平面图形周长与面积单元的数学本质、进阶与教学建议

刘加霞 鲁静华

【摘   要】周长与面积刻画了同一平面图形的两种不同度量属性。为破解学生易混淆这两个概念的难题，并以此为载体培养学生的空间观念、推理意识以及问题解决能力，教师重新设计了本单元五个学习进阶的层级，梳理了周长概念建立、面积公式推导以及渗透数学文化等方面的内容，提出了相关建议。

【关键词】周长与面积；大单元内容进阶；面积公式的内在逻辑

图形的周长与面积是对同一个图形的两种属性的量化分析，即图形边界的长度与内部区域的大小。图形的一般性质特征、周长和面积这三方面内容密切相关，根据图形的特有性质可以推导出计算图形周长与面积的公式，或者说图形的周长与面积也是图形的性质之一。因此，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）将这些内容整合为“图形的认识与测量”主题。

由于周长与面积是从不同角度研究同一个图形，学生易于混淆这两个概念。已有研究表明，学生所学内容越多，越容易混淆这两个概念［1］。如何破解学生易混淆图形的周长与面积这一“魔咒”？如何避免学生只会“套公式计算”而缺乏空间观念、推理意识等素养？现行多个版本教材的编排都是先学周长概念再学面积概念，且学习周长和面积概念时都涉及不规则的曲边图形，这样编排是否合适呢？图形的周长与面积这一大单元的内容逻辑是什么？设计什么样的进阶更符合学生的认知路径？单元学习内容的“升阶点”是什么？这些问题都值得深入研究。教师要在厘清这些问题的基础上，设计有效的学习任务，开展能引发学生深入思考的学习活动，助力学生空间观念、推理意识的形成。

一、周长、面积的数学本质：对一维二维空间的度量

2022年版课标将认识图形与测量整合为一个主题：图形的认识与测量。其中，图形的大小刻画是图形的一种特征。图形既有几何特征也有度量特征。图形的几何特征是图形的整体特征，如图形是否对称、图形有几条对称轴、图形是否稳定、图形边与边之间的位置关系等。其中“对称性”与“平行性”是图形的两个本质特征。图形的度量特征就要涉及“大小”问题，从量化角度认识图形特征，就是要研究图形的周长、面积与体积等。

度量（本文对测量与度量两个词语不作区分）是人类特有的认识世界的实践活动，它创造并利用度量工具（度量单位）对事物的大小或顺序进行度量。测量活动一般都经历“定性地描述”到“精准地刻画”的过程。前者指通过观察、操作等直觀活动感受量的大小，并用较为笼统的语言进行表达；后者则指确定测量单位，通过使用测量工具或计算、推理等方式，用具体数值刻画量的大小。度量的基本意义就是要找到一个度量单位，用度量单位去测量，获得可测物体包含度量单位的个数。由于“数数”太麻烦，所以人类发明了测量长度的工具——各种尺子，发现了计算各种直边图形面积的公式。理解周长与面积这两个概念不能脱离度量的意义，因为这是培养学生量感、空间观念与推理意识的重要载体。

因为“两点之间线段最短”，所以两点之间的距离等价于两点之间线段的长度。在日常生活或数学学习中，用长度刻画一维空间即“线”的长短。度量对象是线段，当是曲线时要化“曲”为“直”，或用“直”替代“曲”。在研究图形“边”的长短时，可以研究所有边线的长度即周长，也可以研究构成图形的各“边”长度之间的关系及边与边所形成的角的大小。例如，三角形三边的关系既有“任意两边之和大于第三边”，也有直角三角形中的“勾股定理”及任意三角形皆适用的“正弦定理”“余弦定理”。这些内容不只能度量边线的长短，还揭示了不同边线之间复杂的数量关系。用面积刻画二维空间即“面”的大小，度量对象是面，面既可以是“平”的，也可以是“曲”的。体积用于描述三维空间即“体”的大小，转化时可以借助“易变形”的液体。三者的度量本质与结构完全相同，都蕴含“化曲为直”或“以直代曲”的转化思想，都是“度量单位的累加”等。

