巧用源于教材的变式拓展提升学生素养

摘要： 寻源头，深挖教材，在学生最近发展区内串联教材各考点的知识，及时总结，强化知识的系统认识，活用教材结论解决综合问题，让学生学会探索和研究，能够举一反三，触类旁通，培养学生的分析问题和解决问题的能力.

关键词： 教材；探源；拓展；素养

数学教学离不开解题，掌握数学就意味着要善于解题. 解题不仅仅是单纯的解答或推证出结果，更重要的是如何探源溯流，找寻试题结论的本质，挖掘试题背后蕴藏的思想，通过解题引发学生思考与交流，提升数学思维能力，形成和发展学生的数学学科核心素养.

1 从源头探究

例1 "求直线l1：3x+4y－2=0和l2：2x+y+2=0的交点坐标.

解析： l1和l2的交点为M（－2，2）.过程略.

评注： 这是人教A版普通高中数学选择性必修第一册第70页例1，基础题，主要考查两条直线的交点问题，考查学生的“数学运算”核心素养，其实质就是联立直线方程，求解方程组.

思考： 交点为M（－2，2）的直线l1和l2唯一吗？，若不唯一，如何表示？

众生：不唯一.

师：我们把过该点的直线叫直线系，如何用方程来表示，请先看下面的探究.

拓广探究： 已知λ为任意实数，当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表示什么图形？图形有何特点？

分析1： "令3x+4y－2=0且2x+y+2=0，则方程组的解是x=－2，y=2，即方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表示过点M（－2，2）的一族直线系.

分析2： "令λ=0，1时，分别得到方程3x+4y－2=0和x+y=0，联立方程并解得x=－2，y=2，即方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表示经过点M（－2，2）的一族直线系.

变式 ""不论λ为何值，直线（3+2λ）x+（4+λ）y－（2+2λ）=0都恒过定点 """"".

在教学中从典例出发，适时改编设问方式换一副“新面孔”，有助于学生创新意识和创新精神的培养，在变式中抓住题源，似曾相识，更能充分调动学生的积极性，开阔视野，发展核心素养.这种含参直线恒过定点的问题在实际应用中较为广泛，如在圆锥曲线有关定点、定值问题中常常用到这种方法.

2 从特殊到一般拓展探究

例2 ""已知直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0相交，证明方程A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0 （λ∈ R ）表示过l1与l2交点的直线.

证明： 设P（x0，y0）是直线l1与l2的交点，则有A1x0+B1y0+C1=0且A2x0+B2y0+C2=0.于是A1x0+B1y0+C1+λ（A2x0+B2y0+C2）=0（λ∈ R ），所以D（x0，y0）也是直线A1x+B1y+C1+λ·（A2x+B2y+C2）=0（λ∈ R ）上的点.问题得证.

评注： 本题涉及过两条相交直线交点的直线系方程如何写；反之，如何求出含参的直线系的交点坐标. 特别地，若P（x0，y0）是两条互相垂直的直线l1与l2的交点，则过点P的直线系方程是y－y0=k（x－x0），即（y－y0）－k（x－x0）=0，应用十分广泛.

先从直线方程的特殊性（x，y的系数及常数项已知）到直线方程一般式（x，y的系数及常数项未知）的变式，再到用变化的观点去学习教材知识，抓住直线“变”与交点“不变”的核心，培养学生的创新意识.同时，这种变式的方法为发挥教材中习题的典型性、示范性提供了可借鉴的方法［1］.

3 类比联想，拓展圆系方程探究

由直线系方程是否可以联想到圆系方程呢？回答是肯定的.把“两条直线相交”改为“两圆相交”，可以类比写出圆系方程，这样可获得同类知识的相关结论并灵活加以运用.

例3 ""求圆心在直线x－y－4=0上，并且经过圆x2+y2+6x－4=0与圆x2+y2+6y－28=0的交点的圆的方程.

