考虑税收因素的债券贴现模型优化研究

摘要：部分金融机构出于风险管理要求，在债券投资收益中会考虑税收因素，将利率债到期收益率还原为相同要素的信用债的到期收益率。本文采用我国债券市场历史数据，在传统债券贴现模型基础上，考虑税收因素，推导了将利率债到期收益率还原为信用债到期收益率的计算公式。针对不存在解析解问题，运用计算机迭代技术求得近似解。最后本文对比了交易员常用的几种方法，发现考虑贴现因子模型的计算结果最准确，在辅助投资决策方面可以起到重要作用。

关键词：利率债税收还原 贴现模型 免税 债券投资

引言

在国内债券市场上，债券从广义上分为利率债和信用债。利率债主要包括国债、地方政府债及政策性金融债，几乎不存在信用风险。信用债一般由企业发行，存在违约风险。假设剩余期限、付息频率等要素相同，两者之间的主要区别表现在如下三个方面：一是利率债到期收益率比信用债名义到期收益率低；二是利率债流动性高于信用债；三是大部分利率债（如国债）的持有人收到票面利息后不需要缴纳所得税，信用债的持有人一般需缴纳票面利息收入25%的

所得税。

债券现货投资者主要为银行、保险、基金、券商等金融机构，不同机构投资者缴纳所得税的税率也不相同。目前，投资者（包括个人和机构投资者）从基金分配中取得的收入，暂不征收个人所得税和企业所得税，基金投资信用债暂免征收所得税和增值税。税收优惠政策直接导致银行、保险等机构通过委外形式投资信用债。

在金融机构内部考核时，所得税和增值税税率政策差异会导致风险暴露。商业银行投资债券时，如不考虑税收因素，信用债到期收益率肯定高于同类型利率债。业务部门受到考核压力会过度配置信用债，进而放大信用风险，同时流动性指标不满足监管要求。防止此类风险的通常做法是考虑税收因素，对利率债还原至相同要素的信用债的到期收益率，即还原后信用债收益=利率债票面利息/（1-所得税税率），因而增加了利率债吸引力，限制了信用债配置，降低了信用风险。因此，建立考虑税收因素的债券到期收益率贴现模型，分析利率债还原回信用债收益，有利于丰富资产配置理论，并有助于优化机构投资者债券投资配置策略，具有很大的实用

价值。

本文基于我国银行间市场的实际交易情况，建立了考虑税率变量的债券到期收益率贴现模型，并通过仿真比较了不同预测方法的优缺点和

精确度。

文献回顾

利率债定价模型按照三种方法展开。

一是收益率曲线定价法，该理论基础是选取部分债券作为样本，构建收益率曲线，得出不同期限债券的利率结构，然后根据不同期限到期收益率数值计算债券全价。经过几十年发展，收益率曲线法又细分了很多分支。

二是资产定价理论，即CAPM模型，主要应用于股票和投资组合分析，因收益率均值和方差不稳定，较少应用于债券分析领域。

三是现金流贴现模型，在该模型下，资产价格为未来现金流按照某一收益率折现。

总结起来，前人进行了大量卓有成效的研究工作，但仍存在一定缺陷：一是大部分文献没有考虑税收还原的问题，然而实际工作中税收是交易员投资决策时考虑的重要因素；二是业内交易员为快速决策普遍使用简化计算方法，如除以某一个数值或多元线性回归，误差甚至超过10BP，应用效果不好。

针对上述问题，本文作出了两点努力：一是在传统债券到期收益率贴现模型基础上引入税率参数T，将利率债到期收益率还原至相同要素的信用债，有助于优化债券投资配置，实践意义较强；二是比较业界常用的几种税收还原方法，提出更加实用的查表法、模板法和无限迭代法三种计算方法，供债券交易员根据实际需要使用，解决了投资决策的时效性和精确度问题。

研究设计

（一）理论推导

2007年6月20日，中国人民银行发布《关于完善全国银行间债券市场债券到期收益率计算标准有关事项的通知》，其附件《全国银行间债券市场债券到期收益率计算标准调整对照表》规定债券全价与到期收益率互算关系如下：

（1）

上式中，PV表示债券全价，C表示票面年利息，f表示年付息频率，y表示到期收益率，d表示债券结算日至下一最近付息日之间的实际天数，n表示债券结算日至到期兑付日的债券付息次数，M表示债券面值，TS表示当前付息周期的实际天数（指下一个付息日与上一个付息日之间的实际天数，算头不算尾，含闰年的2月29日）。计息年度是指发行公告中标明的第一个起息日至次一年度对应的同月同日的时间间隔为第一个计息年度，以此类推。在后面的计算中我们严格按照中国人民银行上述规定。

