电力系统谐波潮流计算方法综述

徐永海，薛超凡，陶顺，王天泽，张华赢

(1.新能源电力系统国家重点实验室( 华北电力大学) ，北京 102206;2.南方电网公司新型智慧城市高品质供电联合实验室( 深圳供电局有限公司) ，广东 深圳 518020)

0 引言

随着各种含电力电子器件的新型用电负荷接入电力系统，给系统带来了大量的谐波污染［1］，恶化了电能质量。因此有必要探究谐波在电网中的分布特性，谐波潮流计算作为一种谐波分析的有效手段得到了大量应用［2-3］。传统的确定性电力系统潮流计算没有考虑电网中的不确定性，但发电机出力、负荷波动、电网运行方式的给系统带来了一定的随机性，直接造成了基波潮流的随机性，由于基波潮流与谐波潮流相互影响，间接影响了谐波潮流; 同时，新能源中风电、光伏的间歇性给系统带来了明显的不确定性［4］，一方面会造成基波注入功率的随机性，影响基波潮流，间接影响谐波潮流，另一方面，在谐波潮流计算中，风电、光伏作为谐波源，直接带来了谐波潮流计算的不确定性，因此探究恰当的电力系统不确定性谐波潮流计算方法迫在眉睫。

谐波潮流计算主要受谐波导纳阵的影响和谐波源发射水平的影响。其中，系统设备参数误差会影响谐波导纳阵的确立，需要对系统中各设备进行准确地谐波建模。而谐波源发射水平与分布式电源的控制方式、非线性设备内部耦合作用等因素有关。随着新型电力系统的建设，多电力电子设备接入电网，对建立精确的谐波源模型、采用合适的谐波潮流计算方法提出了挑战。

确定性谐波潮流计算可分为统一求解法［5-7］、交替迭代法［8-9］、解耦法［10-14］和直接求解法［15-19］。现有研究中，确定性谐波潮流已经获得了广泛的应用，如文献［10］提出了谐波潮流的一种解耦算法，同时证明了该算法的优越性。文献［11］将基波潮流与谐波潮流进行解耦，提出了一种电力系统不对称谐波潮流的分立迭代算法。文献［15］对配电网的供电元件进行数学建模，利用直接求解法对配电网谐波潮流进行计算。

不确定性谐波潮流计算可分为概率潮流［20-33］、区间潮流［34-41］和模糊潮流［42-48］。概率潮流基于随机变量描述不确定性，利用输入随机变量的概率特征值进行谐波潮流计算，得到系统状态变量的概率分布，概率潮流能全面、准确地描述电力系统中随机性因素对潮流分布的影响。概率潮流又可分为近似法［21-26］、模拟法［27-30］和解析法［31-33］。其中，文献［21］对分布式电源和负荷进行随机性建模，基于点估计法进行潮流计算，提高了电网的电能质量。文献［22］提出了基于Nataf 逆变换的三点估计法进行概率潮流计算，得出了全年网损分摊概率密度函数。文献［32］提出了基于半不变量及最大熵的谐波潮流计算方法，并验证了该方法的有效性。文献［33］提出一种将半不变量法和改进的拉丁超立方采样技术相结合的方法，提高了概率潮流算法的精度和效率。区间潮流利用区间数描述不确定性，利用确定的区间数代替不确定变量，导致潮流计算结果也在某个区间内，区间潮流所得结果的区间范围往往大于实际范围，存在保守性过大的问题。文献［37］针对传统仿射谐波潮流的计算结果存在较大保守性的问题，提出一种仿射谐波潮流的保守性优化方法，但文章并没有给出谐波潮流计算的具体过程。文献［41］建立了风电场区间模型，并进行了考虑风电场模型的仿射区间潮流算法。模糊潮流是基于隶属密度函数描述不确定性，采用模糊数进行潮流计算，以此得到状态变量的模糊分布，模糊潮流能有效解决不具有统计性质、模糊不清的不确定性问题，可以提供更丰富的电网潮流分布信息，但获取准确的隶属度函数存在较大的困难，进而影响潮流计算的准确性。文献［45］应用概率统计及模糊集的相关理论对风电场发电功率不确定的电力系统模糊潮流计算进行了研究。文献［46］应用模糊集理论，提出了线路退运后的模糊潮流计算方法。文献［48］考虑了负荷的模糊性，提出一种可以运用在实际配电网的模糊潮流支路前推回代法。以上不确定性谐波潮流计算中，概率潮流已经在谐波潮流计算中得到了较多的应用，而模糊潮流、区间潮流广泛应用于基波潮流计算，在谐波潮流中的应用还较少。