学生理解图形的周长和面积，需要明确度量对象是什么、具有哪些特征。周长是对一维空间图形线段的度量值，面积是对二维空间图形区域的度量值，二者都是具体的数值，都用某个具体的数来表示大小，只是使用的测量单位不同。学习周长的难点是要明确度量对象，其度量对象是“线”——线段或曲线，周长就是图形边线的长度之和。周长的度量对象（边线）并不直观，这要求学生将“边界”或“一周”抽象为线段或曲线。求解图形的周长时，既要有测量各边线段的长度再相加的活动，还要有通过“化曲为直”或“以直代曲”，将曲边图形的“边线”转化为线段长度之和的活动。

教学时要淡化通过操作活动让学生理解“封闭”这一方式，因为学生肉眼所见的都是封闭图形，在理解上没有难度。越是强调封闭，越容易让学生感知“围起来的区域”的大小，但这是面积的概念。可以像中国台湾教材那样，先比较图形的“内部、外部与周界”这三部分概念，再定义“周界的长度”就是图形的周长。这样的设计从更“广阔的视角”观察平面空间，有助于学生理解周长的含义。

学生理解图形的周长和面积，还要明确度量的过程。度量过程是根据度量对象，选择合适的度量单位去测量，或用公式求得量值，从而用“数+单位”刻画度量对象的大小。在小学阶段，获得度量值大小的方法有三种：一是度量法，数度量单位的个数；二是用公式计算，这种方法具有快捷的特点；三是转化法，将不规则物体转化为规则物体来测量，要求转化前后满足“等量代换”原则。此外，还要关注度量的本质属性，包括：运动不变性、叠合性、有限可加性以及面积的正则性等［2］。这些度量的本质属性要在教学中进行渗透，有助于度量活动的开展及度量值的获得。

二、平面图形周长与面积大单元的学习进阶

现行各版本教材的编排顺序大都基本符合学习进阶理论：三年级上册学习周长概念及长方形、正方形的周长；三年级下册学习面积概念、面积单位及长方形、正方形的面积；五年级上册学习平行四边形、三角形、梯形及组合图形的面积，估计曲边图形的面积；六年级上册学习圆的周长与面积。基于这样的编排顺序，还需要进一步思考两个方面问题：一是先学习周长概念还是面积概念？初次学习这两个概念时是否要估计不规则图形的周长或面积？二是推导平行四边形、三角形、梯形以及圆的面积公式时，尤其平行四边形面积公式时，是转化为“数面积单位的个数”，还是转化为已经学过的图形然后利用公式求得新图形的面积？哪种方式更符合学生的认知逻辑？也就是说，目前有的教材的内容进阶还有待思考和调整。

划定周长与面积学习进阶的维度主要包括以下三方面：度量对象、度量过程、问题情境的抽象度和复杂度。在研究周长或面积问题时，度量对象会越来越抽象和复杂，整体上可以划分为以下四个水平：（1）简单直边图形，如常见的长方形、三角形等，或将现实物体的“面”抽象为直边图形；（2）直边的组合图形，或将现实物体的“面”抽象为组合图形，只研究“外边线”的长短；（3）曲边图形；（4）立体物的“横截面”，如学生的头围、腰围等。度量过程可分为：（1）用直尺直接测量；（2）在方格纸上数长度单位的个数；（3）通过“化曲为直”来测量；（4）根据问题情境选择合适的测量方法与测量工具。同样，问题情境也可以划分为：（1）只涉及单一的测量对象或通过公式求得周长；（2）涉及长度、周长或面积中的两个或三个量，要通过实际测量或用公式求得相应量值；（3）已知某个特殊图形的周长（或面积），再求边长或面积（或周长）；（4）在图形的动态变化中研究长度、周长或面积；（5）已知一条线段的长度，围出不同形状的图形并探索图形面积的变化规律，或已知某个图形，通过“切割”产生新图形，再求新图形的周长或面积等。

根据上述划分学习进阶的维度，按照2022年版课标的要求，综合分析中国大陆各版本教材、中国台湾翰林版教材及新加坡教材的编排，平面图形的周长与面积大单元可以划分为如下五个较大的阶段。

