2023 年高考全国卷数列试题评析及备考建议

广东省汕头市潮南区砺青中学(515135) 郑灿基

一、高考对“数列”的考查要求

数列作为高中数学的重要知识模块之一, 是考查学生综合素养的重要载体,《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 修订)》对数列进行了具体要求:“了解数列的概念;探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律,建立通项公式和前n项和公式;能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题,感受数学模型的现实意义与应用;了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系,感受数列与函数的共性与差异,体会数学的整体性.”2023 年高考全国卷数列试题以学科素养为导向,以常规题为主,注重基础性、综合性,突出关键能力的考查,重点考查等差数列和等比数列、数列的通项和求和、数列与其它知识的融合等,考查基本方法的运用以及逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力.

二、2023 年高考全国卷中数列试题的统计分析

笔者选取了2023 年高考新课标Ⅰ卷、新课标ⅠⅠ卷、全国甲卷文理科和全国乙卷文理科进行分析,数列试题的分布如下表:

2023 年全国卷高考数列试题的考查特征统计

从上表可以发现,具有如下特征:

(1)全国卷中对数列试题的考查,分值有10 分、12 分和17 分这三类,其中全国甲卷文科和全国乙卷理科的分值都为10 分,以选择题和填空题的形式进行命制;全国乙卷文科的分值为12 分,以解答题的形式进行命制;全国卷甲卷文科、全国卷甲卷理科以及新高考Ⅰ卷和新高考ⅠⅠ卷的分值都为17 分,以选择题和解答题的形式进行命制.

(2)大多数数列试题属于常规题目,难度较易或中等. 个别题目如全国乙卷理科第10 题综合性大,难度较大.

三、2023 年全国卷中数列试题的评析

1. 立足等差和等比模型,重视对双基的考查

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 修订)》指出:在数学高考命题中,考查内容应围绕数学内容主线,聚焦学生对重要数学概念、方法的理解和应用,强调基础性;注重数学本质和通性解法. 在数列版块中,等差数列和等比数列是两个基本的数列模型,其通项公式和求和公式是考查的重点,可以有效考查学生的数学运算和逻辑推理等数学核心素养.2023 年全国卷对数列的考查基本围绕这一特征进行设计,涉及的比例比较大.

(1)等差数列基本量的运算和等差数列的基本性质

例1(2023 年高考全国甲卷文科第2 题) 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=( )

A. 25 B. 22 C. 20 D. 15

解法1设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,依题意可得,a2+a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5,又a4a8= (a1+3d)(a1+7d) = 45,解得:d= 1,a1= 2,所以故选C.

解法2a2+a6= 2a4= 10,a4a8= 45,所以a4= 5,a8=9,从而于是a3=a4-d=5-1=4,所以S5=5a3=20. 故选C.

例2(2023 年高考全国乙卷文科第18 题)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.

解析(1) 设等差数列{an} 的公差为, 由题意可得解得所以an=13-2(n-1)=15-2n;

点评例1 和例2 主要考查等差数列的通项公式、性质, 前n项和公式, 难度不大, 注重对双基的考查. 其解题策略一般是通过建立关于a1和d的方程组, 即可求出a1和d, 进而可得{an} 的通项公式. 例2 第(2) 问中, 由于|an| = |15-2n|含有绝对值,需对n分类讨论,考查学生的数学运算和逻辑推理等素养.

例3(2023 年高考新课标Ⅰ卷第20 题)设等差数列{an}的公差为d,且d> 1. 令,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.

(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;

(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.

解析(1) 因为3a2= 3a1+a3, 所以3d=a1+ 2d,解得a1=d, 所以S3= 3a2= 3(a1+d) = 6d, 又T3=所以即2d2- 7d+ 3 = 0, 解得d= 3 或(舍去), 所以an=a1+(n-1)·d=3n.

(2) 因为{bn} 为等差数列, 所以2b2=b1+b3, 即所以即a21- 3a1d+ 2d2= 0, 解得a1=d或a1= 2d, 因为d> 1,所以an> 0,又S99-T99= 99,由等差数列性质知,99a50-99b50=99,即a50-b50=1,所以即-a50-2550=0,解得a50=51 或a50=-50(舍去).当a1= 2d时,a50=a1+49d= 51d= 51,解得d= 1,与d>1 矛盾,舍去;当a1=d时,a50=a1+49d=50d=51,解得

点评本题第(2)问中,考查了等差数列的性质,注重考查函数与方程和分类整合思想方法,对学生的数学运算和逻辑推理等要求较高.

