动态多尺度决策信息系统局部最优尺度的更新规律

摘要： 在对象动态增加的情况下，对多尺度决策信息系统（MDIS）保持局部决策类不确定性的最优尺度更新规律进行研究。首先，介绍决策信息系统和多尺度决策信息系统决策类不确定性的基本知识，以及MDIS保持局部决策类不确定性的最优尺度定义。然后，在增加一个对象的条件下，分析MDIS局部决策类不确定性的更新规律。最后，采用增量学习方法，给出增加一个对象条件下MDIS局部最优尺度不变和变大的充分必要条件。结果表明：文中方法可以快速地确定更新系统局部最优尺度。

关键词： 粒计算； 多尺度决策信息系统； 局部最优尺度选择； 不确定性； 动态更新

中图分类号： TP 18文献标志码： A"" 文章编号： 1000-5013（2024）06-0800-08

Updating Law of Local Optimal Scale of Dynamic Multi-Scale Decision Information System

CHEN Yingsheng1， LI Jinjin1，2

（1. School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China；

2. School of Mathematics Sciences and Statistics， Minnan Normal University， Zhangzhou 363000， China）

Abstract：

Research on the updating law of optimal scale of multi-scale decision information system （MDIS） to keep local decision class uncertainty under the condition of dynamic increase of objects. Firstly， the basic knowledge of decision class uncertainty of decision information system and multi-scale decision information system are introduced， and the definition of optimal scale of MDIS to keep local decision class uncertainty is given. Then， the updating law of local decision class uncertainty of MDIS is analyzed under the condition of adding one object. Finally， using the incremental learning method， the sufficient and necessary conditions are given for the local optimal scale of MDIS to remain invariant or increase under the condition of adding an object. The results show that the proposed method can quickly determine the local optimal scale of the update system.

Keywords：

granular computing； multi-scale decision information system； local optimal scale selection； uncertainty； dynamic update

粒计算是模仿人类思维方式的一种处理信息的计算范式［1］。随着人工智能和信息科学的发展，粒计算已广泛应用于人工智能、知识发现、决策分类、医疗诊断等领域， 成为进行海量数据挖掘、不确定性分析等复杂问题的强有力工具［2-5］。多粒度是粒计算的一种显著特征，多尺度分析是处理复杂信息的一

种重要方法。Wu等［6］首先提出多尺度决策信息系统（MDIS）模型，随后许多学者对这一模型进行大量的研究，主要包含粗糙近似与协调性的传递规律［7］、决策规则［8］、粗糙度和信息熵［9］、最优尺度问题［7-14］等。最优尺度是MDIS的核心问题，它研究以最小的条件信息达到最优的决策效果。Wu等［6］讨论MDIS的8种协调性的最优尺度，并对其进行综合分析和比较。She等［8］利用决策树，引入裁剪方法，以决策规则为标准，研究最优尺度与属性约简同步的具体算法。Li等［9］将系统推广到广义多尺度决策信息系统，采用分步优化的方法设计了一种最优尺度搜索算法。Huang等［10］将该模型推广到多尺度决策的情况下，并讨论最优尺度选择问题。陈应生等［11］构建多尺度集值信息系统，引入尺度重要度，给出系统的最优尺度选择算法。关于局部最优尺度的研究，顾沈明等［12］，马周明等［13］研究多尺度决策信息系统的局部最优尺度选择问题；吴伟志等［14］ 研究不协调广义多尺度决策系统的局部最优尺度组合选择问题。

动态变化是大数据的一个重要特征，增量学习是处理动态数据的一种重要方法，它主要研究更新的信息而不是重新计算，从而显著地提高效率。增量学习方法在粒计算中得到了应用，Yang等［15］提出一种动态概念更新方法；Zhang等［16］提出一个概率粗糙集的动态框架，并使用增量算法更新不确定区域；He等［17］通过矩阵的更新策略设计一种增量算法，并研究模糊概率粗糙集三支区域的更新规则。