阶段1：拼摆小正方形或在方格纸上数“单位”个数，初步建立面积概念。

阶段2：数出图形周界的长度单位个数，建立周长概念；认识最基本的长方形、正方形的特征及其周长与面积。

阶段3：通过尺规作图进一步认识常见图形的周长；认识平行四边形、三角形以及梯形的特征及其面积，尤其这三类图形的“高”适合在同一课时进行学习。如北师大版（2011年）教材的编写方式。

阶段4：求解或估计组合图形或不规则图形面积，渗透“化曲为直”或“以直代曲”等转化思想，感受度量单位越小，估计值越精准。

阶段5：圆的周长与面积。

其中，阶段1、阶段2的内容可以编排在同一册教材中，阶段3、阶段4的内容可以编排在同一册教材中，阶段5的内容可以单独编排在高年级。笔者以阶段1、阶段2的内容为例，进一步分析这两阶段内容的具体层级，指明不同层级的内容重点培养哪些核心素养。

● 層级1：拼摆小正方形得到新图形并数其面积单位个数，或数出方格纸上所画直边图形的单位个数。侧重培养学生的量感与空间观念，样例如图3、图4、图5。

● 层级2：推导长方形、正方形的面积公式和周长公式；直接利用公式求解长方形、正方形的面积或周长并解决实际问题。培养学生的问题解决能力、量感和空间观念，样例略。

● 层级3：在较复杂的问题情境（测量对象涉及多个长方形、正方形）中求解图形的周长或面积，或探索蕴含的规律。培养学生的量感、推理意识以及空间观念，样例如下。

样例1：一个正方形喷水池的周长是20米，它的边长是多少米？面积是多少平方米？

样例2：在方格纸上画几个长方形或正方形，使它们的周长（或面积）都相等，然后比较一下它们的面积（或周长）。你发现了什么？

样例3：下图中，右边两个算式分别求的是哪个图形的周长？

● 层级4：根据图形的特征，将其割补转化为长方形、正方形后解决面积或周长问题。侧重培养学生的推理意识与空间观念，样例如下。

样例：下图中，谁家离学校近？说明理由。

● 层级5：较为抽象地通过解释、说理解决问题。侧重培养学生的推理意识，样例如北师大版三年级上册第51页的练习题8（如图1），或苏教版三年级下册第75页的思考题（如图2）。

三、平面图形的面积与周长大单元的内容编排与教学建议

（一）将图形的面积与周长编排在同一单元中

由前述学习进阶分析可知，先学习图形的面积概念后学习周长概念更有助于学生理解。在面积概念的教学中，直边图形可以通过“重叠”的方法比较“面”的大小，面积值差异较大的曲边图形（如圆）可以通过直接观察得出谁大谁小。教学的重点是用“小正方形”拼摆出各种图形或将图形画在方格纸上，知道图形面积就是小正方形的个数。

例如，中国台湾翰林版教材关于面积与周长的编排顺序如下：二年级下册比较面的大小（本单元还包括比较容量、轻重）；三年级下册拼摆面积单位（只学习平方厘米），求拼摆出的图形的面积以及方格纸上三角形或其他图形的面积（可转化为整格）；四年级下册学习用公式求长方形、正方形的周长和面积，学习平方米及其与平方厘米的进率，以及分割为长方形、正方形的组合图形的面积，已知面积和长，求宽；五年级上册学习平行四边形、三角形、梯形以及一般组合图形的面积，已知面积和高（底或两底之和），求底或两底之和（高）；六年级上册分两个单元学习圆和扇形的周长与面积。

新加坡教材也是先在三年级下册学习面积概念，强调用“小正方形”或在方格纸上数出图形的面积，并直接呈现在例题中，具体内容如下。

（1）用4个正方形、4个二分之一正方形的卡片拼摆图形（如图3）。

（2）这些图形的面积是多少个小正方形（如图4）？

（3）定义1平方厘米之后，求下面各图形的面积是多少平方厘米（如图5）。

在这之后，新加坡教材再定义1平方米，同样通过数“方格”求不需要转化或恰好能转化为整格的直边图形面积，不急于学习特殊图形的面积公式。然而，前述内容在人教版、北师大版等教材中都出现在练习题里，教材并没有专门编排例题。

