2023 年高考“三角变换”问题聚焦

■王美亭

2023年高考“三角变换”主要围绕“三角函数的定义、利用三角公式求值、方程组观念的应用、合理的降次和辅助角公式,以及三角换元求最值”等展开,彰显“目标意识下合理选择公式,通过变角、变名称、变结构,达到化异为同”的解题理念,以及“整体变量和方程组观念”“转化化归和数形结合”素养的具体应用。

聚焦1:利用“同角关系和三角函数定义”求值

体验:三角函数求值要注意消元法与方程思想的应用。利用sin2α+cos2α=1 可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用可实现角α的弦切互化。

变式1:(2023 年高考北京卷)已知是角α的终边上一点,则cosα=____,角α的最小正值是____。

聚焦2:利用“和差角和倍角公式”求值

例2 (2023 年高考上海卷)若tanα=3,则tan2α=____。

解:直接利用二倍角的正切公式求值。因为tanα=3,所 以

体验:对于和差角公式和倍角公式,要掌握公式的推导和公式推导过程中所隐含的三角变换方法。

变式2:角α,β满足sin(α+β)+cos(α+,则( )。

A.tan(α+β)=1

B.tan(α+β)=-1

C.tan(α-β)=1

D.tan(α-β)=-1

提示:(直接法)由已知得sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2(cosαsinα)sinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,也即sin（α-β）+cos(α-β)=0,所以tan（α-β）=-1。应选D。

(特殊值排除法)设β=0,结合条件得sinα+cosα=0,排除A,C。取α=0,结合条件得sinβ+cosβ=2sinβ,即cosβ-sinβ=0,排除B。应选D。

聚焦3:方程组观念和二倍角公式的应用

例3 (2023 年新高考卷)已知sin(α-,则cos(2α+2β)=____。

体验:本题实质是利用sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ和sin(α-β)=sinα·cosβ-cosαsinβ构建方程组,借助cosαsinβ=进行沟通求解,凸显方程组观念的应用。

变式3:已知α∈（0 ,π）,且3cos2α-8cosα=5,则sinα=_____。

提示:由3cos2α-8cosα=5,可得6cos2α-8cosα-8=0,即3cos2α-4cosα-4=0,解得或cosα=2(舍去)。因为α∈（0 ,π）,所以

聚焦4:利用三角换元法求最值

例4 (2023 年高考全国卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是_____。

体验:上述解法凸显三角的工具性的应用。

变式4:若x,y满足x2+y2-xy=1,则( )。

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1