在MDIS领域，Deng等［18］在MDIS上定义了一个模糊隶属度，并采用三支决策理论和增量学习方法探索最优尺度；Luo等［19］研究不完全MDIS中具有动态尺度变化的三支决策更新问题。然而，这些研究知识采用增量学习方法进行尺度间的信息更新，并未考虑到由于对象或属性的增删引起的动态变化因素。目前，只有少量学者研究对象动态增加的情况下MDIS最优尺度的更新问题，Hao等［20］运用三支决策理论研究MDIS在对象增加时系统最优尺度的更新算法；Chen等［21］研究在对象动态增加条件下系统最优尺度减小的充要条件；Li等［22］进一步研究在增加一个对象时，系统最优尺度相等和增加的充要条件。由于在具体的应用中有时只需要考虑局部决策的问题，故Chen等［23］研究保持系统局部决策类不确定性的最优尺度更新问题。

基于此，本文对局部决策类的最优尺度问题展开研究，给出最优尺度不变和变大的充分必要条件，提出增加对象条件下最优尺度更新判断的快捷方法。

1 基础知识

1.1 决策信息系统决策类的不确定性

定义1［6］ S=（U，A∪{d}）称为一个决策信息系统，其中，U={x1，x2，…，xn}是一个非空有限集合，称为论域，A={a1，a2，…，am}是一个非空有限属性集，对于任意的a∈A，a：U→Va是一个单值映射，其中，Va={a（x）x∈U}是属性a的值域。

dA称为一个决策属性，d：U→Vd是一个单值映射，其中，Vd={d（x）x∈U}是属性d的值域。

对于任意的属性子集BA，定义等价关系

RB={（x，y）∈U×Ua（x）=a（y），a∈B}。

［x］B={y∈Ua（x）=a（y），a∈B}为对象x关于属性子集B的等价类。对于BA，XU，X关于属性子集B的上下近似分别定义为

RB（X）={x∈U［x］B∩X≠}，" RB（X）={x∈U［x］BX}。

由属性d诱导的等价关系为

Rd={（x，y）∈U×Ud（x）=d（y）}。

［x］d={y∈U（x，y）∈Rd}为x关于d的等价类，U/Rd={Rd（x）x∈U}称为Rd的商集。

对于任意的决策类D∈U/Rd，U被分成3个互不相交的区域，即

PosB（D）=RB（D）={［x］B［x］BD，x∈U}，

NegB（D）=U-RB（D）={［x］B［x］B∩D=，x∈U}，

BndB（D）=RB（D）-RB（D）={［x］B［x］BX，［x］B∩D≠，x∈U}。

式中：PosB（D）是可以完全确定属于D的信息粒，称为接受域；NegB（D）是完全不属于D的信息粒，称为拒绝域；BndB（D）是不能确定属于D或不属于D的信息粒，称为边界域；PosB（D）与NegB（D）是完全可以决策的区域，而BndB（D）是不确定性区域。

定义2［20］ 设S=（U，A∪{d}）是一个决策信息系统，D∈U/Rd，令

UNC（A，D）={［x］B［x］BD，［x］B∩D≠，x∈U}，

则称UNC（A，D）为D关于B的不确定性。

容易得到引理1。

引理1［22］ 设S=（U，A∪{d}）称为一个决策信息系统，D∈U/Rd，x∈U，则有

x∈UNC（A，D）［x］AUNC（A，D），

xUNC（A，D）［x］A∩UNC（A，D）=。

1.2 多尺度决策信息系统保持不确定性的最优尺度选择

定义3［6］ 设S=（U，A）为多尺度信息系统，其中，U={x1，x2，…，xn}是一个非空有限集合，A={a1，a2，…，am}是一个非空条件属性集，每个属性aj都有s个尺度，并且对任意的1≤r≤s-1，1≤j≤m，存在一个满射gr，r+1j：Vrj→Vr+1j，使ar+1j=gr，r+1j·arj，即对任意的x∈U，有ar+1j（x）=gr，r+1j（arj（x）），Vrj={arj（x）x∈U}是aj关于第r尺度的属性arj的值域，gr，r+1j称为条件属性aj从第r尺度到第r+1的粒度转换函数。

根据定义3，S关于第k尺度的信息系统为（U，Ak）=（U，{ak1，ak2，…，akm}），并且对任意的x∈U，有［x］A1［x］A2…［x］As，即信息粒是随着尺度的减少而逐渐变细。