式（1）为债券全价价格，受应计利息逐日递增、付息日清零影响，全价波动较大。为消除债券全价波动过大对基金经理和交易员判断的影响，国际主流交易平台和资讯终端一般采用净价报价、全价结算方式，本币交易平台也采用这种方式。主流软件如Excel、Matlab函数全部为净价，为方便使用软件自带函数，全价需分离为净价与应计利息之和，以Pc表示债券净价，AI表示应计利息，利率债全价计算公式变换如下：

（2）

式（2）为利率债净价和到期收益率等变量之间的函数关系，没有考虑对票面利息C征税。如与剩余期限、付息频率、计息方式等要素相同的信用债相比，需对信用债票息征收所得税和增值税。因增值税数值较小且相关因素众多，本文只考虑征收所得税，假定税率为Tr，利率债票面利息还原回信用债票面利息应为C/（1-Tr），信用债净价和到期收益率等变量之间的函数关系表示如下：

（3）

式（3）中， Pc， cb表示信用债净价，AIcb表示信用债应计利息，C/（1-Tr）为信用债票面利息。其他参数如年付息频率f、信用债结算日至下一最近付息日之间的实际天数d和当前付息周期的实际天数TS与利率债的完全相同。债券面值M一般为100，为方便起见，后面的计算皆以面值100为例。

债券全价价格与到期收益率之间不存在解析解关系，一般使用插值法通过控制迭代次数无限逼近解存在较大难度，在式（3）增加税率参数Tr，求解难度进一步加大，同样需要使用插值法进行迭代。

式（2）是不含税收的利率债价格计算公式，式（3）是考虑税收因素的利率债价格计算公式，付息频率等参数相同，利率债全价与根据税率还原回信用债的全价必然相同，即交易时投资利率债和信用债支持的价格必须完全一致，公式表示为Pc+AI=Pc， cb+AIcb。最终问题演化为如何根据式（2）和式（3）求解利率债票面利息还原回信用债的到期收益率ycb，或者说利率债到期收益率与还原回信用债到期收益率等参数之间的函数关系。上述方程极其复杂，根据式（2）和式（3）求解ycb的解析解并不现实，只能尝试求解代数解，下面我们根据这一思路编程求解上述恒等式。

为充分利用Matlab等工具所自带的债券净价函数功能，特增加变量N，表示债券交割日至到期日之间的天数，即剩余期限，增加N的主要原因有两点。一是剩余期限N可以直接在万得（Wind）等资讯软件显示；二是Matlab求解债券净价时输入参数是到期日，如交割日为M，则到期日为M+N，程序开始运行时交割日为给定值，这3个参数可以通过给定区间和步长编程循环。然后依次分析剩余的参数，同上述3个核心参数相比，剩余参数可选值较少，年付息频率f交易中一般为整数1或者2，即1年或半年付息1次，很少有其他付息频率，可以认为其是常量，在后面的程序实现中设定f为1（年付息1次），手工调整为2（年付息2次）重新运行一遍，就可以得到年付息2次的面板数据。债券计算日至下一最近付息日之间的实际天数d可以根据债券交割日至到期日之间的天数N和年付息频率f得出。当前付息周期的实际天数TS可以根据Excel的COUPDAYS函数求解，取值为365或366。M直接按照100计算，AI根据M、C、f、d、TS 5个变量计算得出。Pc使用软件自带程序输入结算日、到期日（两者之差为N），以及C、y、f和计息类型得出。税率Tr基于国内现行税法所得税率为25%，AIcb=AI/（1-Tr），

Pc， cb=Pc+AI-AIcb。利用软件自带计算债券净价函数参数，可以求取ycb。最后，3个变量依次按照步长递增可得出人工构造的面板数据。

（二）研究步骤

1.计算程序时间复杂度和空间复杂度。根据上面的理论推导，将目标由理想化的不可能实现的多个变量集中于分析C、y、N 3个变量。同时考虑程序的时间复杂度和空间复杂度，合理设置变量区间和步长，将程序运算次数控制在10万次以内。

2.优化C、y、N 3个变量取值区间和步长。提取2000年1月1日至2021年12月31日合计22个完整年度的各期限国债到期收益率数据，删除原始数据极值，折线图和主要统计参数如图1、表1所示。

按照上文分析，经多次调整变量范围，到期收益率取值区间最终确定为[2.5%，4%]，步长为0.0005%；票面利率取值区间与到期收益率区间相同，为[2.5%，4%]，步长为0.001%；剩余期限选择区间为1～9年，即到期日为第2～10年，步长为30日。经上述调整，最终程序单次运行时间约20分钟，运行次数为5.46万次，基本满足解决该问题的时间复杂度和空间复杂度要求。

3.运行程序得出结果。根据上面分析的C、y、N 3个参数的取值区间和步长，按照理论推导过程，得出最终结果。

几种税收还原方法对比研究

最终结果共计4个核心变量，分别为ycb、C、y、N。其中，C、y、N为自变量，ycb为因变量。从上文结果可以看出，代数法逼近精确值计算过程非常复杂，在行业实践中一般使用简化方法进行估算，估算方法行业内大部分使用线性回归和比值。因存在3个自变量，最多可能存在三元线性回归关系，比值法一般根据原始数据列比值的均值或根据经验给出。以下将对投资实践中常用的线性回归关系和比值关系依次分析，比较各种方法的准确性，总结不同方法的优缺点和适用范围。

