一道典型题的变式分析

刘书剑

面对以等腰直角三角形为背景证明线段相等的几何题，同学们可以利用截长补短、翻折、轴对称等几何变换形式，巧引辅助线，综合运用轴对称、等腰三角形、全等三角形等相关知识求解. 现通过下面这道典型题多种变式的不同解法进行说明.

典例呈现

例 如图1，等腰直角三角形ABC中，点D是BC的中点，连接AD，过点D作AD的垂线DE，过点C作AC的垂线CE，DE和CE相交于点E，连接AE. 求证：AD = DE.

解析：取AB的中点F，连接DF，如图2.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB = BC，∠B = 90°，∠ACB = 45°.

∵AF = BF = [12AB]，BD = CD =  [12BC]，

∴AF = BF = BD = DC， ∴△BFD是等腰直角三角形，

∴∠BFD = 45°，∴∠AFD = 135°.

∵AD⊥ED，∴∠ADE = 90°，∴∠ADB + ∠EDC = 90°.

∵在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ADB = 90°，∴∠BAD = ∠EDC.

∵∠DCE = ∠ACB + ∠ACE = 135°，∴∠AFD = ∠DCE，

∴△AFD ≌△DCE（ASA），∴AD = DE.

变式演练

变式1 当点D是边BC边上任意一点（除B，C外）时，求证：AD = DE.

解法1 ：截长补短法

∵在AB上截取BF = BD，连接DF，如图3.

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴∠BFD = 45°，∴∠AFD = 135°.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB = BC，∠B = 90°，∠ACB = 45°，

∴AB - BF = BC - BD，即AF = DC.

∵AD⊥ED，∴∠ADE = 90°，∴∠ADB + ∠EDC = 90°.

∵∠BAD + ∠ADB = 90°，∴∠BAD = ∠EDC.

∵∠DCE = ∠ACB + ∠ACE = 135°，∴∠AFD = ∠DCE，

∴△AFD ≌△DCE（ASA），∴AD = DE.

解法2：翻折法——轴对称性

延长AB和EC，相交于点A'，连接A'D，如图4.

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB = BC，∠ABC = 90°，

∴∠ACB = 45°，∴∠BCA' = 45°，

∴△BA'C是等腰直角三角形，易证△ABC ≌ △A'BC，

∴BC垂直平分AA'，∴AD = A'D，∴∠BAD = ∠BA'D.

∵AD⊥ED，∴∠ADE = 90°，∴∠ADB + ∠EDC = 90°.

∵∠BAD + ∠ADB = 90°，∴∠BAD = ∠EDC，∴∠BA'D = ∠EDC.

∵∠BA'D + ∠DA'C = 45°，∠EDC + ∠DEC = 180° - ∠DCE = 45°，

∴∠DA'E = ∠DEA'，∴A'D = DE.

∵A'D = AD，∴AD = DE.

反思：解法1類比例题的解法，是特殊点到一般点的转化，其将中点的性质转化为线段的和差关系AB - BF = BC - BD；解法2是从轴对称性——中垂线的角度思考问题的.

变式2：当点D在线段BC的延长线上时，上述结论还成立吗？

解法1：在线段BA的延长线上截取AF = CD，连接FD，如图5.

易得BF = BD，∴△BDF是等腰直角三角形，∴∠F = 45°.

∵∠ACB = 45°， ∴∠ECD = 45°，∠F = ∠ECD.

∵∠FAD = ∠ABC + ∠ADB = 90° + ∠ADB，

∠CDE = ∠ADE + ∠ADB = 90° + ∠ADB，

∴∠FAD = ∠CDE， ∴△FAD ≌ △CDE（ASA），

∴AD = DE，即当D在线段BC的延长线上时，结论仍成立.

解法2：延长AB，EC相交于点A'，连接A'D，如图6.

易证△ABC ≌ △A'BC，∴BC垂直平分AA'，

∴AC = A'C，∴∠CAB = ∠CA'B，

∴AD = A'D，∴∠BAD = ∠BA'D，∴∠DAC = ∠DA'C.

∵∠AFC = ∠EFD，∠CAF + ∠AFC = ∠E + ∠EFD = 90°，

∴∠CAF = ∠E，∴∠CA'D = ∠E，∴A'D = DE，∴AD = DE.

即当点D在BC的延长线上时，上述结论仍成立.