解析1： "联立两圆方程，求解得交点坐标A（－1，3）， B（－6，－2）.又圆心在AB中垂线上，所以联立方程x+y+3=0与x－y－4=0，得圆心C "1 2 ，－ 7 2 "，求得|CA|= "89 2 "，进而求出所求圆的方程为x2+y2-x+7y-3=0.

解析2： "设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2+6x－4+λ（x2+y2+6y－28）=0，即（1+λ）x2+（1+λ）y2+6x+6λy－4－28λ=0，其圆心 － 3 1+λ ，－ 3λ 1+λ "在直线x－y－4=0上，求得λ=－7，进而求出所求圆的方程为x2+y2-x+7y-3=0.

评注： 解析2正是例2结论的推广，利用此结论解题能打破常规思维（如解析1），方法简便，过程简洁.

4 类比联想，拓展曲线系方程探究

除直线系方程和圆系方程外，我们大胆地联想还会有“椭圆系”“双曲线系”以及“抛物线系”方程，而这些方程可用“曲线系”方程代表.联想、类比获得同类知识的相关结论，能使学生在解题过程中体会、理解解决这类问题方法和区别所在，提高学生分析问题的能力.

例4 """已知曲线C1：f1（x，y）=0与C2：f2（x，y）=0相交，证明方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0 （λ∈ R ）表示过C1与C2交点的曲线.

本题仿照例2容易得证，利用此结论易求教材第98页习题2.5的第7题：求经过M（2，－2）以及圆x2+y2－6x=0与x2+y2=4交点的圆的方程.

解法1 "： 联立两圆方程，得 x2+y2－6x=0，x2+y2=4， 解得 x= 2 3 ，y= 4 2 "3 ， 或 x= 2 3 ，y=－ 4 2 "3 ，

即两圆交点为 "2 3 ， 4 2 "3 "和 "2 3 ，－ 4 2 "3 ".由此可知，所求圆的圆心必在x轴上，设其为（a，0），则有

（x－a）2+y2=r2.将交点 "2 3 ， 4 2 "3 "与点M代入，得 "[SX（]2[]3[SX）]－a 2+ [SX（]4[KF（]2[KF）][]3[SX）] 2=r2，

（2－a）2+（－2）2=r2，[JB）]解之得a= 3 2 ，r2= 17 4 .

故所求圆的方程为 x－ 3 2 "2+y2= 17 4 .

解法2： "设所求圆的方程为x2+y2－6x+λ（x2+y2－4）=0.因为M（2，－2）在圆上，将它代入方程，得λ=1，所以所求圆的方程为x2+y2－3x－2=0.

评注： 本题还可以设出圆的一般方程，将三点坐标代入求解. 这两种解法比较，显然解法2简捷明了，精彩纷呈. 解题的关键是正确设出圆的方程.这是过两条曲线交点的曲线系方程的标准形式，也给出了求该曲线恒过某一定点的方法.由易到难、由简单到复杂的变化，能使学生从变中发现数学题之间的联系与本质区别以及题目“难”与“易”的辩证关系.

5 直线与圆位置关系中的定点、定值问题

例5 ""已知圆C：（x－1）2+（y－2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0.

（1）求证：直线l恒过定点.（2）直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.

（1） "证明： "直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0可化为

x+y－4+m（2x+y－7）=0.

令 x+y－4=0，2x+y－7=0， 解得 x=3，y=1.

所以直线l恒过定点A（3，1）.

（2） "解： "直线l被圆C截得的弦长最长时，直线l过圆心；直线l被圆C截得的弦长最短时，弦心距最大，此时CA⊥l.

因为圆心C的坐标为（1，2），所以kCA=－ 1 2 .当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的斜率为2.

于是－ 2m+1 m+1 =2，解得m=－ 3 4 .

又|CA|= （3－1）2+（1－2）2 = 5 ，所以直线l被圆C截得的弦长的最小值为2 25－5 =4 5 .

