饱和砂砾土未冻水含量预测模型的适应性分析

王炳禄 刘欣 沈宇鹏 刘志坚 陈贤波 寇鼎涛

1.中铁十四局集团隧道工程有限公司， 济南 250101； 2.北京交通大学 土木工程学院， 北京 100044；3.北京市轨道交通建设管理有限公司， 北京 100068

土体冻结过程中，并非所有孔隙水都会冻结成冰，这些保留的液态水被称为未冻水。冻土的未冻水含量与土体的矿物成分、粒度、温度、应力条件、冻融历史等因素息息相关，同时显著影响冻土的水力特性和热物理参数，进而影响冻结壁的扩展及冻结施工对周围环境的影响效应。未冻水含量的测试和预测模型的建立是开展未冻水含量研究的重要内容。Anderson 等［1］基于大量试验数据提出了描述未冻水含量随温度变化的幂函数模型，由于形式简单、参数较少，该预测模型得到了广泛应用。徐学祖等［2］认为冻土中的未冻水含量主要受土质、外界条件和冻融历史影响，与负温保持动态平衡的关系，并根据大量试验给出了多种土质正冻土未冻水含量幂函数预测公式的参数值。冷毅飞等［3］采用量热法测试了海拉尔-大庆输油管道沿线大量土样的未冻水含量，讨论了未冻水含量的主要影响因素及变化规律。万旭升等［4］基于理想成冰模型和土体孔隙分布特征，给出了不同孔径水分的冻结温度，建立了未冻水含量与负温关系。路建国等［5-6］基于频域反射法测试了冻融过程中青藏高原粉质黏土未冻水含量与温度的关系，讨论了初始含水量对未冻水含量滞后效应的影响。滕继东等［7］考虑吸附与毛细作用，从孔隙尺度建立了饱和冻土未冻水含量与温度的关系，该模型的预测和试验结果吻合，物理意义明确，为冻土理论研究提供依据。

综上所述，对冻土未冻水含量已开展的研究工作主要集中于细粒土，涉及砂砾土未冻水含量的研究较少，未冻水含量预测模型对砂砾土的适应性仍有待考量。北京地区地铁沿线广泛分布砂砾土，部分区域夹杂少量粉土，地下水赋存状态复杂，且人工地层冻结往往冷媒温度低、体量大。本文依托北京地铁19号线草桥站—景风门站联络通道人工地层冻结工程，研究不同含泥量饱和砂砾土未冻水含量的变化规律，以期揭示冻结壁的水热力耦合行为。

1 未冻水含量预测模型及参数敏感性

1.1 Anderson and Tice模型

Anderson 和Tice 于1972 年建立了幂函数模型，用于预测冻土未冻水含量与温度的关系［1］，即

式中：θu、θ0分别未冻水含量和初始体积含水量；α、β为拟合参数；T、Tf分别为土体温度和孔隙水冻结温度。

参数α、β对Anderson and Tice 模型的影响见图1。可知：当β=-0.6，α从5.0 增加到25.0 时，函数曲线逐渐平缓，即未冻水含量的衰减速率逐渐减小，温度为-20 ℃时，未冻水含量较大。当α= 10.0，β从-1.0增加到-0.2 时，未冻水含量的衰减速率逐渐增大，温度为-20 ℃时，未冻水含量较大。

图1 Anderson and Tice模型参数敏感性

1.2 Michalowski模型

Michalowski［8］认为由于强结合水的存在，即使负温很低时，土体中仍有少量水分未被冻结，即存在残余未冻水含量，提出了描述冻土未冻水含量与温度关系的指数函数模型。即

式中：θres为未冻水残余含量；μ为拟合参数。

Michalowski 模型参数敏感性见图2。可知：当μ从0.2 增加到5.0 时，曲线的速降段变陡，且温度降为-20 ℃时，未冻水含量有所减小。当μ≥1.0 时，未冻水含量在温度降为-10 ℃后达到设定的残余含水量5%，不再持续下降。

图2 Michalowski模型参数敏感性

1.3 Mckenzie模型

Mckenzie［9］根据残余未冻水含量的理念提出了一个指数方程描述冻土未冻水含量与温度的函数关系式。即

式中：γ为拟合参数。

Mckenzie 模型参数敏感性见图3。可知：当γ从0.5增加到10.0时，函数曲线的速降段变缓，温度降为-20 ℃时，未冻水含量有所增大。此外，当γ≤2.0时，未冻水含量在温度降为-5 ℃后达到设定的残余含水量5%，不再持续下降。

