拓扑优化超表面的偏振复用光学微分运算

冯 睿，田耀恺，刘亚龙，孙芳魁，曹永印，丁卫强,2*

1 先进光子学研究所，哈尔滨工业大学物理学院，黑龙江 哈尔滨 150001；

2 极端光学协同创新中心，山西大学，山西 太原 030006

1 引言

近年来，光学模拟计算的研究领域受到越来越多的关注，其快速发展得益于科学家们对于光学原理的深入研究和对光学器件的不断创新。特别是在光学空域微分器的设计方面，研究者们提出了许多新的思路和方法，并基于不同原理实现了光学微分功能[1]，如相对介电系数和磁导率可变的超材料[2]、亚波长光栅[3]、光子自旋霍尔效应[4]、Fano 共振[5]、表面等离激元[6]等。这些手段的出现为实现光学运算提供了新的思路和方向，不仅可以用于实现传统的光学运算功能，如微分[7-10]、积分[11-14]、傅里叶变换等，还可以成为更加复杂的光学计算的基础，如图像处理[15]、机器学习等[16-18]。此外，这些新型光学器件具有体积小、速度快、能耗低等优势，有望在光电子计算、光通信、传感器等领域得到广泛应用[19-22]。因此，光学模拟计算的研究为实现更加高效、精确和智能化的信息处理和传输提供了新的思路和可能。

在光学模拟计算中，存在着基于4F 光学系统和基于超表面调控两种不同方法。近年来，由于纯透镜组合的复杂性和应用难度，基于超表面的研究受到广泛关注。Engheta 等人提出了计算超材料的概念[23]，并通过特殊设计的超表面提出了两种实现光学模拟计算的方法：(a)空间傅里叶变换法光学模拟计算和(b)格林函数法光学模拟计算，这两种方法已被广泛研究，为不同的光学运算设计了不同的超表面结构。相比于基于4F 系统的空间傅里叶变换法，格林函数法光学模拟计算利用超表面的非局域响应直接在动量空间对入射光场进行调制，实现特定的空域模拟计算功能，而不需要使用傅里叶变换透镜进行空域和空间频率域之间的转换。一些微纳结构，例如开环谐振器、亚波长光栅、介质柱超表面等，已经被证实可以实现光学微分运算，其非局域响应直接满足传递函数。光学超表面作为一种新兴的微纳光子学结构，被广泛应用于微纳光子学领域。然而，传统金属超表面在高频率下的欧姆损耗问题[24]一直限制着其性能，这对器件的应用产生了很大的影响。为了解决这一问题，工作波段下损耗较小的电介质材料受到人们广泛的关注，因此近年来基于电介质材料的光学超表面成为了人们新的研究重点，包括在近红外[25-26]、可见光[27-28]和紫外波段[29]等不同波段的器件均有着远超金属超表面的性能。这些电介质超表面的发展为高效海量计算提供了解决方法，也为光学模拟计算系统等微纳光子学应用提供了可能性。然而，这些超表面由于可调参数少，对加工精确度要求较高，存在着一定的局限性。因此，科学家们将目光投向了拓扑优化的多功能超表面[30-32]，基于拓扑优化带来的多自由度参数调控可以更好地实现多功能复用。在本文中，通过拓扑优化方法设计了一类新型的偏振复用光学模拟计算超表面，该超表面采用格林函数法实现光学模拟计算，因此能够以单层结构实现多种光计算功能，有利于光学模拟计算器件的小型化和集成化。此方法所设计的超表面在平面线偏振光入射下，能够将不同偏振通道的透射光场振幅和相位独立调制，因而实现复杂的偏振相关光学计算功能，分别实现了一维下的明场照明与一维二阶微分双功能超表面，以及偏振控制微分方向的二维超表面。采用拓扑优化方法逆向设计的超表面，其得到的结果较好地符合预期理论曲线，透射效率较高。

