抓住轨迹意识，优化解题应用

轨迹意识是平面解析几何中的一种重要行为意识，也是平面解析几何中的重要思想方法.除在解析几何中熟练应用外，在解三角形、平面向量以及立体几何等其他场合，也经常借助轨迹意识来解决相应的数学问题，直观形象.

1 解析几何中的轨迹意识

解析几何中的轨迹问题，其实质就是由曲线上的动点变化规律，按照一个条件的变化引起其他相关新动点的变化情况，利用对图形结构的理解、探索与联想，构建“形”与“数”之间的联系，进而探究新动点的轨迹.

例1 ""（ 2022年高三全国卷专题数学练习卷 ）已知F1，F2是椭圆 x2 4 + y2 3 =1的两个焦点，P是椭圆上的动点（不在x轴上），O为原点，G是△OPF2的重心，则直线GF1斜率的最大值是 """"".

分析： 根据条件设出重心的坐标，通过相关点法构建重心的轨迹方程，同时引入直线的斜率参数构建对应的直线方程；通过联立方程组，转化为相应的方程有根的情况，利用判别式法来构建不等式，确定斜率的最值问题.

解析： 由题可得a=2，b= 3 ，c=1，F1（－1，0），F2（1，0）.

设P（x，y），G（m，n）.由三角形的重心公式，可得 "x+0+1 3 =m， y+0+0 3 =n， 即 x=3m－1，y=3n.

代入椭圆方程，可得点G的轨迹方程为

（3m－1）2 4 + （3n）2 3 =1.

而直线GF1的斜率为k= n m+1 ，则n=k（m+1）.

于是，问题可以转化为求关于m，n的方程组 "（3m－1）2 4 + （3n）2 3 =1，n=k（m+1） 有解时参数k的取值范围.

消去n并整理，得（3+4k2）m2+（8k2－2）m+4k2－1=0.由

Δ=（8k2－2）2－4（3+4k2）（4k2－1）=16－64k2≥0，即k2≤ 1 4 ，

解得－ 1 2 ≤k≤ 1 2 .

所以直线GF1斜率的最大值是 1 2 .故填答案： 1 2 .

2 解三角形中的轨迹意识

解三角形中的轨迹问题，其实质就是将三角形问题转化为对应的代数问题，合理构建数学模型，利用代数问题所对应的轨迹，反过来数形结合，直观应用，往往可以出奇制胜，简捷有效.

例2 ""（ 创新题 ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S.

（1）若a=2，cos A= 1 2 ，求S的最大值；

（2）若a=2，c= 2 b，求S的最大值.

分析： （1）以条件中对应边与角的关系确定三角形的外接圆半径，根据动点A的轨迹，结合平面几何图形的直观来确定△ABC的面积最大时动点A的位置，进而求解相应的面积.

（2）结合三角形中一边为定值，另两边涉及倍数关系，根据平面直角坐标系的构建，将解三角形问题转化为平面解析几何中的动点轨迹问题，数形结合确定动点A的位置，进而求解面积的最大值.

解析： （1）由cos A= 1 2 ，可得A= π 3 .

设△ABC的外接圆⊙O的半径为R，结合正弦定理，可得 a sin A = 4 "3 "=2R，解得R= 2 3 "3 .

如图1所示，顶点A的轨迹是半径为R= 2 3 "3 的优弧BC（不包括两端点）.

数形结合，易知当顶点A位于优弧BC的中点D处时，△ABC的面积S最大.

此时，△ABC是正三角形，所以

Smax= 1 2 ×2×2×sin A= 3 .

（2）如图2所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，则B（－1，0），C（1，0）.

设A（x，y），由c= 2 b，可得c2=2b2，即

（x+1）2+y2=2[（x－1）2+y2].

整理并化简，可得（x－3）2+y2=8（y≠0），此即为顶点A的轨迹方程.

数形结合可知，当顶点A到BC边的距离的最大值为2 2 时，△ABC的面积S最大.

