利用不等式求最值常见题型的解法探讨

利用不等式求最值的题型有很多，解法多种多样.有些题型可能有多种解法，但有些题型可能会令我们束手无策，怎样才能找到这些题型的解法呢？这就需要我们能够抓住题中的条件式、求值式的结构特征找到它们的解法！下面就以一些常见题型为例来探讨这些题型的解法.

1 题型一：条件式为二次式，求值式为一次式

对于“已知x2+my2=p，求x+ny的最值”，可以用柯西不等式（a21+a22+……+a2n）×（b21+b22+……+ b2n）≥（a1b1+a2b2+……+anbn）2，当且仅当 a1 b1 = a2 b2 =……= an bn 时，等号成立，参见例1.

对于“已知x2+my2+kxy=p，求x+ny的最值”，可以先将条件式变形，再用柯西不等式，如例2.

例1 ""已知xgt;0，ygt;0，且x2+2y2=9，则x+4y的最大值为 """"".

解： "由x2+2y2=9，可得9= 1 9 ［12+（2 2 ）2］×［x2+（ 2 y）2］≥ 1 9 （1×x+2 2 × 2 y）2= 1 9 （x+4y）2， 所以x+4y≤9，当且仅当 x2+2y2=9， 1 x = 2 2 ""2 y ， 即 x=1，y=2 时，等号成立.

故x+4y的最大值为9.

方法点睛： 利用柯西不等式降次，实现由条件式向求值式的转化.

例2 ""已知实数x，y满足4x2+y2+xy=1，求4x+y的最大值.

解： "由4x2+y2+xy=1，可得 2x+ 1 4 y 2+ ""15 "4 y 2=1，所以有1= 15 64 "22+ "2 "15 ""2 × "2x+ 1 4 y 2+ ""15 "4 y 2 ≥ 15 64 "2 2x+ 1 4 y + ""2 "15 "× "15 "4 y 2= 15 64 （4x+y）2，

则4x+y≤ 8 15 "15 ，

当且仅当 4x2+y2+xy=1， 2 2x+ 1 4 y = "2 "15 """"15 "4 y ，

即 x= 7 15 "60 ，y= "15 "15 "时，等号成立.

故4x+y的最大值为 8 15 "15 .

方法点睛： 通过配方将条件式转化为两项平方和的形式，再用柯西不等式实现由条件式向求值式的转化.

2 ""题型二：条件式为一次式、二次式，求值式

为分式且分母为一次式、二次式

对于“已知x2+my2=p，求 a x + b y 的最值”，可以用权方和不等式 am+11 bm1 + am+12 bm2 +……+ am+1n bmn ≥ （a1+a2+……+an）m+1 （b1+b2+……+bn）m （aigt;0，bigt;0，mgt;0），当且仅当 a1 b1 = a2 b2 =……= an bn 时，等号成立，如例3.

对于“已知mx+ny=p，求 1 ax+by + 1 cx+dy 的最值”，可先找出mx+ny与ax+by，cx+dy之间的关系，再用权方和不等式，如例4.

例3 ""已知正实数x，y满足x2+9y2=1，则 3 x + 1 y 的最小值为 """"".

解： 因为xgt;0，ygt;0，x2+9y2=1，所以 3 x + 1 y = 3 （x2） "1 2 ""nbsp;+ 3 （9y2） "1 2

=3 "1 "3 2 """（x2） "1 2 """+ 1 "3 2 """（9y2） "1 2 """"≥3× （1+1） "3 2 """（x2+9y2） "1 2 """=6 2 ，

当且仅当 x2+9y2=1， 1 x2 = 1 9y2 ，

即 x= "2 "2 ，y= "2 "6 "时，等号成立.

故 3 x + 1 y 的最小值为6 2 .

方法点睛： 先对求值式的分母进行升次变形，再用权方和不等式实现求值式向条件式的转化.