不失一般性，为方便表达，与定义3相反，文献［20-23］规定信息粒是随着尺度的增加而逐渐变细，以下的讨论也遵循这个规定，故有

［x］As［x］As-1…［x］A1。

定义4［7］ 设S=（U，A∪{d}）为多尺度决策信息系统，S=（U，A）是一个多尺度信息系统，dA是一个决策属性，由决策属性d诱导的等价关系为

Rd={（x，y）∈U×Ud（x）=d（y）}。

根据信息粒是随着尺度的增加而逐渐变细，对任意的D∈U/Rd，有

RA1（D）RA2（D）…RAs（D），" RA1（D）RA2（D）…RAs（D）。

根据上下近似定义，U被分成3个互不相交的区域，即

ACP（Ak，D）=RAk（D）={［x］Ak［x］AkD，x∈U}，

REJ（Ak，D）=U-RAk（D）={［x］Ak［x］Ak∩D=，x∈U}，

UNC（Ak，D）=RAk（D）-RAk（D）={［x］Ak［x］AkD，［x］Ak∩D≠，x∈U}，

且有UNC（As，D）UNC（As-1，D）…UNC（A1，D）。

根据序贯三支决策理论，有

ACP（Ak+1，D）=ACP（Ak，D）∪K，

REJ（Ak+1，D）=REJ（Ak，D）∪J，

UNC（Ak+1，D）=UNC（Ak，D）-L。

式中：K={x∈UNC（Ak，D）［x］AkD}；J={x∈UNC（Ak，D）［x］Ak∩D=}；L={x∈UNC（Ak，D）［x］AkD∧［x］Ak∩D≠}。

多尺度决策信息系统不同尺度间的信息粒化程度不一样，较细尺度的粒化精度较高，但认识知识需花费的精力较多，较粗尺度的粒化精度较低，而认识知识需花费的精力较少。人类的认知过程是一个由浅入深逐步推进的过程，面对具体的认识目标，人们希望以最小的精力获取决策目标，即以最粗的尺度获取决策目的，由于不确定性是衡量决策能力的重要指标，而决策目标有时针对具体的某个决策类，因此，提出定义5。

定义5 设S=（U，A∪{d}）为MDIS，D∈U/Rd，如果存在一个1≤k≤s， 使得UNC（As，D）=UNC（Ak，D），但任意的llt;k，有UNC（As，D）UNC（Al，D）成立，则称k是D的局部最优尺度。

根据定义5，对于D∈U/Rd，由UNC（As，D）UNC（As-1，D）…UNC（A1，D），决策类D针对最高尺度的不确定性最小，即最高尺度的决策能力最好。因此，k是保持局部决策类不确定性的最粗尺度，即保持局部决策能力不变的最优尺度。

2 增加对象条件下多尺度决策信息系统最优尺度的更新规律

对于一个多尺度决策信息系统S=（U，A∪{d}），当信息系统添加一个对象y时，系统决策类的不确定性和最优尺度可能发生改变，故讨论增加一个对象y是不确定性和最优尺度的更新规律。为方便表达，把增加一个对象前后对应的时刻分别记为t，t+1；

S（t）=（Ut，A∪{d}），S（t+1）=（Ut+1，A∪{d}）分别为时刻t，t+1对应的多尺度决策信息系统；

Ut={x1，x2，…，xn}，Ut+1={x1，x2，…，xn，y}分别为时刻t，t+1系统对应的论域；

［x］tAk，［x］t+1Ak分别为对象x第k尺度下在时刻t，t+1的等价类。

下文都是针对更新前后的系统S（t），S（t+1）开展的。因此，引理或定理的表述中不再强调更新前后的系统，也不再强调添入的对象y。

假设添入的对象y不自成一类，即存在x∈Ut，使［y］tAs=［x］tAs∪{y}。

对于Dt∈Ut/Rd，添加对象y后，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，则有

Dt+1=Dt∪{y}，" d（y）=d（x）， x∈Dt，Dt，" 其他。

引理2［20］ 对于任意的Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，1≤k≤s，则有

UNC（Ak，Dt+1）=UNC（Ak，Dt）∪［y］t+1Ak，" y∈UNC（Ak，Dt+1），UNC（Ak，Dt），" 其他。

根据引理2，显然，有UNC（Ak，Dt）UNC（Ak，Dt+1）。

更进一步，容易得到引理3。

引理3 对Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，［y］t+1Ak=［x］t+1Ak∪{y}，1≤k≤s，有以下2个结论成立。