评注： 本题考查直线恒过定点与弦长的计算问题.第（1）问利用例2的结论可以获解；第（2）利用圆的特殊性，明确过圆内定点的弦何时最长，又何时最短，然后利用弦心距、弦之半、半径构成直角三角形获解.

如果本题第（1）问证明“不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点”，那么只需判断直线l恒过的定点在圆内即可，或联立直线和圆的方程，得到含参的关于x的一元二次方程，再用判别式即可判断.

6 高考真题再现及其结论的应用

我们发现教材基础题与高考选拔题确实有一定的差异，但不能因此抛开教材，而应更加熟练地掌握教材内容及其中蕴含的方法，这样才能从容应对“源于教材而高于教材”的高考题.

例6 ""（ 2020年高考数学课标Ⅰ卷理科 ）已知A，B分别为椭圆E： x2 a2 +y2=1（agt;1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG ·GB =8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

解析： （1）如图1所示.所求椭圆方程为 x2 9 +y2=1（过程略）.

（2） 证明： 设P（6，y0），则直线AP的方程为y= y0－0 6－（－3） （x+3），即y= y0 9 （x+3）.

联立直线AP的方程与椭圆E的方程，可得 "x2 9 +y2=1，y= y0 9 （x+3）， 消去y，整理得

（y20+9）x2+6y20x+9y20－81=0.

解得x=－3，或x= －3y20+27 y20+9 .

将x= －3y20+27 y20+9 代入直线y= y0 9 （x+3），可得 y= 6y0 y20+9 .

所以点C的坐标为 "－3y20+27 y20+9 ， 6y0 y20+9 ".

同理可得，点D的坐标为 "3y20－3 y20+1 ， －2y0 y20+1 ".

所以，直线CD的方程为

y－ "－2y0 y20+1

= "6y0 y20+9 － －2y0 y20+1 ""－3y20+27 y20+9 － 3y20－3 y20+1 ""x－ 3y20－3 y20+1 ".

整理，得y+ 2y0 y20+1 = 8y0 6（3－y20） "x－ 3y20－3 y20+1 ".

即y= 4y0 3（3－y20） x+ 2y0 y20－3 .

所以y= 4y0 3（3－y20） "x－ 3 2 ".

故直线CD过定点 "3 2 ，0 .

评注： 本题第（1）问主要考查了椭圆的简单性质及方程思想.第（2）问欲证明直线CD过定点，首先要求出直线CD的方程，这个方程是用点P的纵坐标y0作为参变量表示的；其次，需要分别求出C，D两点的坐标，而C，D两点的坐标已知条件说得很清楚；最后，用直线方程的点斜式写出方程，化为y－y0=k（x－x0）的形式，即可说明直线恒过点（x0，y0）.证明的目标很明确，需要转化思想和推理论证能力，对学生计算能力的要求较高.学生往往对含字母的运算望而生畏，心有余而力不足，导致证明半途而废.

7 结束语

挖掘教材知识、串联教材各考点的知识，根本目的在于让学生能够触类旁通、融会贯通，学会探索和研究，在交流探究过程中，培养分析问题和解决问题的综合品质.圆锥曲线中一个重要考点就是定点、定值问题，由于隐去题析增强了探索性，所以增加了试题的难度.因此，教师应引导学生打牢基础，教会学生能够把教材前后之间的知识点、考点、相互关联点交织成网，掌握解题过程中“动中求静，静中窥动”的思维特点.通过分析图形找定点、探索共性寻定点、巧赋值找定点、仔细观察猜定点等方法培养学生综合运用知识的能力.这类问题正因为探索性强［2］，因而是发展学生创新思维、全面提升学生素质的好题材，教学中一定要充分利用其教学价值.

参考文献：

［1］ 何伟军.基于教材提升学生数学素养的变式教学［J］.中学数学，2019（5）：3-5.

［2］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书·数学·选择性必修·第一册（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.