2 偏振复用超表面的逆向设计原理

具有偏振复用功能的超表面通常对不同偏振分量的入射光有不同响应，并可以对两个正交偏振分量的振幅和相位进行独立调控。类似地，这里所期望设计的偏振复用光学模拟计算系统在不同线偏振平面光入射时，也具有不同的振幅和相位信息，并且计算系统会输出相应偏振分量。光计算的偏振复用基本原理就是根据输入光的不同偏振态，介质超表面可以实现对光场的不同调控，从而输出不同的运算结果，且与4F 系统相比，设计的超表面结构为单层结构，即在超表面一侧将光源入射，在另一侧出射的光直接实现计算功能，省去了傅里叶变换透镜，如图1(a)所示。然而，基于传输相位、几何相位方法的传统超表面对于偏振态要求高，且其调整参数较少，易陷于局部最优解中，需要精心设计才能实现对正交偏振的复杂光场传播和空间模式分布的调控[33-35]。因此，器件的设计过程中，采用基于伴随模拟的拓扑优化方法，可以高效地设计自由形状超表面，并利用格林函数法光学模拟计算的对称性，在每次优化迭代过程中仅需对麦克斯韦方程进行两次求解。这种方法具有广泛的自由度，能够实现高效的拓扑优化。且由于仿真次数少，可以大幅度提升计算速度，提高优化效率。

图1 (a) 偏振复用光学模拟计算系统示意图，TE 和TM 不同偏振输入会输出不同运算结果；(b) 单个优化目标在复振幅平面的值；(c) 伴随优化流程图Fig.1 (a) Schematic of polarization-multiplexed optical analog computing systems.The different inputs of TE and TM polarization will output different operation results;(b) The values of the individual optimization target on the complex amplitude plane;(c) The flowchart of the adjoint optimization

基于伴随拓扑优化的逆向设计在本质上利用梯度优化算法，在从超表面结构生成下一代超表面结构时，采用梯度下降优化算法更新结构参数，使得目标函数(figure of merit,FOM)最大化。此时，在梯度下降优化算法中单个优化目标被定义为特定入射角度和偏振情况下，正向模拟计算出的电场复振幅和目标点复振幅之间距离平方di=|Ei-E0|2，如图1(b)所示。多目标优化被定义为，其中wi为不同目标之间的权重，n为优化目标个数。在每次拓扑优化迭代中的梯度可以表示为[36]

其中：r和r'分别代表优化结构内的一点和优化目标区域内的一点；G(r,r′)是麦克斯韦-格林函数，表示点r'处感应电偶极子在r点处产生的电场。此时，每次迭代中伴随模拟的激励源即为正向模拟计算出的电场复振幅的复共轭Ei*。因此通过FDTD 方法进行正向和伴随两次电磁仿真模拟，得到两处光源传播到超表面结构处的电场分布，由式(1)可以得到对于特定入射角度和偏振情况下的梯度，对于多入射角度/不同偏振情况下的多目标优化梯度值，需对单目标优化结果加权求和后得出，并由梯度优化方法得出结构参数。图1(c)为伴随优化步骤的流程图。为了实现偏振复用，需要对x偏振光和y偏振光的振幅和相位独立调控，因此分别对这两种偏振光进行两次仿真，以获取不同偏振光对应的梯度信息。为了使不同偏振情况的性能都尽可能的高，可以通过在每次仿真中调整权重使效率较低的偏振情况得到更多的提升，确保不同偏振情况的性能尽可能同步。利用计算得到的总梯度对每一点的介电常数进行更新，直到评价函数满足优化目标或者迭代次数达到设定值。与此同时为了避免单次迭代产生过大的介电常数变化，还需要限制每次迭代介电常数变化的最大值。

为了验证该方法能否在波长尺寸对不同偏振透射光场的振幅和相位同时调控，采用基于伴随模拟的拓扑优化方法实现对线偏振光正入射时振幅和相位零点的优化。这里对正入射时TM 偏振的复振幅按目标0+0i 进行拓扑优化，采用的超表面结构关于y轴对称，长为1000 nm，宽为500 nm，厚度为600 nm，初始介电常数随机分布。电磁仿真采用FDTD方法，设置入射光源与伴随光源为532 nm 的单色光，沿光传播的方向采用PML 边界条件，沿结构长宽方向设置布洛赫边界条件。超表面的拓扑优化过程如图2(a-e)所示，结构二维优化的过程表明超表面结构由初始随机介电常数分布逐代修正，最终收敛于5.9或1，即二氧化钛与空气的介电常数。透射光场复振幅的实部和虚部随迭代次数变化的情况如图2(f)所示，二者均逐步收敛到0，符合预想优化目标。得益于梯度算法的高效率，在优化迭代次数增加的过程中，约130 代前超表面的拓扑形状变化迅速，复振幅也剧烈变化振荡。在280 代时拓扑结构基本形成且不再发生大的变化，复振幅也趋于优化目标。因此，在优化过程的后期实际是在保持高目标函数的同时，逐渐变成完全二值化的介电常数分布。对于532 nm 的TM 偏振入射，最终二值化为二氧化钛或空气的介电常数，即超表面由二氧化钛或空气构成，便于优化后的超表面实际制造。

