函数零点问题的求解路径分析

摘要： 含参的函数零点讨论问题，是近些年来函数压轴的常见题型，本文中借此题型分享了几个含参函数零点问题的解题感悟，找到了使得函数值异号的点大致的三种路径.路径一，分离出代数式中已经能判定符号的式子，将剩余部分视作“零”，通过解方程找到所需定号的“点”；路径二，利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数；路径三，利用 y=ex在x=0处的切线进行放缩，也即利用ex≥x+1及其变形式进行放缩.

关键词： 函数找“点”；定号；放缩

众所周知，极限与导数（微积分）紧密相关，很多导数问题与极限思想都息息相关.苏教版教材在高中数学课程中不涉及极限的知识，这给很多涉及导数的函数问题的求解带来了重重困难.例如，含参的函数零点讨论问题，这是近些年来函数压轴的常见题型，笔者就借此题型来分享几个含参函数零点问题的解题感悟.

1 引例

讨论f（x）= x ex －ax+1的零点个数.

1.1 分析

初见此题，感觉数形结合较为容易.由于x=0不是函数的零点，故分离参数之后，问题等价转化为方程的根的个数问题.令 x ex -ax+1=0，则有

1 ex + 1 x =a. "①

数形结合，如图1我们发现：

当a≤0时，方程①仅有一解，即f（x）= x ex －ax+1有一个零点；

当agt;0时，方程①有两解， 即f（x）= x ex －ax+1有两个零点.

再细想，一来学生对函数图象的趋势（极限思想）不一定能准确把握，二来作为解答题，这样的解答似乎略显苍白，因此，需要用文字和数学表达式来准确证明上面的结论，即用零点存在定理来证明零点的存在性.那么，如何取点就变成了学生解决此题的难点.许多学生“为题消得人憔悴”，但依旧不得.重新审视此题，笔者略谈一二，希望能够给此类题型提供一些解题思路.

1.2 解析

首先考虑特值：当a=0时，若x≥0，则f（x）gt;0恒成立，故f（x）无正数零点；若xlt;0，则f′（x）= 1－x ex gt;0恒成立，即f（x）在（-∞，0）上单调增，又f（－1）=1－elt;0，f － 1 2 "=－ "e "2 +1gt;0，所以f（x）在（-∞，0）上仅有一个零点.故a=0时，f（x）= x ex -ax+1有一个零点.

再考虑非特值：

由于x=0不是函数f（x）的零点，故分离参数后可等价转化为g（x）= 1 ex + 1 x －a的零点个数问题.

因为g′（x）=－ 1 ex － 1 x2 lt;0恒成立，所以函数g（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减.

（i）alt;0时，若xgt;0，则g（x）gt;0恒成立，故g（x）无正零点；若xlt;0，则g "1 a "= 1 e "1 a ""gt;0.

取x0=max{－1， 1 a－e }，则 g（x0）≤e－a+ 1 x0 ≤0.

故g "1 a "·g（x0）≤0，此时g（x）在定义域内仅有一个零点，即f（x）仅有一个零点.

（ⅱ）agt;0时，g（x）= 1 ex + 1 x －a.若xgt;0，则

g "1 a "= 1 e "1 a ""+a－a= 1 e "1 a ""gt;0，

g "2 a "= 1 e "2 a ""+ a 2 －alt; a 2 + a 2 －a=0.

故g "1 a "·g "2 a "lt;0，此时g（x）在（0，+∞）内仅有一个零点，即f（x）在（0，+∞）内仅有一个零点.

若xlt;0，g － 1 2 nbsp;= e －2－alt;0，且

g － a+ a2+4 "2 "gt;－ － a+ a2+4 "2 "+ 1 － a+ a2+4 "2 "－a=0.

故g － 1 2 "·g － a+ a2+4 "2 "lt;0，此时g（x）在（-∞，0）内仅有一个零点，即f（x）在（-∞，0）内仅有一个零点.

综上：当a≤0时，f（x）= x ex －ax+1有一个零点；

当agt;0时， f（x）= x ex －ax+1有两个零点.

1.3 总结

从上述解题过程看，找到使得函数值异号的点大致可以选择以下三种路径.

路径一：把代数式中已经能判定符号的式子取出，再将剩余部分视作“零”，通过解方程找到所需定号的“点”.

例如上例中，在alt;0时，若xlt;0，则g（x）= 1 ex + 1 x －a中 1 ex 的符号已经能够判定为正，则只需将剩余的“ 1 x －a”视为零，从而找到所需的“点”，即g "1 a "= 1 e 1 a "+a－a= 1 e "1 a ""gt;0.

路径二：利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数，将超越式不等式放缩为分式不等式或多项式不等式，通过解不等式找到所需定号的“点”.例如上例中，在alt;0时，若xlt;0，则g（x）在（-∞，0）上单调递减，在g（x）= 1 ex + 1 x －a中，当x∈［－1，0）时， 1 ex ∈（1，e］，不妨取x0=max{－1， 1 a－e }， 则 g（x0）≤e－a+ 1 x0 ≤0.