学生先通过上述活动对面积单位及图形的面积形成本源性认识，再学习周长概念。在学习周长概念时，让学生首先观察画在方格纸上的周长相等、面积不同的不同形状的三角形、长方形等直边图形；其次利用线绳判断两个不规则的曲边图形哪一个的周长更长；再次测量书本封面、教室地面的周长以及前面学习面积时所拼摆的图形的周长；最后解决涉及图形的周长与面积的实际问题，在问题解决过程中进一步理解图形的周长与面积的关系。在此基础上，学习长方形、正方形的面积公式。

方格纸在研究图形周长和面积问题时起着重要作用。一方面，方格纸既是度量长度也是度量面积的工具；另一方面，方格纸也为学生判断两条线段的平行、垂直关系提供依据，而图形的边的平行、垂直关系决定了图形性质，是某个图形存在周长或面积公式的主要依据。

除了“数数”活动外，在方格纸上画出满足条件的图形也是重要的数学活动，既有助于学生理解周长、面积概念，又有助于培养学生的空间观念和推理意识。例如，人教版、苏教版、北师大版等教材中都编排了画出周长（面积）相等的长方形或正方形，分别求面积（周长）是多少的内容，以初步渗透等周定理（在周长相等的几何形状之中，圆形的面积最大；在面积相等的几何形状之中，圆形的周长最小）。

（二）学生理解周长概念的基本路径

周长概念的形成，应包含以下一些能力要素：一是知道“什么是周长”，能用数学语言正确描述或指出一个平面图形的周长；二是能根据周长的意义，通过顺边加、公式计算、移与补等基本方法求出一个平面图形的周长；三是能应用周长的意义进行判断和推理，并解决简单的数学问题。从布鲁姆-安德森的学习目标分类理论来看，周长概念的能力结构正好体现了“记忆、理解、应用、分析、评价、创造”的思维发展过程。学生对上述形成周长概念的几个要素或多或少都有一定的知识经验，根据经验能够领会周长的含义，但这些经验往往是模糊的、直觉的，容易与图形的内部区域（面积）相混淆。因此，理解图形的周长要逐步深入进行，具有进阶性，而不是学习“一次”就能理解的。具体体现在以下几个方面。

一是结合具体情境引导学生直观理解周长是一个与“形”有关的概念。要将图形的“一周边线”从图形中剥离出来，使学生真正“看”到图形的一周边线，从而建立清晰表象。所研究的图形要有进阶性，先研究简单的、常见的直边图形，再研究生活中常见的曲边图形，如圆形、半圆形、扇形等。

二是通过对周长长度的测量和计算，理解它还是一个与“数量”有关的概念。周长的本质就是线段长度，开展测量活动是学生感悟周长实际含义的有效方式，有助于学生清晰认识“周长是图形一周所有边的长度总和”。学生亲自测量是建立周长概念的关键一步，测量活动既包括直接用直尺测量，也包括用“绳子围”再测量拉直的绳子长度，此外还可以将“曲线”进行分割，用线段代替“小曲线”进行测量，再累加求和。依据2022年版课标的要求，还要让学生结合“尺规作图”加深对周长概念的理解，即先用直尺画一条直线，再用圆规依次“截取”图形的几条边，最后将它们首尾相接依次画到直线上，得到一条线段，从而直观感知这条线段的长度就是这个图形的周长，进一步感受线段长度的可加性。

三是在解决实际问题的过程中引导学生对比周长和面积的不同。在数学概念学习过程中，将容易混淆的概念置于同一情境集中学习，以强化概念之间的比较辨析，是概念学习的一条重要策略。在对比过程中，学生能够清晰地理解面积和周长分别是描述“区域的大小”和“线段的长短”的两个不同概念。