1） 如果Dt+1=Dt∪{y}，则有

UNC（Ak，Dt+1）=UNC（Ak，Dt），" ［x］tAkD，UNC（Ak，Dt）∪［x］tAk∪{y}，" ［x］tAk∩D=，UNC（Ak，Dt）∪{y}，" 其他。

2） 如果Dt+1=Dt，则有

UNC（Ak，Dt+1）=UNC（Ak，Dt）∪［x］tAk∪{y}， ［x］tAkD，

UNC（Ak，Dt），" ［x］tAk∩D=，

UNC（Ak，Dt）∪{y}，" 其他。

文献［23］中给出最优尺度变小的充分必要条件。

定理1［23］ 设Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，r，R分别是Dt，Dt+1的最优尺度，［y］tAs=［x］tAs∪{y}，则Rlt;r当且仅当以下3个条件成立：

1） y∈UNC（As，Dt+1）；

2） xUNC（As，Dt）；

3） UNC（Ar-1，Dt）-UNC（As，Dt）=［x］tAs。

定理2 设Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，r，R分别是Dt，Dt+1的最优尺度，若［y］tAs=［x］tAs∪{y}，yUNC（As，Dt+1），则r=R。

证明：由于yUNC（As，Dt+1），根据引理1，有［y］As∩UNC（As，Dt+1）=，故［x］As∩UNC（As，Dt）=成立，又因r是决策类Dt的最优尺度，有UNC（As，Dt）=UNC（Ar，Dt），故［x］Ar∩UNC（Ar，Dt）=，分两种情况证明yUNC（Ar，Dt+1）。

1） 当Dt+1=Dt∪［y］时，由yUNC（As，Dt+1）及［y］tAs=［x］tAs∪{y}，有

［x］tAsDt，故［x］tArDt，否则与UNC（As，Dt）=UNC（Ar，Dt）矛盾，故

［y］tAr=［x］tAr∪{y}Dt+1，即yUNC（Ar，Dt+1）。

2） 当Dt+1=Dt∪［y］时，由yUNC（As，Dt+1）及［y］tAs=［x］tAs∪{y}，有

［x］tAs∩Dt=，［x］tAr∩Dt=，否则与UNC（As，Dt）=UNC（Ar，Dt）矛盾，所以［y］tAr∩Dt+1=，即yUNC（Ar，Dt+1）。

根据引理2，UNC（As，Dt+1）=UNC（As，Dt），UNC（Ar，Dt+1）=UNC（Ar，Dt），故有UNC（As，Dt+1）=UNC（Ar，Dt+1）。

另一方面，因为r是决策类Dt的最优尺度，所以UNC（As，Dt）UNC（Ar-1，Dt），从而UNC（As，Dt+1）=UNC（As，Dt）UNC（Ar-1，Dt）UNC（Ar-1，Dt+1），所以r=R。

定理3 设Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，r，R分别是Dt，Dt+1的最优尺度，［y］tAs=［x］tAs∪{y}，若x∈UNC（As，Dt），则r=R。

证明：如果x∈UNC（As，Dt），那么y∈UNC（As，Dt+1），因为UNC（As，Dt）=

UNC（Ar，Dt），所以有x∈UNC（Ar，Dt），y∈UNC（Ar，Dt+1），根据引理2，可得

UNC（As，Dt+1）=UNC（As，Dt）∪{y}，且UNC（Ar，Dt+1）=UNC（Ar，Dt）∪{y}。

因此，有UNC（As，Dt+1）=UNC（Ar，Dt+1），因UNC（As，Dt）UNC（Ar+1，Dt），有

x∈UNC（Ar+1，Dt），y∈UNC（Ar+1，Dt+1），从而有UNC（A1，Dt+1）=UNC（A1，Dt）∪{y}

UNC（Ar+1，Dt）∪{y}=UNC（Ar+1，Dt+1），所以R=r。

根据定理2与定理3，添加对象y后，如果yUNC（As，Dt+1）或者x∈UNC（As，Dt），则Dt+1的最优尺度也是r，因此，只讨论y∈UNC（As，Dt+1）且xUNC（As，Dt）的情况。因为r是Dt的最优尺度，故UNC（As，Dt）=UNC（Ar，Dt），从而xUNC（Ar，Dt），y∈UNC（Ar，Dt+1），根据引理1与引理3，容易得到引理4。