文章梳理了确定性谐波潮流计算和不确定性谐波潮流计算的具体步骤，对各种谐波潮流计算方法进行了归纳总结; 并基于模糊潮流、区间潮流中基波潮流的计算方法给出了一种模糊潮流、区间潮流中谐波潮流的计算过程。最后，针对“双高”系统的特性，提出了关于新型电力系统下谐波源建模、输入输出变量的概率建模和谐波潮流计算方法等方向面临的新挑战。

1 确定性谐波潮流计算

根据基波潮流与谐波潮流的关系，将确定性谐波潮流计算方法分为统一求解法、交替迭代法、解耦法和直接求解法。

1.1 统一求解法

统一求解法将基波潮流和谐波潮流结合起来，考虑基波潮流与谐波潮流之间的交互影响。通过基波潮流、谐波潮流统一计算方法求解各节点基波电压、谐波电压，判断其是否满足收敛要求，若不满足，将所求基波电压、谐波电压带入基波潮流、谐波潮流统一求解公式中进行循环求解，直至满足收敛要求，结束计算。统一求解法精确度高，但其计算规模大、计算速度慢、存在收敛性问题，在工程实际中应用较少。其迭代循环过程如图1 所示。

图1 统一求解法示意图Fig.1 Schematic diagram of unified solution method

其具体求解过程如下:

其中，右上标为频次，电压偏差量为ΔX:

功率偏差量为ΔW:

雅可比矩阵为J:

式(1) 中Yh为谐波导纳阵。

首先对基波电压和各次谐波电压赋初值，然后求解ΔW、ΔI，将各偏差量带回式( 1) 求解基波电压和各次谐波电压的偏差量，修正基波电压和各次谐波电压值，重新求解ΔW、ΔI，经过反复迭代直至满足收敛条件，得出基波电压和各次谐波电压准确值。

1.2 交替迭代法

交替迭代法结合了基波潮流与谐波潮流既可迭代循环又可独立求解的原理。首先进行基波潮流计算并使得基波循环满足收敛条件，然后根据基波参数进行谐波潮流计算，直至谐波循环满足收敛条件，再考虑谐波潮流对基波潮流的影响，将谐波参数带回到基波中进行计算，循坏基波潮流和谐波潮流，直至基波潮流和谐波潮流都满足收敛条件，结束迭代。交替迭代法精度较高，计算速度较快，但由于基波与谐波间的耦合关系，其仍然存在收敛困难的问题。交替迭代法循环过程如图2 所示。

图2 交替迭代法示意图Fig.2 Schematic diagram of alternating iteration method

其具体求解过程如下:

(1) 根据牛拉法进行基波潮流计算，求解各节点的基波电压。

(2) 将基波电压带入式(5) 求解谐波注入电流Ih，在式(5) 中对谐波电压设初值Uh(0)。

再根据式(6) 求解各节点的各次谐波电压值，重复式(5) 和式(6) ，直至相邻两次迭代的谐波电压差满足收敛要求结束迭代，得到各节点的谐波电压值。

(3) 考虑谐波潮流对基波潮流的影响，根据式(8)求解各次谐波功率，然后根据式( 9) 求解基波功率，将基波功率作为基波注入功率已知量带回步骤(1) ，重复步骤(1) ～步骤( 3) 直至基波潮流和谐波潮流都满足迭代精度，得出最终结果。

1.3 解耦法

解耦法是一种简化的交替迭代法，实际在基波潮流与谐波潮流的耦合关系中，基波潮流对谐波潮流的影响较大，而谐波潮流对基波潮流的影响较小，所以解耦法不考虑谐波潮流对基波潮流的影响。解耦法计算速度快，方法简单，多用在工程实际中，其求解思路如图3 所示。