（三）推导平面图形面积公式的基本逻辑

1.如何推导长方形面积公式

通过分析比较各版本教材内容可知，关于长方形面积公式的推导主要分为两类。一类是以人教版教材、北师大版教材和翰林版教材为代表的编排方式。这些教材均为学生提供了长方形面积计算的学习动因，明确揭示了学习主题，即运用面积单位测量长方形面积。不同之处在于人教版、北师大版教材安排了两次操作活动，先通过第一次操作活动理解用面积单位测量长方形的方法，再借助第二次操作活动测量长方形面积（人教版测量了5个、北师大版测量了2个）并进行填表，观察表中长、宽、面积三组数据的特征，发现长方形面积计算公式。而翰林版教材则直接提出“用乘法算算看，长方形里有几个方格（面积单位）？长方形面积是多少？”这样两个问题，让学生在“算”的过程中体会面积与乘法的联系以及面积单位总个数与长方形面积之间的联系，在此基础上给出计算公式。另一类是以北京版、苏教版、浙教版为代表的编排方式。这些教材让学生用面积单位将已知长方形铺满，通过“数”或“算”得到长方形面积。在探究长方形面积公式时，则让学生拼摆若干个“小正方形”（如12个小正方形）得到几个不同形状的长方形，再通过拼摆得到长方形长、宽和面积单位个数之间“量”的对应关系，以及长方形面积计算公式与面积单位计数方法之间的对应关系。

美国加州版教材与日本教材不约而同地选择了第一类呈现方式。它们将拼摆操作的过程描述得十分清晰，可操作性更强，直接“认可”而不是“探究发现”面积计算公式，教学重点落在对计算公式的验证、反思等方面。而我国多数教材更注重让学生通过自主探究发现并描述面积公式，即让学生自主分析长方形的长是几就是“一行拼摆几个小正方形”，宽是几就是“拼摆几行”。然而，在很多学生已经知道长方形面积公式的情况下，这样的“自主探究”无法激发他们探究的兴趣。因此，当学生不能直接“套用”计算公式解决问题时，再来反思长方形的面积为何是“长×宽”就很有必要性了，如苏教版教材三年级下册中的解决问题（如图6）。

2.平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的哪种推导方法更有价值

这三个基本图形面积计算公式的推导过程基本一致：通过割补、拼摆将未知图形转化为已学过的图形。推导平行四边形的面积计算公式就是将平行四边形沿着高剪开再拼成长方形。有的研究者认为，推导平行四边形面积公式应该通过每行的“割补”，将平行四边形的面积转化为“每行有几个面积单位、有这样的几行”。从本质上看，这样的思路没错，但这样“割补”转化的过程太复杂，不符合学生的认知逻辑。例如，图7中，将左边的阴影部分（梯形）割补到右边得到每行是“整格”，远比将左边的“虚线三角形”割补到右边成为长方形要困难得多。

目前，各版本教材不要求解決“形外高”的平行四边形面积问题，但如果将该类平行四边形放在方格纸上研究（如图8），有多种割补转化的方法，该类问题更有思维价值。同样地，同底等高的平行四边形面积相等、同底不等高的平行四边形面积与高成正比例等内容都是培养学生核心素养的好问题。也就是说，可拉动的平行四边形框架是研究平行四边形面积很好的学具。

3.介绍具有育人价值的圆面积计算公式的推导方法

现行各版本教材都是将圆等分成很多个（想象或借助计算机分割成“大数”份）小扇形，再通过拼接转化为近似的平行四边形或长方形，推导出圆的面积的计算公式。事实上，历史上推导圆面积公式的方法有很多，刘徽的割圆术（如图9）、开普勒的“手拉手、心连心”法（如图10）等更具有思维价值［3］。其中，刘徽的割圆术既有助于学生理解推导过程，能帮助他们直观地认识“割之弥细、所失弥少”，感受“割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，更能让学生感悟到中国古代数学中的智慧。祖冲之则在刘徽割圆术的基础上，利用“算筹”计算很好地解决了“空位”问题，使得计算结果精确到小数点后7位。教学时，教师应采用这种方式向学生介绍刘徽、祖冲之及阿基米德等古代数学家各自的贡献，培养学生实事求是地分析问题、辩证地看待历史的意识，而不是“空洞地”介绍中国的数学发明比西方早了一千多年。

参考文献：

［1］郭立军，刘凤伟.APOS理论指导下小学数学概念教学的实践研究：以三年级面积概念教学为例［J］.小学数学教师，2021（2）：78-83.

［2］刘加霞.平面图形面积公理及其单元教学内容的逻辑结构［J］.湖北教育（教育教学），2021（10）：28-31.

［3］狄迈，汪晓勤.西方早期几何教科书中的圆面积公式［J］.数学通报，2022，61（2）：7-11.

（1.北京教育学院数学与科学教育学院 2.北京市顺义区教育研究和教师研修中心）