引理4 设r是Dt的最优尺度，y∈UNC（As，Dt+1）且xUNC（As，Dt），则有

［x］tAs∩UNC（As，Dt）=，

［x］tAr∩UNC（Ar，Dt）=，

UNC（As，Dt+1）=UNC（As，Dt）∪［x］tAs∪{y}，

UNC（Ar，Dt+1）=UNC（Ar，Dt）∪［x］tAr∪{y}。

证明：y∈UNC（As，Dt+1），xUNC（As，Dt），根据引理1可得［y］AsUNC（As，Dt+1）且［x］As∩UNC（As，Dt）=。根据引理3，可得UNC（As，Dt+1）=UNC（As，Dt）∪［x］tAs∪{y}。

由于设r是Dt的最优尺度，所以UNC（As，Dt）=UNC（Ar，Dt），从而有

［x］tAs∩UNC（As，Dt）=，

UNC（Ar，Dt+1）=UNC（Ar，Dt）∪［x］tAr∪{y}。

给出最优尺度不变与变大的充分必要条件（定理4，5）。

定理4 设Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，r，R分别是Dt，Dt+1的最优尺度，［y］tAs=［x］tAs∪{y}，y∈UNC（As，Dt+1），且xUNC（As，Dt），则R=r当且仅当以下两个条件成立：

1） ［x］tAs=［x］tAr；

2） UNC（Ar-1，Dt+1）-UNC（As，Dt）［x］tAs。

证明：根据引理4，有

UNC（As，Dt+1）=UNC（Ar，Dt+1）［x］tAs=［x］tAr。

又因为UNC（As，Dt）UNC（Ar-1，Dt），所以有

UNC（As，Dt+1）UNC（Ar-1，Dt+1）UNC（As，Dt）∪［x］tAs∪{y}UNC（Ar-1，Dt+1）UNC（Ar-1，Dt+1）-UNC（As，Dt）［x］tAs。因此，有

R=rUNC（As，Dt+1）=UNC（Ar，Dt+1），

UNC（As，Dt+1）UNC（Ar-1，Dt+1）［x］tAs=［x］tAr，

UNC（Ar-1，Dt+1）-UNC（As，Dt）［x］tAs。

定理5 设Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，r，R分别是Dt，Dt+1的最优尺度，［y］tAs=［x］tAs∪{y}，y∈UNC（As，Dt+1），xUNC（As，Dt），则Rgt;r当且仅当

［x］tAs［x］tAr。

证明：根据引理4，有

Rgt;rUNC（As，Dt+1）UNC（Ar，Dt+1）UNC（As，Dt）∪［x］tAs∪{y}UNC（Ar，Dt）∪［x］tAr∪{y}［x］tAs［x］tAr。