(2)等比数列基本量的运算和等比数列的基本性质

例4(2023 年高考全国乙卷理科第15 题)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=____.

解析设{an}的公比为q(q≠0),则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然an≠0,则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1,因为a9a10= -8, 则a1q8·a1q9= -8, 则q15=(q5)3=-8 = (-2)3,则q5= -2,则a7=a1q·q5=q5= -2,故答案为-2.

例5(2023 年高考全国甲卷理科第5 题) 设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=()

解析由题知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4,即q3+q4= 4q+ 4q2, 即q3+q2- 4q- 4 = 0, 即(q- 2)(q+ 1)(q+ 2) = 0. 由题知q> 0, 所以q= 2.所以S4=1+2+4+8=15. 故选C.

点评例4 和例5 主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式,通过建立关于a1和q的方程组,即可求出a1和q,进而解决问题.

例6(2023 年高考新课标ⅠⅠ卷第8 题)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=()

A. 120 B. 85 C. -85 D. -120

解法1设等比数列{an} 的公比为q, 首项为a1, 若q= 1, 则S6= 6a1= 3×2a1= 3S2, 与题意不符, 所以q≠1;由S4=-5,S6=21S2可得,

由①可得,1+q2+q4=21,解得:q2=4,所以

故选C.

方法2设等比数列{an}的公比为q, 因为S4= -5,S6= 21S2, 所以q≠ -1, 否则S4= 0, 与题设不符. 从而S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,所以(-5-S2)2=S2(21S2+5), 解得S2= -1 或. 当S2= -1 时,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6, 即为-1,-4,-16,S8+ 21,易知,S8+21 = -64, 即S8= -85; 当时,S4=a1+a2+a3+a4= (a1+a2)(1+q2)=1+q2)S2> 0,与S4=-5 矛盾,舍去. 故选C.

点评本题渗透方程和分类讨论等思想方法,对计算的要求很高,有效考查了数学运算和逻辑推理等核心素养.

2. 依托通项和求和题型,彰显数列常态

递推数列的通项与求和问题是历年高考数列大题的常考考点,是考查抽象概括、推理论证、运算求解等关键能力的重要载体.

例7(2023 年高考全国甲卷理科第17 题)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.

(1)求{an}的通项公式;

解析(1)因为2Sn=nan, 当n= 1 时, 2a1=a1, 即a1= 0;当n= 3 时,2(1+a3) = 3a3,即a3= 2,当n≥2时, 2Sn-1= (n-1)an-1, 所以2(Sn-Sn-1) =nan-(n-1)an-1= 2an,化简得: (n-2)an= (n-1)an-1,即当n≥3 时,所以

当n=1,2 时都满足上式. 所以an=n-1.

两式相减得:

点评例7 的第(1)问涉及含有an和Sn的关系式,通过消去Sn得到,再利用累乘法求出an. 第(2)问涉及错位相减法求和. 一般地,若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时常采用错位相减法求和.

3. 数列与其它知识有机整合

(1) 数列与常用逻辑用语

例8(2023 年高考新课标Ⅰ卷第7 题) 记Sn为数列{an}的前n项和,设甲: {an}为等差数列;乙:为等差数列,则()

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析甲: {an}为等差数列,设数列{an}的首项a1,公差为d,即则因此为等差数列, 即甲是乙的充分条件; 反之, 乙:为等差数列, 即=S1+ (n- 1)D, 即Sn=nS1+n(n- 1)D,Sn-1= (n-1)S1+(n-1)(n-2)D, 当n≥2 时, 上两式相减得:Sn-Sn-1=S1+ 2(n- 1)D, 当n= 1 时,上式成立, 于是an=a1+ 2(n- 1)D, 又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,因此{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件.

点评本题利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义, 再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答,要严谨地说明两者的等价关系,需要学生扎实的数学功底和逻辑推理、数学计算等核心素养.

(2)数列与不等式

例9(2023 年高考新课标ⅠⅠ卷第18 题)已知{an}为等差数列,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.