例4 ""已知agt;0，bgt;0，a+2b=1，则 1 3a+4b + 1 a+3b 的最小值为 """"".

解： 令a+2b=λ（3a+4b）+μ（a+3b），则有

3λ+μ=1，4λ+3μ=2，

解得 λ= 1 5 ，μ= 2 5 .

因为agt;0，bgt;0，a+2b=1，所以 1 3a+4b + 1 a+3b = 1 5 ""12 "1 5 （3a+4b） + ""（ 2 ）2 "2 5 （a+3b） "≥ 1 5 × （1+ 2 ）2 "1 5 （3a+4b）+ 2 5 （a+3b） = 1 5 × "（1+ 2 ）2 a+2b = 3+2 2 "5 ，

当且仅当 a+2b=1， 1 "1 5 （3a+4b） = "2 ""2 5 （a+3b） "，

即 a=5 2 －7，b= 8－5 2 "2 "时，等号成立.

故 1 3a+4b + 1 a+3b 的最小值为 3+2 2 "5 .

方法点睛： 先找出条件式与求值式分母之间的关系，再用权方和不等式实现由求值式向条件式的转化.

3 题型三：求值式为齐次分式

对于“ ax+by cx+dy + ex+fy gx+hy 型分式求最值”，可先将分式的分子分母同除以x（或y），再将 y x （或 x y ）换元.

例5 ""已知实数xgt;0，ygt;0，则 x 2x+y + y x+2y 的最大值是 """"".

解： nbsp;由xgt;0，ygt;0，可得 x 2x+y + y x+2y = 1 2+ y x "+

y x "1+ 2y x ".设 y x =t（tgt;0），则 x 2x+y + y x+2y = 1 2+t + t 1+2t = t2+4t+1 2t2+5t+2 = "3 2 t 2t2+5t+2 + 1 2 = 3 4 t+ 1 t "+10 + 1 2 ≤ 3 4×2+10 + 1 2 = 2 3 ，当且仅当t= 1 t ，即t=1时，等号成立.

故 x 2x+y + y x+2y 的最大值为 2 3 .

方法点睛： 先化作比值，再将比值换元，实现由二元变量向一元变量的转化，再用均值不等式求最值.

4 ""题型四：求值式为和（积）的形式，条件式可变形为积（和）的形式

对于“求（x+m）+p（y+n）型式子的最值”，可以将已知条件变形为（x+m）（y+n）=k；

对于“求（x+m）（y+n）型式子的最值”，可以将已知条件变形为（x+m）+p（y+n）=l.

例6 ""已知0lt;alt;1，0lt;blt;1，且4（a+b）=4ab+3，则a+2b的最大值为（ "）.

A.2 "B.2 2 ""C.3－ 2 ""D.3－2 2

解： "由4（a+b）=4ab+3，可得（1－a）（1－b）= 1 4 .

因为0lt;alt;1，0lt;blt;1，所以1－agt;0，1－bgt;0，

则a+2b=（a－1）+2（b－1）+3

=－［（1－a）+2（1－b）］+3≤－2 （1－a）×2（1－b） +3=3－ 2 ，当且仅当1－a=2（1－b），（1－a）（1－b）= 1 4 ，即a= 2－ 2 "2 ，b= 4－ 2 "4 时，等号成立.所以a+2b的最大值为3－ 2 .

故选答案：C.

方法点睛： 求值式a+2b为（x+m）+p（y+n）的形式时，可将已知条件4（a+b）=4ab+3变形为1－a与1－b积的形式，将a+2b变形为1－a与1－b和的形式，再利用不等式（1－a）+2（1－b）≥2 （1－a）×2（1－b） 求最值.

上文结合具体实例探讨了利用不等式求最值常见题型的解法，但由于利用不等式求最值的题型比较多，特征也多种多样，解题方法也不只有上述几种，因此，我们应该在平常的解题过程中不断发现、积累，养成良好的解题习惯.