例1

动态多尺度决策信息系统（例1），如表1所示。更新动态MDSI决策类的局部最优尺度。

设Ut={x1，x2，…，x8}，当对象y，z被添加到系统后，对最优尺度的更新进行研究。经计算可得

Ut/Rd={Dt，Et}={{x1，x2，x3，x4}，{x5，x6，x7，x8}}，

Ut/RA3={{x1}，{x2}，{x3}，{x4，x5}，{x6}，{x7}，{x8}}，

Ut/RA2={{x1}，{x2，x3}，{x4，x5}，{x6}，{x7，x8}}，

Ut/RA1={{x1}，{x2，x3，x4，x5}，{x6，x7，x8}}，

UNC（A3，Dt）=UNC（A3，Et）={x4，x5}，

UNC（A2，Dt）=UNC（A2，Et）={x4，x5}，

UNC（A1，Dt）=UNC（A1，Et）={x2，x3，x4，x5}。

因此，Dt，Et的局部最优尺度都是2。

当添入对象y时，有Et+1=Et∪{y}，经计算可得，［y］t+1A3=［x8］tA3∪{y}，

UNC（A3，Dt+1）={x4，x5，x8，y}，UNC（A3，Et+1）={x4，x5，x8，y}，故

［y］t+1A3=［x8］tA3∪{y}，y∈UNC（A3，Dt+1），x8UNC（A3，Dt），［x8］tA3［x8］tA2，

根据定理5，Dt+1的最优尺度大于Dt的最优尺度，

由［y］t+1A3=［x8］tA3∪{y}，y∈UNC（A3，Et+1），x8UNC（A3，Et），［x8］tA3［x8］tA2，Et+1的最优尺度大于Et的最优尺度。经计算Dt+1，Et+1的最优尺度都为3。

当添入对象z时，有Dt+1=Dt∪{z}，经过计算可得到［z］t+1A3=［x1］tA3∪{z}，

UNC（A3，Dt+1）=UNC（A3，Et+1）={x4，x5}，zUNC（A3，Dt+1），zUNC（A3，Et+1），

由定理2，Dt+1与Et+1的最优尺度都不变，都为2。

由于［x2］tA3=x2，［x3］tA3=x3，所以

UNC（A1，Dt+1）-UNC（A3，Dt）UNC（A1，Dt）-UNC（A3，Dt）={x2，x3}≠［x2］tA3，

UNC（A1，Et+1）-UNC（A3，Et）UNC（A1，Et）-UNC（A3，Et）={x2，x3}≠［x3］tA3。

根据定理1，无论加入何对象，最优尺度都不会变小。

例2 动态多尺度决策信息系统（例2），如表2所示。更新动态MDSI决策类的局部最优尺度。

经计算可得

Ut/Rd={Dt，Et}={{x1，x2，x3，x4，x5}，{x6，x7，x8，x9，x10}}，

Ut/RA4={{x1，x2}，{x3}，{x4，x7}，{x5，x6}，{x8，x9，x10}}，

Ut/RA3={{x1，x2}，{x3}，{x4，x5，x6，x7}，{x8，x9，x10}}，

Ut/RA2={{x1，x2}，{x3，x4，x5，x6，x7}，{x8，x9，x10}}，

Ut/RA1={{x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7}，{x8，x9，x10}}，

UNC（A4，Dt）=UNC（A4，Et）={x4，x5，x6，x7}，

UNC（A3，Dt）=UNC（A3，Et）={x4，x5，x6，x7}，

UNC（A2，Dt）=UNC（A2，Et）={x3，x4，x5，x6，x7}，

UNC（A1，Dt）=UNC（A1，Et）={x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7}。

因此，Dt，Et的最优尺度都是3，

添入对象y时，由表2可得，Dt+1=Dt∪{y}，Et+1=Et，且［y］t+1A4=［x4］tA4∪{y}，

由x4∈UNC（A4，Dt），x4∈UNC（A4，Et），根据定理3，Dt+1与Et+1的最优尺度都不变，仍为2。

3 结束语

寻找最优尺度是多尺度决策信息系统的一个核心问题，决策类的不确定性是系统决策能力的一个重要的衡量标准。在最细尺度下，系统的决策能力最优。以局部决策类在最细尺度下的不确定性作为度量指标，采用增量学习方法，在对象动态增加的环境下，研究多尺度的决策信息系统保持局部决策类不确定性的最优尺度的更新规律，给出在添加一个对象条件下，最优尺度不变和变大的充分必要条件。文中给出了添加对象后系统最优尺度更新的一种判别方法，进一步完善了这一课题的研究，具有一定的理论价值和实践价值。

今后，将进一步研究对象动态增加环境下多尺度覆盖决策信息系统和集值决策信息系统的最优尺度更新规律，并探索将所得的结果推广到模糊集的情形。

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（责任编辑： "钱筠" 英文审校： 黄心中）

通信作者： 李进金（1960-），男，教授，博士，博士生导师，主要从事一般拓扑学与不确定性分析的研究。E-mail：jinjinlimnu@126.com。

基金项目： 国家自然科学基金资助项目（12271191， 11871259）； 福建省自然科学基金资助项目（2022J01306）https：//hdxb.hqu.edu.cn/