（一）二元线性回归关系研究

首先，增加参数C，观察ycb、C、y 3个变量之间的关系，三维散点见图2。

从图2可以看出，三维立体图形并不规则，主要原因是债券到期收益率与多个自变量关系较大，使用二元函数无法准确还原信用债收益率。更换变量，选取C、y两个变量作为自变量同样存在上述问题。因此，可以判定因变量ycb与自变量C、y不存在二元线性回归关系。

（二）三元线性回归关系研究

面板数据包含3个自变量、1个因变量，共计4个变量，首先假定存在三元线性回归关系，得出回归方程如下：

ycb=0.0018+1.0401×y+0.3448×（-9.8146×10-7）×N

（4）

Matlab运行结果的p=0<0.01，表示3个自变量对因变量解释性较强，可以证明存在三元线性回归关系。将3个自变量代入式（4），得到ycb的估计值数据列，然后计算ycb与y差值数据列，分别得到全部样本、第1～10000个数据、第10001～20000个数据、第20001～30000个数据、第30001～40000个数据、第40001～50000个数据、第50001～54560个数据的统计结果如表2所示。

从表2可以看出，各数据段均值接近0，方差较稳定，多元线性关系较好。但从交易角度看，存在的最大问题是误差过大，最大值超过85BP，不能满足交易要求的1BP以内。

（三）比值关系研究

实际交易中，如使用还原前收益率除以一个因子估算还原后信用债收益率操作比较简单，很多基金、券商等债券交易员使用此种方法，我们在此也检验该方法的准确性。首先，将y向量除以ycb向量得到新的比值向量，然后计算比值向量的均值为0.7239，将0.7239作为两列数据比值的数学期望，根据比值的均值得出ycb向量的预测值，最后求取ycb预测值与实际值的差，样本总体与各数据段统计结果如表3所示。

对于交易员来说，简单的计算方式最具有可操作性，能够满足瞬息万变的债券交易市场，但从均值、方差、最大值、最小值、中位数等关键指标看，比值法存在的问题是过于粗糙，精确度低于三元线性回归法，只能用于大体估算，无法满足要求非常精确的场合。其主要原因包括：一是比值关系从方便交易员日常操作的方面简单对利率债收益率进行还原，缺少理论根据。二是从债券定价公式看，自变量C、y、N是影响因变量ycb的核心变量，使用3个自变量推导因变量大概率结果准确性更高。

研究意义

本文拓展了债券贴现模型研究范围，在传统利率贴现模型基础上，根据投资交易中税收因素等实际情况，运用计算机技术给出数值解，解决了部分交易员作利率债投资决策时的税收还原问题，研究方法和结论能够为债券投资辅助决策提供重要参考。

本文对比了税收还原主流方法优缺点，将二元线性回归、三元线性回归、比值法与“精确”结果进行对比，提出了各种方法的精确度和使用范围。针对插值计算方法，本文开发计算程序，直接投入实战。通过理论紧密联系实际，本文解决了利率债投资需要准确进行税收还原的问题，具有实践意义，相信或将有更多交易员投资决策时使用此方法。

参考文献

[1] 陈雯，陈浪南.国债利率期限结构[J].世界经济，2016（8）：56-72.

[2] 陈芳菲，沈长征，张圣平.偏好、信念、信息与证券价格[J].统计与决策，2018：130-160.

[3] Campbell J Y， and Shiller R J. Yield Spread and Interest Rate Movements[J]. The Review of Economic Studies， 1991（58）： 495-514.

[4] Campblee J Y. Some lessons from the yield curve[J]. Journal of Economic Perspectives， 1995（9）： 129-152.

[5] Cargill T F. The Term Structure of Interest Rates： A Test of the Expectations Hypothesis[J]. Journal of Finance， 1975（30）： 760-778.

[6] Chan K C， Karolyi G A， Longstaff F A， and Sanders A B. An Empirical Comparison of Alternative Models of the Shrot-Term Interest Rate[J]. Jorunal of Finance， 1992（47）： 1209-1227.

[7] Chen R， Scott L. Maximum Likelihood Estimation for a Multifactor Equilibrium Model of the Term Structure of Interest Rates[J]. Journal of Fixed Income， 1983（3）： 15-22.

[8] CoxJC， Ingersoll J E， and Ross S A. A Re-Examination of Traditional Hypothesis about the Term Structure of Interest Rates[J]. Journal of Finance， 1981（36）： 765-769.

[9] Froot K A. New Hope for the Expectations Hypothesis of the Term Structure of Interest Rates[J]. Journal of Finance， 1989（44）： 280-300.