此时，Smax= 1 2 ×2×2 2 "=2 2 .

点评： 借助解三角形中对应三角形的边或角的某种定量关系，从平面几何视角或平面解析几何视角来确定动点的轨迹，合理构建平面几何或平面解析几何模型，借助“形”的直观去分析与处理一些相关的最值或综合应用问题，更加直观形象，简捷有效.

3 平面向量中的轨迹意识

平面向量中的轨迹问题，其实质就是抽象出平面向量中相关关系式的几何意义，或将线性运算转化为坐标运算等，有效确定动点的轨迹，进而利用动点的变化规律与运动轨迹，依题解答.

例3 """"（2022届浙江重点中学高三模拟数学试卷） 已知向量 a，b 满足| b |=3 2 ，且对任意t∈ R ，恒有 |b －t a|≥|b－a|，则|a－b|+|a| 的最大值是 """".

分析： 根据题意，构建平面几何图形加以数形结合，利用条件中t∈ R 确定点A1的轨迹，结合不等式恒成立的条件确定AB⊥OA;通过勾股定理的转化，结合关系式的特征进行三角换元处理，将所求平面向量模的和式转化为三角函数的最值问题.

解析： 如图3所示，设OA = a ，OB = b ，OA1 =t a ，则有| b －t a |=|A1B|，| b － a |=|AB|.

根据题意，对任意t∈ R ，恒有| b －t a |≥| b － a |，可得|A1B|≥|AB|.

由t∈ R ，可知点A1的轨迹是直线OA，数形结合可知AB⊥OA.

由于| b |=|OB|=3 2 ，因此|AB|2+|OA|2=|OB|2=18.

由三角换元，设|AB|=3 2 cos θ，|OA|=3 2 sin θ ，θ∈[0， π 2 ]，

则| a － b |+| a |=|AB|+|OA|=3 2 ·cos θ+3 2 sin θ=6sin（θ+ π 4 ）.

所以当sin（θ+ π 4 ）=1，即θ= π 4 ，亦即| a |=3，向量 a，b 的夹角为 π 4 时， |a－b|+|a| =6.

所以 |a－b|+|a| 的最大值是6.故填答案：6.

点评： 借助平面几何图形的直观分析，综合平面向量的几何意义与相关运算，直观形象来确定对应动点的轨迹以及相应的变化规律，数形结合，从而破解起来更加直观，处理起来更加快捷.

4 立体几何中的轨迹问题

立体几何中的轨迹问题，其实质就是合理进行“降维”处理，将将立体几何问题转化为平面几何问题，结合动点的轨迹，综合利用平面几何或解析几何等相关知识来分析与求解.

例4 ""（ 2022年高考数学北京卷·9 ）已知正三棱锥P＼|ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T={Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为（ nbsp;）.

A. 3π 4

B.π

C.2π

D.3π

分析： 根据题设条件，结合立体几何性质，合理构建点P在底面△ABC内的射影点O；结合集合的创新设置进行合理转化，将空间中的距离问题转化为平面内的距离问题，进而利用圆的定义与正三棱锥的性质来确定动点Q的轨迹，进而得以分析与求解.

解析： 设点P在底面三角形ABC内的射影为点O.由PA=PB=PC，可知O为△ABC的外心.

由△ABC是边长为6的正三角形，可得AO=BO=CO=2 3 .

由PA=PB=PC=6，得

PO= 62-（2 3 ）2 =2 6 .

若PQ=5，则OQ= 52－（2 6 ）2 =1.

所以，动点Q的轨迹是△ABC内以O为圆心，1为半径的圆及其内部，

则其对应的面积为π.

故选择答案：B.

以上通过四类典型问题与实例，从不同视角加以剖析，合理引导学生在解题过程中抓住轨迹意识，对图形变化要有动态认识，学会作图、构图、识图；结合对图形结构的理解，创新构建起良好的“数”与“形”之间的联系，并借助问题破解中的轨迹意识，循序渐进地领悟数形结合核心素养.