路径三：利用y=ex在x=0处的切线进行放缩（即利用ex≥x+1及其变形式进行放缩），将所有的超越式放缩为分式或多项式，将所求不等式转化为分式不等式或多项式不等式进行求解，找到所需定号的“点”.例如上例中，agt;0时，g（x）= 1 ex + 1 x －a，当xgt;0时，利用ex≥x+1进行放缩，即由exgt;x得到e "2 a "gt; 2 a ，又因为e "2 a "gt; 2 a gt;0，则 1 e "2 a ""lt; a 2 ，故g（ 2 a ）= 1 e "2 a ""+ a 2 －alt; a 2 + a 2 －a=0；agt;0时，g（x）= 1 ex + 1 x －a，当xlt;0时，利用ex≥x+1进行放缩，即由exgt;x得e－xgt;－x，则g（x）gt;－x+ 1 x －a=－ x2+ax－1 x =－ "x－ －a+ a2+4 "2 ""x－ －a－ a2+4 "2 ""x ，故不妨取x=－ a+ a2+4 "2 ，有g － a+ a2+4 "2 "gt;0.

2 三种路径在压轴题中应用

经过上题的研究，笔者有些“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”之感.下面利用这三种路径来解决如下高考压轴题.

［2022·全国乙卷（文）20题］ 已知函数f（x）=ax－ 1 x －（a+1）ln x.若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围.

解析： 由f（x）=ax－ 1 x －（a+1）ln x，xgt;0，得

f′（x）=a+ 1 x2 － a+1 x = （ax－1）（x－1） x2 .

当a≤0时，ax－1≤0.所以，当x∈（0，1）时，f′（x）gt;0，f（x）单调递增；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）lt;0，f（x）单调递减.

故f（x）max=f（1）=a－1lt;0，此时函数f（x）无零点，不合题意.

当0lt;alt;1时， 1 a gt;1，f（x）在（0，1）， "1 a ，+∞ 上单调递增；f（x）在 1， 1 a "上单调递减.

又因为f（1）=a－1lt;0，所以存在m= a+1+ （a+1）2+a "a gt;1，使得f（m）gt;0.

故0＜a＜1时，f（x）仅在 "1 a ，+∞ 有唯一零点，符合题意.

当a=1时，f′（x）= （x－1）2 x2 ≥0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增.又f（1）=a－1=0，所以f（x）有唯一零点，符合题意.

当agt;1时， 1 a lt;1，f（x）在 0， 1 a "，（1，+∞）上单调递增；f（x）在（ 1 a ，1）上单调递减.此时f（1）=a－1gt;0，则f "1 a "gt;f（1）gt;0，存在n= 1 4（a+1）2 lt; 1 a ，使得f（n）lt;0.

所以f（x）在 0， 1 a "有一个零点，在 "1 a ，+∞ 无零点.故a＞1时，故f（x）有唯一零点，符合题意.

综上，a的取值范围为（0，+∞）.

评析： "通过该题的解析不难发现，在讨论当0lt;alt;1时，可先利用路径二由xgt;1得到－ 1 x gt;－1，再利用路径三由ex≥x+1的变形式eln x≥ln x+1得到ln x≤x－1，进而得到ln xlt;x，用 x 替换x，得ln xlt;2 x ，则f（x）gt;ax－1－2（a+1） x =a "x － a+1－ （a+1）2+a "a ""－ a+1+ （a+1）2+a "a + x "，则存在m= a+1+ （a+1）2+a "a gt;1，使得f（m）gt;0.

而在讨论当agt;1时，可先利用路径二由xlt; 1 a 得到axlt;1，再利用路径三由ln xlt;x－1（x≠1）用 1 "x "替换x得到－ 1 2 ln xlt; 1 "x "－1（x≠1），则f（x）lt;1－ 1 x +2（a+1）（ 1 "x "－1）=－2a－1－ 1 x + 2（a+1） "x ".由于－2a－1lt;0恒成立，因此通过路径一，可知存在n= 1 4（a+1）2 lt; 1 a ，使得f（n）lt;0.

3 结束语

通过上文两题所述，大多数的函数“找点”问题都可从上述三种路径中摸索出一些解题思路，虽不一定能“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”，但也希望通过此文为一些“为题消得人憔悴”的朋友们，在解决此类问题时点亮一丝“灯火”.

正如波利亚所说：“如果你有一个念头，你就够幸运的了；如果你走运的话，你或许能找到另一个念头；真正糟糕的事是，我们根本就没有念头，……，这时任何一个可能指明问题新方向的问题，都值得欢颂，因为它可以引起我们的兴趣，可以使我们继续工作，继续思索.”所以，解题永无止境，收获永无止境，愿看过此文的朋友在解决压轴题时，总能经历三境，不断升华.