1.4 Kozlowski模型

Kozlowski［10］认为土体冻结过程中存在临界温度Tres，当温度低于Tres时，未冻水含量不再变化，提出了描述未冻水含量的分段函数表达式。即

式中：Tres为残余含水量不再变化对应的临界温度；δ、ε为拟合参数。

Kozlowski 模型参数敏感性见图4。可知：当ε=1.0，δ从-15.0 增大到-1.0 时，函数曲线的速降段逐渐变缓，临界温度逐渐降低。当δ=-2.0，σ从0.5 增加到3.0 时，未冻水含量随温度降低的变化规律由先陡降后缓降再趋稳逐渐变为先缓降后陡降再趋稳，临界温度逐渐升高。

图4 Kozlowski模型参数敏感性

1.5 Zhang模型

Zhang假设当温度降至绝对零度（-273.15 ℃），土体中的水分完全冻结成冰，提出了计算未冻水含量的数学模型［11］。该模型被用于分析青藏高原冻土路基的水热力行为，得到了满意的预测结果。Zhang 模型为

式中：Tk0为常数，取273.15 ℃，其负值为绝对零度；ω为拟合参数。

Zhang 模型参数敏感性见图5。可知：当ω从0.02增加到0.20 时，函数曲线逐渐变缓，温度降为-20 ℃时，未冻水含量明显增大。5 条曲线在靠近冻结温度附近均存在垂降段，降幅随ω增大而减小。

图5 Zhang模型参数敏感性

1.6 VG-Clapeyron模型

一些学者将土体冻结过程中的冰压力类比为非饱和土的大气压，结合Van Genuchten土水特征曲线模型和Clapeyron 方程提出冻土未冻水含量的预测模型［12-13］，即

式中：aVG、mVG、nVG均为拟合参数；L为冰水相变潜热，取334 kJ/kg；ρw为水的密度，取1 000 kg/m3。

VG-Clapeyron 模型参数敏感性见图6。可知：当nVG= 2.0、mVG= 0.5，αVG从0.000 5 增加到0.010 0时，函数曲线逐渐变陡，温度降为-20 ℃时，未冻水含量有所减小。当αVG= 0.000 5、mVG= 0.5，nVG从1.0增加到5.0 时，函数曲线由先陡降后缓降再趋稳逐渐变为先缓降后陡降再趋稳，温度降为-20 ℃时，未冻水含量有所降低。当αVG= 0.000 5、nVG= 2.0，mVG从0.5 增加到2.0 时，函数曲线逐渐变陡，温度降为-20 ℃时，未冻水含量明显降低。

图6 VG-Clapeyron模型参数敏感性

2 未冻水含量的测试

2.1 试验土样

试验用土取自北京地铁19 号线草桥站—景风门站区间联络通道施工现场，包括砂砾土和粉土。参照GB/ T 50213—2019《土工试验标准方法》进行试验，得到砂砾土和粉土的级配曲线（图7）和物理力学参数（表1）。根据GB/ T 50213—2019得出砂砾土为级配不良土，粉土为低液限粉土。

表1 试验土体物理力学参数

图7 试验土体级配曲线

由于砂砾土中粒径小于0.075 mm 的细粒占比仅为0.73%，可忽略不计，将其视为含泥量0的砂砾土试样组。按不同比例均匀掺合砂砾土和粉土即可配制含泥量分别为0、10%和20%的砂砾土试样组，密封静置24 h备用。

2.2 测试方法

冻土未冻水含量的测试方法主要包括测温法、量热法、频域反射法、时域反射法、频域传播法、时域传播法、脉冲核磁共振法等。饱和砂砾土未冻水含量的测试采用EC-5 小型土壤水分传感器（图8），配套CR1000X 数据采集仪，可直接测试土样未冻水含量并传输至电脑终端。该传感器的工作原理为频域反射法，传感器发射一定频率的电磁波，沿探针传输及返回，测试探头输出的电压。由于土体介电常数受含水量影响显著，由输出电压可确定土体的含水量。温度测量使用pt100 热敏电阻温度传感器，其测温范围为-30 ～ 30 ℃，精度为 ±0.05 ℃，利用CR1000X型数据采集仪实时采集土样温度。

图8 EC-5土壤水分传感器

为尽可能保障试样降温过程中各方向受冷均匀，定制直径60 mm、高80 mm 的铝制试样盒与顶盖，顶盖预留水分探头和温度探头的插入孔。试验时，将备好的0、10%和20%含泥量砂砾土分层填入试样盒并夯实，表面覆盖透水石后浸水饱和8 h，取出试样并用保鲜膜包裹严实。将备好的试样放入冻融试验箱，沿垂直方向从顶盖预留孔插入水分探头和温度探头。设置初始环境温度为1 ℃并恒温8 h，待土样内温度稳定后，设置阶梯式降温温度（0、-0.1、-0.2、-0.5、-0.8、-1、-2、-3、-4、-5、-8、-12、-16、-20 ℃），每级温度保持时间为6 h，使土样达到新的水热平衡。冻结完成后，关机融化土样。