(1)求{an}的通项公式;

(2)证明: 当n>5 时,Tn>Sn.

解析(1) 设等差数列{an} 的公差为d, 而则b1=a1- 6,b2=2a2= 2a1+ 2d,b3=a3- 6 =a1+ 2d- 6, 于是解得a1= 5,d= 2,an=a1+ (n- 1)d= 2n+ 3, 所以数列{an} 的通项公式是an=2n+3.

当n>5 时,

因此Tn>Sn. 当n为奇数时,

当n>5 时,

因此Tn>Sn. 综上,当n>5 时,Tn>Sn.

点评本题以分段数列的形式考查数列的核心知识. 本题第(1)问用a1,d表示Sn及Tn,建立方程组即可求出a1,d,求出通项an=2n+3. 第(2)问利用(1)的结论求出Sn,bn,再分奇偶结合分组求和法求出Tn,并利用不等式中比较两数大小常用方法——作差法,即将Tn与Sn作差比较大小. 本题着重考查了学生分类整合的能力,对学生的素养提出了较高的要求.

(3) 数列与集合、三角函数

例10(2023 年高考全国乙卷理科第10 题) 已知等差数列{an} 的公差为, 集合S= {cosan|n∈N∗}, 若S={a,b},则ab=()

解析依题意,等差数列{an}中,an=a1+(n-1)·显然函数的周期为3,而n∈N∗,即cosan最多3 个不同取值,因此只需研究cosa1,cosa2,cosa3这三个值. 又{cosan|n∈N∗} = {a,b},因此作如下分析:

①若cosa1=cosa2,则即

当k为偶数时,满足题意, 所以, 所以; 当k为奇数时,cosa3= 1, 满足题意, 所以,所以

②若cosa2= cosa3,a2+a2+= 2kπ(k∈N∗),即a2=kπ-仿照(1) 的做法, 当k为偶数时;当k为奇数时,. 所以

③若cosa1= cosa3,= 2kπ(k∈N∗),即. 仿照(1)的做法,当k为偶数时,当k为奇数时,

点评本题将等差数列、集合、三角函数有机结合一起,呈现方式比较新颖,考查了学生对概念的认识,综合分析问题和解决新问题的能力,深入考查学生探究新问题的能力.

四、备考复习建议

1. 研读高中课程标准和高考真题,把脉高考命题方向

立足高中课程标准,研究高考真题,把脉高考命题方向是每位高中数学教师在进行高三复习迎考的一项重要工作.从近几年的高考数列考查内容和方向来分析,变化不大,保持了较高的稳定性. 建议在数列复习教学中,以数列的基本概念、相关性质、通项公式与求和为中心,准确把握高考命题方向,切记忽略基础题型的训练.

2. 夯实基础,提高数学运算能力

高考数列试题常以等差、等比数列的基础知识及综合运用为主. 要熟练掌握求数列通项公式的常用方法; 会用“基本量思想”求解等差、等比数列的通项公式;能由具有特定特征的递推关系式求解通项公式(如累加法、累乘法等),并会通过“构造新数列”(如加常数、取倒数等)研究数列的通项公式;会利用an与Sn的关系求通项公式;会用归纳猜想的方法研究数列的通项公式,并能用数学归纳法进行证明. 同时,要理解与掌握求数列前n项和的方法. 会熟练使用公式法、错位相减、裂项相消、分组求和、奇偶分析和并项求和等方法研究数列的前n项和. 另外,应重视运算能力的训练,解题过程中常需通过建立方程求解未知量,因此需要熟练掌握一些常见计算技巧(如因式分解、配方法). 若涉及错位相减求和、奇偶分析和并项求和等方法,计算量会增加,极易出错,往往需要分析错因,加强总结.

3. 从函数的角度认识数列,加强数列与其它知识的联系和训练

数列本身是一个特殊的函数,而且是离散的函数,因而从函数的角度认识和理解数列是非常有必要的. 在解题过程中,可将数列看成函数(如将等差数列的前n项和看成关于n的二次函数),这样就可以利用函数的思想与方法来处理数列问题. 数列与其它知识如不等式、三角函数等内容的联系也越来越密切,要加强数列与其它内容的综合训练,注重方法技巧的积累.