几类周期性delta 势的能带解

陆金成，陈泽欢，王 晨

（1.苏州科技大学物理科学与技术学院，苏州科技大学江苏省微纳热流技术与能源应用重点实验室，江苏 苏州 215009；2.浙江师范大学物理与电子信息工程学院，浙江 金华 321004）

0 引言

在量子力学中，势能是一个非常常见并且重要的概念，许多基本问题都涉及了对于势能的讨论[1]。在量子力学的教学过程中遇到的最多形式的势能通常是方势能。而它的一种理想情况为delta 势。delta 势在教学与科研中频繁使用[2]。而采用了由delta 势所改进的量子粒子群-反向传播模型，则显著提升了BP 算法预测的精准度以及泛化性[3]。相比之前的模型，量子粒子群-反向传播模型所得到的误差也越小[4]。同样的，在研究非互易波二极管以及波的传播过程中[5]，也通常会将非线性的交界面简化成一个delta 势来讨论，从而更好的解析得到波函数的表达形式。

在量子力学的教学过程中，接触过单delta 势的问题，由于delta 势所在位置的一阶导数不存在，由此推导出了delta 势所特有的一阶导数跃变条件，结合波函数的连续性得到了相应的波函数与能级表达式。本文从固体物理学中一经典例题出发[6]，在单delta 势的基础上利用Bloch 波的形式讨论了周期性的单delta 势，Bloch 定理与单delta 势的解法相结合得到了相应的能带解析解。在这之后笔者不由想问周期性的双delta势。二维周期性的单delta 势等是否也能通过这样的方法解析解？于是本文就从推导单delta 势的解法出发，结合Bloch 定理得到周期性双delta 势的能带解析解，并画出相应的能带随势能强度，空间位置关系的图像。从中分析了能带性质。最后还讨论了二维周期性单delta 势的求解方法，它与一维周期性单delta 势的解密切相关[7]。

1 周期性的单delta 势求解

通常定态薛定谔方程的表达式如式（1）所示。

其中当V（x）=δ（x-a）V0时，V（x）δ 这样的形式就被称为delta 势。在教材中解决δ 势散射问题时通常采用的方法是利用波函数的连续性，以及波函数一阶导数的连续性。从而推导出本征解析解。然而δ 势的势能所在位置是一个奇点，其一阶导数是不连续的。因此在满足波函数的连续性的时，delta 势还需要推导相应的导数跃迁条件，才能获得其解析解。

首先从delta 势的定态薛定谔方程出发，如式（2）所示。

对于式（2），在一个无穷小的区间[a-∊，a+∊]中对薛定谔方程做积分，其中∊→1，如式（3）所示。

由于delta 函数的选择性，可以直接得到积分的结果，等式右边通过积分中值定理也可以化简得到式（4）。

其中ζ 取值范围为（a-∊，a-∊），等式两边取极限∊→0，可以得到delta 势的一阶导数跃变条件[7]，如式（5）所示。

得到了delta 函数的一阶导数跃变条件，就可以结合波函数的连续性求解delta 函数的本征解析解。接下来讨论带有周期性的单delta 势，如图1 所示。

图1 周期性单delta 势垒

周期性单delta 势所对应的定态薛定谔方程如式（6）所示。

当x 取值为（0，a）时，V（x）=0，可以得到波函数如式（7）所示。

当x 取值为（-a，0）时，0＜x+a＜a，可以得到式（8）。

由于这个势具有周期性，可以把这里的波看作是Bloch 波，由Bloch 定理ψ（x+a）=eikaψ（x），如式（9）所示。

引入波函数的连续条件与delta 势的一阶导数跃迁条件。联立两个条件式子，如式（10）所示。

并化简得到k 和q 的关系式如式（11）所示。

从式（11）出发，画出了不同势能大小下的周期性单delta 势能级图，如图2 所示。

图2 周期性单delta 的能带图像

其中ka 代表波矢，（qa）2则正比于本征值，可以看出能级图是一个标准的偶函数。从式（11）看出，当V0=0时，k 与q 的关系是呈线性变化，反应出自由电子的特性。随着V0的引入，在k=0 附近，由于势能的影响，能带和自由电子行为差异很大。能量随V0的增大而增大。反观k=π 的附近，V0对能带行为产生的影响就越来越小。基于表达式，可以试着给出能带行为的描述，k=0附近时，假设q 的取值也在0 附近，这时式（11）第一项中的（sin q）/q≈1 是一个不可忽略的项。所以这时候V0散射就非常强烈，因此能带图像就与自由电子能带完全不一样。

2 周期性双delta 势求解

现在要考虑具有两个不同周期性的delta 势的能带图像，两个delta 势的空间位置a＞b。在这样的情况下，薛定谔方程中表达如式（12）所示。

如同单delta 势的求解过程，我们首先列出不同区间的波函数表达，然后利用delta 函数的连续条件与Bloch 定理进行求解。

当x 的取值为（0，b）时，波函数如式（13）所示。

x 的取值为（b，a）时，波函数如式（14）所示。

x 的取值为（a，a+b）时，基于Bloch 定理，可以得到波函数如式（15）所示。

之后取x=a，x=b 两个交界面来求解波函数中的能级关系。

在x=b 的界面上，两边式子带入边界条件。

对式（16）进行化简，得到B，C 与A 的关系式。同理在x=a 的界面上，用边界条件也可以得到一组B，C 与A 的关系式，如式（17）和式（18）所示。

联立两个边界条件得到的关系式，并把A 在两边约去，得到只包含k，q 的关系式。其结果如式（19）所示。

这就是周期性双delta 势波矢与本征值的关系式，可以将得到的结果与周期性单delta 势的关系式进行比较。当V2≈0 时，式（19）变为式（20）。

发现这与周期性单delta 势的关系式是自洽的。

3 二维周期性单delta 势求解

二维周期性单delta 势，在一维的基础上利用分离变量法就可以求解。二维周期性单delta 势的薛定谔方程如式（21）所示。

利用分离变量法可以将哈密顿量进行两个维度上的分解，如式（22）～式（24）所示。

分离变量法，使两个维度上的波函数毫不相干，由此可以把一个二维的问题转化为两个一维的问题，直接就可以用周期性单delta 势的求解方法，如式（25）～式（26）所示。

式中：q1=，q2=。

4 结论

本文从固体物理教学中引入了具有周期性的单delta 势垒，结合delta 势的解析解法与Bloch 定理得到了相应的能带解析解。之后设想了一个周期性的双delta 势垒，用类似的方法进行了求解，并给出了相应的能带图像，并对能带行为进行了分析。发现在周期性delta 势场中，当k=0 时，delta 势的散射对于能带性质的影响较大。然而k=π 时，delta 势的散射影响就会变小。最后利用分离变量法解决了二维周期性单delta 势的问题。