图2 (a)-(e) 正入射时超表面的拓扑优化过程，拓扑优化后最终超表面结构完全二值化。图中colorbar 表示超表面的介电常数分布情况；(f) 正入射时TM 偏振的单点复振幅按目标0+0i 进行的拓扑优化结果Fig.2 (a)-(e) The topological optimization process of metasurfaces for normal incidence.The final metasurface structure is completely binary after topological optimization.The colorbars represent the dielectric constant distribution of the metasurfaces;(f) The topological optimization results for TM polarization at normal incidence with a single-point target of 0+0i

通过以上研究，可以看出基于伴随模拟的拓扑优化方法具有如下优越性：首先，它可以极大地提高设计自由度，允许在实现特定光学功能的同时设计非直观、准连续的自由形状超表面。这意味着此方法可以在保证性能的前提下，最大程度提升超表面的自由度，进一步探索更为复杂的光学器件设计。其次，该方法具有高效的计算性能，由于其梯度算法的高效性，每次迭代随时更新梯度值，因此计算量大大减少，而且对于多参数优化更加适用。最后，该方法还具有较高的优化效率和精度。通过仿真验证可以发现基于伴随模拟的拓扑优化方法可以快速收敛到较为理想的超表面设计，并且通过匹配实际材料以及完全二值化，可以确保经过优化后的超表面具有现实制造的可行性。因此，在接下来的偏振复用超表面设计中，将采用多目标的伴随优化方法实现。

3 偏振依赖微分双功能超表面

为了实现正交偏振光的复用，需要在单点优化的基础上进一步采用多目标优化方法。在设置TE 偏振入射保持原图像出射的条件下，同时实现TM 偏振入射做一维二阶微分运算。为了实现该目标，这里在TM 偏振的理论振幅响应曲线上选择了五个关键点进行多目标优化，如图3(a)所示。由于超表面设定为关于 y 轴对称，因此实际上只对1、2、3 三个点进行优化，其数值孔径NA=n·sin(α)分别为0、0.25、0.35，这里α为入射光与入射法线夹角。可以看到理想振幅曲线与n·sin(α)为二次函数关系，且在n·sin(α)为0时振幅为0，n·sin(α)为0.4 时振幅为1。与此同时，对于TM 偏振相位曲线，将优化目标设定为0。而对于TE 偏振入射，期望其振幅为1，相位为0。通过这些设定实现对正交偏振光复用设计的优化。

图3 (a) TM 偏振入射时多目标优化选取的目标点；(b) 1、2、3 三点TM 偏振入射时在复振幅平面上的优化结果；(c) 1、2、3 三点TM 偏振入射的优化过程；(d) 1、2、3 三点TE 偏振入射的优化过程；(e) 拓扑优化后超表面的介电常数分布Fig.3 (a) The selected target points of multi-objective optimization for TM polarization;(b) Optimization results on the complex amplitude plane for TM polarization at points 1,2,and 3;(c) Optimization process for TM polarization at points 1,2,and 3;(d) Optimization process for TE polarization at points 1,2,and 3;(e) The dielectric constant distribution of the metasurface after topological optimization

超表面仍然采用随机初始介电常数分布条件，经过350 代迭代优化后，其TM 偏振入射优化过程如图3(c)所示，1、2、3 点所代表的复振幅实部最终收敛于目标。其在复平面的结果如图3(b)所示，在复振幅域上的目标设计点(圆)与优化结果(十字)符合较好。因此对于TM 偏振入射超表面满足实现一维二阶微分运算的需求。其TE 偏振入射优化过程如图3(d)所示，蓝色为实部，橘色为虚部，都收敛于目标，因此TE 偏振入射可以实现明场成像，透射效率高达67.2%。超表面结构最终得到优化的结果如图3(e)，经由迭代过程中的高斯模糊滤除微小结构后，最终结果不存在难以制造的微小结构，具有实际制造的可行性。

