从多个角度寻找证明不等式的思路

摘要： 数学是一门非常灵活的学科，随着知识和经验的积累，同一道数学题目可以从不同的角度进行思考，往往可以得到多种解题方法.多种方法的探讨不仅能拓宽中学生的解题思路，而且还有助于培养发散性思维能力，避免思维定式.由此可见，在中学课堂上，提倡和开展“一题多解”的训练是很有必要的.本文中以一道不等式证明题为例从多个角度出发，寻找解题的思路方法，从而培养中学生的创造性能力.

关键词： 中学数学；不等式证明；多角度解题

1 原题呈现

题目 ""如果a，b，c均为正数， 则

a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ≥ a+b+c 2 .

该不等式中有三个变量，因此本题属于三变量不等式证明题.首先应该仔细观察该不等式的特点、左右两边变量的关系，然后将其进行合理的变形、转化，进而证明不等式.

2 解法探寻

在不等式求解的过程中，当不等式两边出现复杂的关系式时，要尽量向相对简单的关系式转化，这样有助于找到二者之间的关系，从而通过关系式的整合找到解题思路.

因此，现探讨如下思路.

思路一：观察左右两边，左边存在b+c，a+b，a+c的组合关系式，为消去左边分母，对左边关系式进行转化.

观察到不等式左边每一项都含有分母，因此需要针对每一项进行变形以消去分母.

在原不等式的基础上进行变形、转化，在不等式 x+y 2 ≥ xy （注：x＞0，y＞0，当且仅当x=y时，等号成立）的基础上进行延伸，在解题的过程中进行及时的调整.

证明： [JP2]由不等式 x+y 2 ≥ xy ，得 "a2 b+c + b+c 4 + b2 a+c + a+c 4 + c2 a+b + a+b 4

≥2 "a2 b+c ＼5 b+c 4 "+2 "b2 a+c ＼5 a+c 4 "+2 "c2 a+b ＼5 a+b 4 ""=a+b+c，当且仅当a=b=c，等号成立.所以有

a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b + a+b+c 2 "≥a+b+c.

整理，得 a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ≥ a+b+c 2 ，即原不等式成立.

思路二：对含有分母的项进行调整.

在使用基本不等式时，通过观察不等式的和、积之间的关系，先将 a2 b+c 调整为 4a2 b+c ，将 b2 a+c 调整为 4b2 a+c ，将 c2 a+b 调整为 4c2 a+b ，同时为保证其值不发生变化，在不等式左边加上相应的项，然后使用不等式 x+y 2 ≥ xy （x＞0，y＞0，当且仅当x=y时等号成立），从而证明原不等式成立.

证明： 由基本不等式，可得

4a2 b+c + 4b2 a+c + 4c2 a+b +（b+c）+（a+c）+（a+b） ≥[JP]4（a+b+c） .

[JP2]因此

4× "a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b "≥2（a+b+c），

从而有 a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ≥ a+b+c 2 ，即原不等式成立.[JP]

思路三：利用柯西不等式证明不等式成立.

柯西不等式是将两数列中“各项积的和”与“和的积”巧妙地结合在一起，在排列上规律明显，具有简洁、对称、和谐的美感，在解决不等式证明问题时，可以联想柯西不等式.柯西-施瓦茨不等式：若a1，a2，……，an和b1，b2，……，bn是任意实数，则有 ∑ n k=1 akbk 2≤ ∑ n k=1 a2k · ∑ n k=1 b2k .于是有

（a21+a22+a23）（b21+b22+b23）≥（a1b1+a2b2+a3b3）2，[JP]当且仅当

bi=0（i=1，2，3）或存在一个数k，使得ai=kbi（i=1，2，3）时，等号成立.

证明： 由柯栖不等式，得

a "b+c ""2 + "b "a+c ""2 + "c "b+a ""2 ·

（ "b+c ）2 +（ a+c ）2+（ b+a ）2］≥（a+b+c）2 ，

当且仅当

a b+c = b a+c = c a+b

时，等号成立.

所以有

2 "a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b "（a+b+c）≥（a+b+c）2.[JP]

故 a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ≥ a+b+c 2 ，即原不等式成立.[JP]

思路四：利用向量证明不等式.

向量作为高中数学的重要知识点，不仅可以给学生带来新的认识，还可以为解题提供新的思路.证明不等式时，经常需要通过一些技巧对不等式进行变形处理，否则会很难证明.

运用向量知识可以将问题简单化，容易证明结果.

柯西不等式是利用向量证明的，由此为解决该问题提供了新的思路与方法.设向量 m =（ b+c ， a+c ， b+a ）， n =（ a "b+c "， b "a+c "， c "b+a "），

其夹角为φ，由向量夹角公式，可得

m ·n =|m |·[JP2]|n |· cos φ.由于向量夹角的范围为［0，π］，0≤cos2φ≤1，则有

（m ·n ）2= m "2 n "2cos2φ≤ m "2 n "2，从而证得原不等式.

证明： 令m =（[KF（]b+c[KF）]，[KF（]a+c[KF）]，[KF（]b+a[KF）]），n = [SX（]a[][KF（]b+c[KF）][SX）]，[SX（]b[][KF（]a+c[KF）][SX）]，[SX（]c[][KF（]b+a[KF）][SX）] .

于是，有

（a+b+c）2

=（m ·n ）2

≤ m "2 n "2

=[ZK（]［（b+c）+（a+c）+（a+b）］ "a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b "[ZK）]

=[ZK（]2（a+b+c） "a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ".[ZK）][ZK）]

故 a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ≥ a+b+c 2 ，即原不等式成立. [JP]

我们从四种角度出发，得到了四种不同的解题思路.在解题时，从多种角度考虑问题，可以帮助学生培养创造性思维.创造性思维的核心是发散性思维.发散性思维方式是指遇到问题时，能从多角度、多层面、多结构去思考、寻找答案，既不受现有知识的限制，也不受传统方法的束缚.当然，也可以利用数学中的函数、方程、几何等知识寻找新的解题思路与方法.在面对问题时，首先弄清问题是什么，抓住关键信息、图或者表;其次是多寻找几个解题的突破口，拟定一个解题计划;再次是对问题进行解决、证明;最后是检验解题过程与方法，并反思该方法是否可以解决这一类问题.思路一和思路二相对来说是学生比较熟悉的，用得比较多的方法;思路三利用柯西-施瓦茨不等式是能最快解决问题的方法;思路四利用空间向量解决该问题是很灵活的方式，但同时也有一定的局限性.

要解决一道题目，经常会遇到各种各样的问题，其原因可能有很多，如找不到切入点、知识掌握不牢固、解决方法不恰当、审题不细致等.因此，教师在课堂教学中，要激发学生主动解题的兴趣，启发学生的发散性思维，引导学生从多角度考虑问题.每当学生想出一种解题方法，教师应该给予肯定和鼓励.通过一题多解可以有效地提高解决数学问题的效率，学生可以根据自己所熟悉的知识选择适合自己的思路来解决问题.