，卷筒纸的直径就随之减小。在高度不变的情况下，卷筒纸的侧面积也在变小（如图1）。比如，刚开始使用的卷筒纸是最粗的、直径最大的圆柱体，一圈有四段纸（侧面积最大）。当卷筒纸使用超过一半的时候，这个圆柱体就变得很细了，一圈只有一段卫生纸（侧面积减小）。

一个人如果每次需要使用八段卫生纸的话，最初只需要两圈卷筒纸。慢慢的，就需要八圈才行。因此，从卷筒纸使用过半时起，我们就会感觉越用越快。

我遇到这样一道题（如图2），于是我展开了对第2小题的思考。

方法一

将卷筒纸全部拉出来，测量总长度。它的缺点是，要找到题目中指定大小的卷筒纸是很困难的。除此之外，也很少有人会真的这么做。

假设这卷卷筒纸是由很多个同心圆套在一起的，那么它最外侧的圆的直径就是12 cm。一层纸的厚度是0.01 cm，往内的下一个圆的直径则减少0.02 cm，变成11.98 cm，再往内的圆的直径则是11.96 cm……由内侧往外的第二个圆的直径是6.04 cm，而最内侧的圆的直径则是6.02 cm。

因此，各个同心圆的周长分别是12π、11.98π、11.96π、…6.04π、6.02π，卷纸的总长度为12π+11.98π+11.96π+…+6.04π+6.02π。

如果一步步計算的话，这个计算量太大了。我们要像天才数学家高斯在课上快速算出从1加到100的和那样，采用简便的算法。

S = 12+11.98+11.96+…+6.04+6.02

+ S = +6.02+6.04+6.06…+11.98+12

2S = 18.02+18.02+18.02+…+18.02+18.02=18.02×300=5406

S = 2703

总长度= S×π = 2703×π＝8487.42（cm）

我们在脑海中试着将所有的纸都拉出来，拉出来之后从侧面看，就是一个宽为0.01 cm的长方形（如图4）。

根据第1小题用圆环面积公式求出的阴影部分面积为84.78 cm2。假设卷筒纸全长为x cm，长方形的面积为0.01 x，则0.01 x =84.78，x=8478 cm。

看来，数学和生活实际密切联系，在日常生活中，我们要学做有心人。在做题时，有时候不妨可以从不同的角度去思考，可能就会有更好的方法！

数学真有趣！

浙江省绍兴市上虞区博文小学

指导老师   李湘婷