揭示数学的美学价值

◆文/吴振奎

《美妙的数学》吴振奎 著/北京大学出版社/2022.10/69.00元

美是自然（确切地讲是“自然的人化”）。数学作为“书写宇宙的文字”（伽利略语）反映着自然，其中当然存在着美。

“美”是一个哲学概念。对于山水、风景、形体、相貌这类自然形成的事物，可以根据社会文明进步程度、人类智力发展水平、大众审美观点的演化层次，再根据多数人的审美观点直观评判其美与否；然而对于文学、艺术、建筑、园林等等带有人工雕琢痕迹的物件，人们去欣赏它时，美与不美便是一种抽象的思维、判断过程了。比如欣赏艺术大师毕加索的晚年（立体主义抽象）画作时，不仅需要观赏者有较高的艺术修养，还要有抽象思维的能力，因为这类画作是将自然物像分解成几何块面，从而从根本上摆脱传统绘画的视觉规律和空间概念（也有人认为这是画家在四维空间作画，即将四维空间的物像用二维图形表现出来）。因此，真正能够读懂画作的人不会很多，有人会认为画作很美，但也有人认为画作不美甚至很丑（正如有人说“美其实是一种感觉”），这正是“美学”这门学科所要研究的。

而数学美学研究的主要内容也包括探求数学中的现实美、抽象美、美的感悟和美的创造。数学（特别是现代数学）作为自然科学的基础、工程技术的先导、国民经济的工具，其本身就具有许多美的特性，它们中的某些是形象、生动而具体的，比如数学的简洁性、抽象性、和谐性、奇异性等诸方面均展现着数学自身的美——这些一旦让人觉知、被人认识，数学便有了新的希望与未来。数学正是在不断追求完美的过程中孕育、创造并发展的。

把数学中，特别是现代数学中，美的现象展示出来，再从美学角度重新认识，这不仅是对人们观念的一种启迪，还可以帮助人们去思维、去探索、去研究、去发掘、去创造。

数学中的一个结论（定理、公式、图形）、一种证明、一项计算、一份解答，如果看上去很美（简练、和谐、巧妙、生动……），差不多可以说它是正确的。这就是说：从美学角度探索数学中的一些现象，并揭示其中的某些规律，往往可以得到一些研究数学的方法。

简言之，数学中的美需要被揭示、探讨、挖掘，从而成为对美学乃至整个哲学的一种丰富；反过来，美学方法又可以指导数学学习和研究。

其实数学中的美的现象很早就为一些大数学家（如毕达哥拉斯、高斯等）所关注，并提出过不少精辟、独到的见解，但遗憾的是他们未能有专门论著面世（我国古代数学家也从“趣味”角度探讨过这类问题，虽然美包含趣味，但“趣味”并不等于美）。

古希腊哲学家苏格拉底认为：最有益的即是最美的。因而，古希腊的美学是知识不可分割的一部分，这恰恰是由于当时许多学科的幼芽尚未从人类知识这棵大树上长成独立的枝干。当时的哲人们还认为：（现实）美和宇宙之美是统一的。

毕达哥拉斯学派（请注意这是一个数学团体）则认为这个学派在研究音乐时最早使用了数学（他们试图提出一个关于声调对比关系的数学表述：八度音与基本音调之比为1∶2，五度音等于2∶3，四度音等于3∶4，等等），这也是人们最早用数学方法研究美的实践与创始。

至于数学，在当今的科学分类研究中，许多学者称哲学和数学是普遍科学，且认为二者可应用于任何学科和领域，其差别在于刻画现实世界时使用的方法和语言不同：哲学使用的是自然语言，数学使用的是人工语言（数学符号）；哲学使用的是辩证逻辑方法，而数学使用的是形式逻辑与数理逻辑方法。这样哲学家有时可以“感觉到”思维的和谐，而数学家有时可以“感觉到”公式与定理的和谐，即美。

无论从哪个角度来看，数学美都是一个值得探讨的话题。德国数学家库默尔（E.E.Kummer）说：一种特别的美统治着数学王国，这种美与艺术美的相似性不如与自然美的相似性那么大，它反映了具有抽象能力的思想，它也会得到人们的欣赏，这一点很像自然中的美。

古希腊的亚里士多德认为：数学能促进人们对美的特性——数值、比例、秩序等的认识。

早在三十几年前，笔者便在思考数学之美到底美在哪里，同时留意“数学美”的文字与资料，只是自叹力有不逮，始终未敢妄动。试想：这样一个宏大的课题，要用不太多的文字、在不太长的篇幅里将它全部（哪怕是一部分）展现出来，远非易事。正如古希腊哲人苏格拉底所说：美是许多现象所固有的一个唯一的东西，它有最普遍的具体性，但美是难以捉摸的。

“无知者无畏”，笔者曾斗胆撰写了《数学中的美》。后来应北京大学出版社之邀承担此书的写作，鉴于丛书的要求，一切必须推倒重来。这是一件极不情愿却又无可奈何，而且远非轻松（也许会是费力不讨好）的事情，婉拒未果，只得硬着头皮答应。读书、查资料，写笔记……构思良久，始得框架，遂试图以数学实例揭示数学潜在规律的同时，探索运用美学原理指导数学创造、发现的途径。

如前所说，数学美的研究也是对美学自身的一种丰富。虽心里忐忑不安（因为一切要从零开始），但聊以自慰的是：我虽年迈但尚有精力和体力，而我会努力，且我在用心，加之还有北京大学出版社的鼎力支持，以及丛书的诸作者的勉慰，更有编辑陈静的辅佐（书中不少图片系她提供），成稿之余，笔者首先深深感谢他们。

如此一来，我的尽力纵然有瑕疵，即便是败笔，一切也许能够赢得读者的理解与宽容。倘若如此，便没有冷落我的劳动，足矣。