图3 解耦法示意图Fig.3 Schematic diagram of decoupling method

解耦法具体步骤同交替迭代法中的步骤(1) 和步骤(2) ，由于忽略了谐波潮流对基波潮流的影响，解耦法不需要进行步骤(3) 。

1.4 直接求解法

直接求解法仅考虑节点基波电压对各次谐波注入电流的影响，不需要考虑谐波潮流对基波潮流的影响且谐波不需要迭代，其计算速度快，但计算精度差。当谐波注入电流已知时，也可以直接求解谐波电压。其求解思路如图4 所示。

图4 直接求解法示意图Fig.4 Schematic diagram of direct solution method

其具体求解过程如下:

当各次谐波注入电流不可直接获得时，根据牛拉法求出各节点的基波电压，然后根据式( 10) 求解各次谐波注入电流，最后通过式(6) 求解各节点的各次谐波电压。

当各次谐波注入电流通过实验或现场实测可直接获得时，可以直接通过式(6) 求解各次谐波电压。

1.5 确定性潮流计算小结

对上述确定性谐波潮流计算方法进行对比分析，见表1。

表1 确定性谐波潮流总结Tab.1 Summary of certainty harmonic power flow

2 不确定性潮流计算

常见的不确定性谐波潮流有概率潮流、区间潮流和模糊潮流，见图5。

其中，概率潮流分析又包括模拟法、近似法、解析法。传统的模拟法是指蒙特卡洛法，蒙特卡洛法采用对不确定量进行随机采样的方式求解潮流计算结果，由于其计算精度高，常作为衡量其他方法是否准确的基准方法进行参考比较。近似法是根据输入随机变量的数字特征来描述输出变量的统计特性。近似法主要包括点估计法、一次二阶矩法和状态变换法等。其中一次二阶矩法仅能处理输出与输入之间均值和方差的数值，算法模型误差较大;状态变换法以高斯正态分布为变换基础，不具有普适性;因此最常见的近似法是点估计法。解析法概率潮流是利用随机变量间的关系进行卷积计算得到待求状态变量的概率分布。常用的解析法卷积计算有快速傅里叶变换、半不变量法和序列运算理论。其中快速傅里叶变换不适用于大规模电力系统，序列运算理论的建立和运算都要满足全新的规则和要求，难度较大，因此最常见的解析法是半不变量法区间潮流用区间来描述不确定量，运用区间分析理论求解含区间数的潮流方程。区间潮流计算方法有区间迭代法、仿射优化法和直接优化法三类，其中，区间迭代法计算效率差，直接优化法保守性大，而仿射法收敛性强、计算效率快并且可以克服区间潮流保守性过大的缺点，应用较广。

模糊潮流采用隶属密度函数描述不确定量，运用模糊数学理论求解潮流状态量的隶属度函数，常用三角模糊数或梯形模糊数描述参数的不确定性。常规的模糊潮流计算方法有三种，分别为前推回代法、增量法和α-截集法。其中前推回代法简单有效但适用场景少，α-截集法结果精度较高但所耗费的时间较长且难以实现，而增量法计算简单，计算速度、精度较好，应用广泛。

因此，文章主要对概率潮流近似法中的点估计法、解析法中的半不变量法，区间潮流中仿射优化法和模糊潮流中增量法的求解过程进行了梳理，其中谐波潮流计算均以“直接求解法”为基础拓展出不确定性计算方法。实际应用中，可根据工程实际要求，灵活采取“统一求解法”、“交替迭代法”、“解耦法”和“直接求解法”求取不确定性谐波潮流。

2.1 概率潮流

2.1.1 点估计法

在点估计法中，当n维输入变量Xi(i=1，2，…，n)的h维多元函数为H=F(X) ，当已知每个输入变量的m个点xi，k(k=1，2，…，m) 的数字特征时，求取输出变量的数字特征。其中，xi，k及其概率pi，k为:

式中μxi、σxi、ζxi，k分别为m个xi值的期望、标准差、位置系数。

ζxi，k、pi，k由式(12) 获得:

式中λi，j为标准化中心矩，其值由式(13) 得:

用已知的确定性函数关系H=F(X) 得到X各估计点下的H值，进一步可求出H的j阶估计值:

在潮流计算中，假设已知各节点m个注入功率值的数字特征μwi、σwi，通过式(11) ～式(13) 求解pwi，k、ζwi，k和Wi，k。将Wi，k当作注入功率已知量，通过确定性潮流计算求解各节点电压的m个电压值Ui，k，根据式(11) ～式(13) 求解基波电压的μwi、σwi、pwi，k、ζwi，k，最后通过式(14) 确定各节点电压的数字特征E(Uj) 。

根据求得的m个基波电压Ui，k，通过式( 5) 或式(10) 求解h(h=2…H) 次谐波注入电流的m个随机量，将得到的Ii，k通过式(6) 求解h次谐波电压的m个Ui，kh值，根据式(11) ～式(13) 求解谐波电压的各特征量，最后通过式( 14) 确定各节点的各次谐波电压的数字特征E( (Uh)j) 。

2.1.2 半不变量法

在半不变量法中，半不变量是随机变量很重要的一种数字特征，半不变量序列可唯一确定随机变量的分布规律。实际应用中，由于半不变量直接求取过程复杂，常把半不变量与高阶原点矩进行转换，对于随机变量Y，其半不变量与高阶原点矩的关系如下:

式中gj为j阶半不变量;aj为j阶原点矩。

已知随机变量的样本时，可直接求得Y的j阶矩:

式中ym为随机变量Y的第m个可能取值;pi表示取值为ym时的概率。

在潮流计算中，计算注入功率的各阶半不变量( 本小节式(17) 以后参数均为半不变量形式) ，根据公式ΔW=JΔX可以将确定性潮流计算概括为:

将X表示为:

式中X0为基波电压的期望值; ΔX为基波电压实际值与期望值的偏差量。将随机注入功率的期望值W0看作基波注入功率已知量，根据确定性潮流计算方法求解节点基波电压X0。将式(18) 在X0处泰勒展开，将基波潮流方程线性化:

式中Je－1为节点电压对节点注入功率变化的灵敏度矩阵。

通过式(19) 可以得到:

根据上述方法求解各节点基波电压的各阶半不变量形式。然后将半不变量形式的电压转化为电压的原点矩形式，最后选择合适的级数展开模型拟合出节点电压的概率分布。

根据求得的基波电压的半不变量值，通过式(5) 或式(10) 求解谐波注入电流的半不变量值Ih，由式( 6)可知U=f(I) ，将谐波节点电压表达为如下形式:

式中U0h为谐波电压的期望值; ΔUh为谐波电压实际值与期望值的偏差量。根据式( 6) 计算节点谐波电压。将式(21) 在处泰勒展开，将谐波潮流方程线性化:

通过式(22) 可以得到:

式中Zh为谐波电压对谐波注入电流的灵敏度矩阵。

求解节点谐波电压的各阶半不变量形式。然后将半不变量形式的谐波电压转化为电压的原点矩形式，最后选择合适的级数展开模型拟合出节点谐波电压的概率分布。

2.2 仿射型区间潮流算法

已知一个区间［x］，满足x_≤x≤可以写成:

而不确定的区间变量［x］还可以用一个仿射形式x来表示:

式中x0为变量中心值;噪声元εi落在［－1，1］内;xi为噪声系数，决定了噪声元εi的比重大小和符号;n为噪声数量。

不确定变量的区间形式和仿射形式能够相互转换:给定一个区间[x]=，其对应的仿射形式x^可以表示为:

反过来，给定一个仿射形式:

其对应的区间为:

在潮流计算中，若已知系统有n个节点，其中1 ～m号为线性节点中的PV 节点，m+1 ～n－1 为线性节点中的PQ 节点，n号节点为平衡节点。其中已知的节点注入功率表示如下:

此时，未知的系统节点电压可以表示为如下仿射形式:

式中A=P，Q。

目前区间谐波潮流应用较少，计算过程模糊，因此文章参考基波潮流的计算过程，给出了如下一种区间谐波潮流的计算方法。

根据节点基波电压的概率区间，通过式( 5) 或式(10) 求解各次谐波电流的概率区间，如注入的谐波电流如下:

则各节点谐波电压的仿射形式为:

求取谐波注入电流的仿射形式:

2.3 增量型模糊潮流算法

模糊潮流相比较概率潮流不需要进行大量的统计分析，但需要建立模糊模型，模糊建模的准确程度直接影响模糊潮流计算的精确度，文章用梯形模糊模型来描述参数的不确定性。其中梯形模糊隶属函数表示某参数的预测值一定在L1～L4之间，而最可能出现在L2～L3之间，公式如下:

模糊数中心值为μL(x)=1 截集的平均值为x =。

在潮流计算中，当基波注入功率ΔW符合梯形模糊数分布规律时，首先求解模糊出力P的中心值Pd，将其带入确定性潮流计算中求解系统节点电压中心值Ud;根据式(38) 求解系统中各节点注入功率的模糊增量ΔP、ΔQ，将其带入到式( 1) 中求取系统中各节点的模糊电压增量ΔX，其中J为确定性潮流计算最终修正值。

最后根据式(39) 求解节点模糊电压的实际值:

参考基波潮流的计算过程，文章给出了如下一种模糊谐波潮流的计算方法。

根据基波电压值，通过式( 5) 或式( 10) 计算模糊注入谐波电流值，然后计算模糊谐波注入电流的中心值，根据式(40) 求取模糊谐波电压中心值，即:

已知模糊注入电流为Ih时，根据式( 41) 求解模糊电压增量ΔUh。

最终其模糊电压Uh为:

2.4 不确定性潮流总结

对不确定性谐波潮流计算方法进行对比分析，如表2 所示。

表2 不确定性谐波潮流总结Tab.2 Summary of uncertainty harmonic power flow

3 “双高”系统下的新挑战

随着包含高比例可再生能源和高比例电力电子设备的新型电力系统快速发展，给配电网系统带来了种类丰富、数量众多的非线性设备，使得配电网中谐波的产生与交互更加复杂，因此，有必要对非线性设备的不确定性、谐波源内部工作机理、输出变量的概率分布进行建模，并且需要探究适用于新型电力系统特征的谐波潮流计算方法。

3.1 模型的建立

3.1.1 不确定量的概率模型

随着风电、光伏等分布式电源的接入，给系统带来了较大的不确定性，使得系统发出的有功功率难以准确得到，需要建立分布式电源的输出功率概率模型。常用的功率概率模型有光伏的beta 分布模型、风电的Weibull 分布模型［49］，由于光伏、风电出力的波动性较大，其概率密度曲线很可能不服从特定的数学函数形式，因此提出了非参数核密度估计方法、近似贝叶斯计算等。其中非参数核密度估计方法局部适应差、存在边界偏差等问题，近似贝叶斯计算在高维积分中十分困难，需借助其他方法近似求解。因此，有必要对上述方法进行改进，得到更准确的输入变量概率分布。如文献［33］将基于反射法的非参数核密度估计和自适应非参数核密度估计相结合，提出改进的非参数核密度估计方法，提高了输出功率概率分布模型的准确性。

3.1.2 非线性设备内部特性建模

随着各种非线性设备接入配电网，使得配电网中谐波源的工作机理更加复杂。一方面为了探究谐波源内部宽频域谐波交互耦合机理，另一方面为了使谐波潮流计算结果更加准确，需要对谐波潮流进行一定次数的迭代计算见图6。因此，需要得到准确的Ih=g(U1，U2，…，Uh，…，UH) 函数。而在目前的研究中，谐波内部的耦合机理尚不明确［50］，常常忽略附加电路的影响，因此得到的g函数的准确度较差。需要深入研究非线性设备的电路结构及工作机理，分析非线性设备各频次之间的耦合关系，得到准确的计及宽频谐波耦合的谐波源模型。而随着计及宽频谐波耦合的谐波源模型的建立，需要将谐波源与电网系统连接起来，探究电网系统与谐波源之间的交互耦合情况，并提出计及电网系统与谐波源交互耦合情况下的谐波潮流计算方法。