为验证优化后超表面的偏振复用，对其进行光学微分运算的仿真验证。输入的是波长为532 nm 的二维高斯分布光束，根据TE 和TM 偏振各自的传递函数分别计算了对应的输出结果，如图4 所示。对于TE 偏振入射，输出图案仍然是原图像，光强为输入的67.2%，即67.2%的高斯光束被通过了超表面，而剩余的能量被反射。对于TM 偏振入射，输出的是源图像的一维二阶微分图像，显示了空间二阶微分三个峰的典型特征，验证了超表面在此偏振方向具有微分运算的功能，表明该超表面器件可以实现偏振复用的功能，可以有效地对不同偏振信息进行处理。

图4 偏振复用光学微分运算的仿真结果。图中colorbar 表示输入和输出的归一化光强分布Fig.4 Simulation results for the polarization-multiplexed optical differentiation operations.The colorbars represent the distribution of the normalized input and the output intensity

上部分设计的超表面只在TM 偏振入射y方向发挥了微分运算作用，在TE 偏振入射x方向没有对入射光进行调控，并未发挥二维超表面的潜力。因此为了实现二维偏振相关的双功能超表面，需要在超表面设计中引入可以对TE 偏振入射x方向的调控。具体来说，分别设计偏振控制微分方向超表面在不同偏振方向的传递函数，使得TE 偏振入射在x方向做一维二阶微分，且y方向不发生透射，而TM 偏振入射在y方向做一维二阶微分，且x方向不发生透射，实现不同偏振光提取不同方向边缘信息，如图5(a)所示。

图5 (a) 偏振控制微分方向示意图。TE 和TM 不同偏振入射光经超表面调控后会在正交偏振方向分别实现微分运算；(b) TE 偏振的振幅传递函数；(c) TM 偏振的振幅传递函数；(d) 拓扑优化后的偏振复用超表面结构。图中colorbar 表示超表面的介电常数分布情况Fig.5 (a) Schematic of polarization-controlled differentiation direction.The different input light of TE and TM polarization will achieve differentiation operations in orthogonal polarization direction,respectively;(b) The amplitude transfer function for TE polarization;(c) The amplitude transfer function for TM polarization;(d) The polarization-multiplexed metasurface structure after topological optimization.The colorbar represents the dielectric constant distribution of the metasurface

优化选取的目标沿图5(b)中的两条白色虚线，对白色虚线上不同的空间频率分别进行振幅和相位调控，优化设计中最大数值孔径为NA=0.4。通过基于伴随模拟的拓扑优化方法对超表面的介电常数进行多目标优化以达到设计目标。最终得到优化结构如图5(d)所示，限制最小尺寸为10 nm，所得到的超表面结构具有C4 对称性。图5(b)和5(c)给出了该超表面在不同偏振光下的振幅响应，在此传递函数下单一偏振光实现了此方向上的微分运算，只能提取此方向的边缘信息，而在另一个方向上则没有光透射。当入射光偏振态旋转到正交方向时，则微分运算与无光透射的方向也相应互换。为验证TE 和TM 偏振入射对微分方向的影响，输入不同偏振态波长为532 nm 的黑白图像。图5(a)展示了根据TE 和TM 偏振入射不同的传递函数计算了对应的输出结果，即对于TE 偏振入射，x方向进行了一维二阶微分运算输出了字母的左右边缘，y方向没有出射图像。而对于TM 偏振入射，y方向进行了一维二阶微分运算输出了字母的上下边缘，x方向没有出射图像。仿真计算结果说明所设计的偏振复用光学计算系统能够实现偏振控制微分方向的功能。

4 结论

在本文中，通过逆向设计方法设计了格林函数法光学模拟计算单层超表面结构，在平面线偏振光入射下可以将不同偏振通道透射光场的振幅与相位独立调制，因而实现复杂的偏振相关的微分运算功能。所设计的超表面结构分别实现了1) TM 偏振入射做一维二阶微分运算，而TE 偏振入射呈现明场成像的功能；2) TE 偏振入射在x方向做一维二阶微分，且y方向不发生透射，而TM 偏振入射在y方向做一维二阶微分，且x方向不透射，实现不同偏振光提取不同方向边缘信息。由于采用拓扑优化的方法逆向设计超表面，得到的结果可以较好地符合预期理论曲线，传输效率较高。而且超表面采用不同于4F 系统的格林函数法光学模拟计算，因此最终超表面是以单层结构实现多种光计算功能，有利于光学模拟计算器件向多功能化、小型化和集成化方向发展。