2.3 测试结果分析

含泥量0、10%和20%饱和砂砾土未冻水含量的试验结果见图9。可知：随着温度的降低，冻结特征曲线主要经历快速下降、缓慢下降和稳定阶段。0 含泥量饱和砂砾土冻结特征曲线在快速下降阶段最陡，未冻水含量下降最快，-3 ℃时未冻水含量为4.2%，相较初始含水量的降幅为87.4%，温度低于-12 ℃后未冻水含量基本不再变化，残余含水量为2.0%。20%含泥量饱和砂砾土未冻水含量在快速下降阶段降速较小，未冻水含量在-4 ℃时为10.7%，降幅为67.5%，温度低于-16 ℃后未冻水含量基本稳定在7.4%。10%含泥量饱和砂砾土未冻水含量的降速介于前两者之间，未冻水含量在-4 ℃时为5.7%，降幅为82.0%，温度低于-12 ℃后未冻水含量基本稳定在3.2%。总体而言，含泥量越高，土体冻结特征曲线越平缓，未冻水冻结速率相对较小，低温稳定状态下的残余含水量越大。究其原因，含泥量的增加引起土体比表面积增大，不易冻结的强结合水含量增加，进而引起剧烈相变区间增大，残余含水量明显提高。

图9 饱和砂砾土未冻水含量试验结果

3 未冻水含量预测模型的适应性

未冻水含量的预测模型是冻土水热力耦合模型的一个关键联系方程，显著影响模拟结果的准确性。采用非线性拟合方法对3 组测试数据进行拟合，确定上述六种典型预测模型的相关参数，见图10。

图10 预测模型参数的确定

为讨论六种预测模型对不同含泥量饱和砂砾土未冻水含量的适应性，采用均方根误差(ERMSE)、平均绝对误差(EAME)和相关系数（R2)进行定量分析。三个评估指标的计算式为

式中：θu_ci、θu_mi分别为未冻水含量预测值和未冻水含量试验值。

计算结果见图11。可知：对于0 含泥量饱和砂砾土未冻水含量的预测，Anderson and Tice 模型、Kozlowski 模型和VG-Clapeyron 模型表现出较好的适应性，ERMSE分别为1.408、1.129 和0.863，EAME分别为0.915、0.928和0.635，R2分别为0.971、0.974和0.977。对于10%含泥量饱和砂砾土未冻水含量的预测，Michalowski 模型、Kozlowski 模型和VG-Clapeyron 模型表现出较好的适应性，ERMSE分别为0.743、0.903 和0.587，EAME分别为0.588、0.783 和0.455，R2分别为0.971、0.974 和0.977。对于20%含泥量饱和砂砾土未冻水含量的预测，同样是Michalowski 模型、Kozlowski 模型和VG-Clapeyron 模型表现出较好的适应性，ERMSE分别为1.064、0.742 和0.355，EAME分别为0.743、 0.587和0.289，R2分别为0.978、0.979和0.980。

图11 预测模型相关性指标的比较

总体而言，VG-Clapeyron 模型对于0、10%和20%含泥量饱和砂砾土未冻水含量的预测都具有较好的适应性，预测值与试验值的吻合度较高，且形式简单，推荐使用VG-Clapeyron 模型预测0、10%和20%含泥量饱和砂砾土未冻水含量与温度的函数关系。

4 结论

冻土的未冻水含量与土体的矿物成分、粒度、温度、应力条件、冻融历史等因素息息相关，其含量的变化显著影响地层冻结过程中的水热力耦合行为。汇总了六个典型冻土未冻水含量预测模型，并对其参数进行了敏感性分析，讨论了模型参数对冻结特征曲线的影响。主要结论为：

1）随着温度降低，饱和砂砾土冻结特征曲线主要经历快速下降、缓慢下降和稳定三个阶段。0、10%和20%含泥量饱和砂砾土未冻水含量在快速下降阶段的降幅分别为87.4%、82.0%和67.5%，稳定阶段的残余含水量分别为2.0%、3.2%和7.4%。含泥量越高，饱和砂砾土相变区间越大，冻结特征曲线越缓，稳定阶段的残余未冻水含量越高。

2）VG-Clapeyron 模型对于0、10%和20%含泥量饱和砂砾土未冻水含量的预测都具有较好的适应性，预测值与试验值的吻合度较高，且形式简单，推荐使用VG-Clapeyron 模型预测0、10%和20%含泥量饱和砂砾土未冻水含量与温度的函数关系。