量子力学狄拉克符号量纲问题

摘 要 在量子力学中波函数和狄拉克符号教学中，很少思考到波函数的量纲问题，而狄拉克引入的左矢和右矢是描述量子态的强大工具。然而，关于狄拉克符号是否具有量纲的问题似乎很少被讨论，似乎大家理所应当地认为狄拉克符号只是一个没有量纲的数学符号而已。在本文中，我们将详细讨论波函数和狄拉克符号的量纲问题，以连续变量算符^x，^p 为例，我们应选择它们无量纲的本征态矢而不是常用到的具有量纲的态矢，在此选择下，狄拉克δ 函数也无量纲。狄拉克符号量纲问题的澄清将有助于学生更深入地理解量子力学符号的含义。

关键词 波函数;狄拉克符号;量纲分析

自从量子物理的发展以来已经有一百多年了[1-7]，薛定谔提出的方程成为波动量子力学的开始，对于所描述的波函数的物理解释，波恩对量子态波函数的概率解释已经被人们广泛接受并成为量子物理的一个最重要的概念，也是测不准关系，量子纠缠等物理现象的起源。众所周知，量子态可以在不同的表象中表示，包括坐标、动量和相互作用表象等，就像一个空间的矢量可以选择在不同的坐标系下表示一样。但一个实实在在存在的量子态及其相关的物理量是不依赖于其表象的选择的，因此，狄拉克引入了简洁的左矢和右矢符号（bra and ket）来表示一个独立于表象的态矢，这种简洁表示和运算被广泛应用于教科书[8-10]。然而，在文献中很少讨论狄拉克符号是否具有量纲的问题，大多数学习者可能会简单地认为狄拉克符号只是一个数学符号而已，应该是没有量纲的。在本文中，我们将详细讨论描述量子态的狄拉克符号的量纲问题，我们发现狄拉克符号具有量纲的不确定性，无量纲表示只是其中的一个特殊情况[11]。希望我们的讨论能对大家学习和教授量子物理相关知识的过程有所帮助。