图6 谐波迭代流程图Fig．6 Harmonic iterative flow chart

3.1.3 谐波潮流的概率分布模型

在概率潮流中，解析法和近似法由于计算出来的是系统的各阶矩或是系统的半不变量值，因此需要进行级数展开来求解系统输出变量的概率分布，现有常用的级数有A 型Gram-Charlier 级数、C 型Gram-Charlier 级数、Cornish-Fisher 级数等。其中A 型Gram-Charlier 级数在处理含非正态分布的新能源电力系统时，存在概率密度曲线尾部精度不高的问题; C 型Gram-Charlier 级数可以解决这个问题，但是存在不收敛的情况;Cornish-Fisher 级数在处理仅有正态分布随机变量的系统中与Gram-Charlier 级数的精确度接近，但在处理于含非正态分布的随机变量时，Cornish-Fisher 级数精度更高。而在半不变量法概率潮流中，常用最大熵原理来判断随机变量的概率分布情况，最大熵原理可以有效地处理含非正态分布的随机变量，但计算时间较长。上述级数展开方式各有优缺，有必要对各级数展开方式进行改进，更快速、准确地得到输出变量的概率分布。如文献［51］中采用了一种利用最大熵原理改进的C 型Gram-Charlier 级数展开法，不仅保留了C 型Gram-Charlier 级数计算速度快的优势，还提高了计算精度。

3.2 计算方法的突破

3.2.1 多谐波源共同作用

大量的分布式电源接入配电网，在电网中会形成多谐波源在同地或异地同时接入电网，需要探究多谐波源共同控制下的谐波传播特性。随着大规模的太阳能光伏板或风机进入电力系统，会在配电网中造成谐波源的集群，需要探究如何对集群型的谐波源进行建模，进而探究集群型谐波源存在情况下的谐波潮流计算方法。

3.2.2 谐波电压源的存在

随着各种新能源和复杂电力电子设备的接入，传统的电流注入型谐波源出现了许多局限性，如难以计及光伏电站的光照度和温度、风电场站的风速等新能源系统的随机特性，尚且无法进行动态特性建模，而谐波电压源形式可以较好地解决上述问题［52］; 且电流源在考虑谐波源内部PWM 的死区效应、器件非理想特性以及多频耦合作用时，需要在谐波电流源模型中增加受控电压源［53］。但现有谐波电压源在潮流计算中应用较少，计算方法不够成熟。因此，考虑到潮流计算的随机性、非线性设备与系统间交互耦合机理等特性，可以考虑建立分频段的谐波电压源与谐波电流源模型，进行适用于电压与电流谐波源激励共存的宽频域谐波潮流计算方法研究。

3.2.3 时频域结合的潮流计算

现有谐波潮流计算多在频域情况下进行，而随着各种非线性设备接入电网，在频域情况下处理非线性元素较为困难，需要设立一定的假设条件简化计算过程，会造成较大的计算误差。而采用时域建模可以反映谐波耦合、新能源发电的周期性变化等特性［54］，更加符合非线性设备的运行特性。因此，可以在时域情况下对各种非线性设备进行建模，在频域情况下对线性设备进行建模［55］。但由于时域建模较为复杂，需要尽量缩小时域模型的范围，可以考虑将配电网进行模块化，只对极少数影响潮流计算精度的模块进行时域分析，其他对潮流计算影响较小的非线性模块进行线性化处理，然后在频域中求解。

4 结束语

文章梳理了各种谐波潮流计算方法的求解过程，并对各种谐波潮流计算方法进行了分析比较。而随着高比例可再生能源和高比例电力电子设备接入电网，使得电网中谐波的产生与交互更加复杂，有必要通过谐波潮流计算方法，了解电力系统谐波传播特性。因此文章分析了“双高”系统下，谐波潮流计算在建模与方法上面临的新挑战，希望可以为后续的相关研究提供参考。